| << | #494 ; Denove pri stelo Sirius sur antikva ĉielo |
>> |
En la antaŭa artikolo mi jam komencis pensi pri la leviĝo de Sirius antaŭ la Suno, speciale por antikva Egiptio. Ĉi tio temo povas esti tabuo por universitato, same kiel trategmenta sunhorloĝo per speguloj estis tabuo por teknika altlernejo, sed estas tamen fakte grava kaj utila temo de historio.
Ĉi tio precesia laboro povas esti por mi longa projekto. Mi volus scii kia estis la stela ĉielo de Nordo ekzemple 3 ... 9 miloj da jaroj antaŭe kiam la antikvaj finnoj jam loĝis sur la areo de nuna Finnlando. Espereble la rezultoj estos bonaj. Mi ja jam pritraktis precizan precesion en antaŭa artikolo #475, sed ni nun rigardu kion "Sky Catalogue 2000.0, Volume 1, Stars to Magnitude 8.0" havas por diri pri la afero.
Nur kalkuloj povas esti vera ĝojo. Certe ekzistas temoj kie nombroj ne rakontas la plej gravan veron, sed astronomio tamen ne estas unu el ili.
La valuo T estu en centoj da tropikaj jaroj (de 36524,22 diurnoj), pozitiva post la jaro 2000, do negativa antaŭ la jaro 2000. Ni bezonas tri helpajn valuojn. Simon Newcomb donas en "A Compendium of Spherical Astronomy", 1906 (similaj al formuloj de F.W.Bessel el 1830) la formulojn (notu ke la anguloj estas en sekundoj de arko):
ζ0 = 2305",646 · T + 0",302 · T2 + 0",018 · T3 z = ζ0 + 0",791 · T2 θ = 2003",829 · T - 0",426 · T2 - 0",042 · T3
Unue ni korektigu la propran movon de stelo en spaco dum la tempo koncerna, tiel ke la epoko de koordinatoj estos korekta.
Sekve ni kalkulu la precesion por la alia ekvinokso. Pli malgrandajn fenomenojn ni ignoru. La ekvatoraj koordinatoj de stelo por la origina ekvinokso estu (rektascensio, "alfa") α0 kaj (deklinacio, "delta") δ0 kaj la fina rezulto por la cela ekvinokso estu α , δ
cos δ · sin(α - z) = cos δ0 · sin(α0 + ζ0) cos δ · cos(α - z) = cos θ · cos δ0 · cos(α0 + ζ0) - sin θ · sin δ0 sin δ = cos θ · sin δ0 + sin θ · cos δ0 · cos(α0 + ζ0)
El la tria ekvacio ni ja kalkulas rekte la finan deklinacion de stelo, δ, per inversa sino. El la du unuaj ekvacioj ni solvu la finan rektascension. Ni ja scias ke principe egalas tan x = sin x / (cos x) kaj tial ni dividu la unuan ekvacion per la dua:
cos δ ·sin(α - z) cos δ0 · sin(α0 + ζ0) -------------------- = ----------------------------------------------cos δ ·cos(α - z) cos θ · cos δ0 · cos(α0 + ζ0) - sin θ · sin δ0
Kaj la rezulto estas formulo el kio ni povas solvi angulon (α - z) per inversa tangento:
cos δ0 · sin(α0 + ζ0)
tan(α - z) = -----------------------------------------------
cos θ · cos δ0 · cos(α0 + ζ0) - sin θ · sin δ0
El tioj eblas trovi la angulon α - z en korekta kvadranto. Mi pritraktis detale la solvon de inversa tangento al angulo de korekta kvadranto ekzemple en artikolo #458. Ni ja solvas la inversan tangenton kaj la angulon α simple:
Y
tan (α - z) = ---
X
Y
α - z = arctan ( --- )
X
Y
α = z + arctan ( --- )
X
Ni ja volas la rezulton en intervalo 0° ... 360°. La direkto 360° estas en praktiko la sama direkto kiel 0°. Se la angulo estas negativa, oni aldonu tutan cirklon 360°. Ni memoru la helpan formulon tan angulo = Y / X = numeratoro / denominatoro kaj ke se la denominatoro X estas negativa (X < 0), oni aldonu 180° al la rezulto de inversa tangento, ĉar ekzemple la valuo de tan(45°) estas tute egala al tan(45° + 180°), sed klare la angulo 45° tamen ne estas egala al angulo (45° + 180°).
Precesio tamen ne estas la sola faktoro kio aliigas la ekvatorajn koordinatojn de steloj dum longa tempo. Fakte precesio temas nur pri la direkto de tera rotacia akso, kaj ne pri la vera movo de steloj.
Ni pritraktu la veran movon de steloj sur ĉielo. La steloj vere movas tra spaco kaj kvankam nia kara Sirius ne movas rapide, ni povas kalkuli la efekton de movo tra spaco al ekvatoraj koordinatoj. Eblas sekvi la movon de stelo en 3 dimensioj kiam oni scias la distancon (d) kaj la radiusan rapidon de stelo (RV). Oni tamen estu singarda kun la unuoj en kalkulado.
Nature simplaj scioj pri movo de steloj, relative al nia Sunsistemo, estas nur proksimumaj kaj validaj nur por limigita tempo. Eblas kalkuli nur kun ekzemple 3 nombroj kaj tial la scioj ne estas tre precizaj por tre longaj tempoj. Steloj eble ne movas tute rektlinie relative al la Sunsistemo.
Estu r la distanco de stelo en unuo parsec kaj ni unue kalkulu la rektangulajn koordinatojn (x, y, z) de stelo por la origina epoko:
x = r · cos δ · cos α y = r · cos δ · sin α z = r · sin δ
La valuo Δr estas la radiusa rapido de stelo en unuo parsec/jaro kaj tion oni kalkulas el tabula valuo de RV (kio estas en unuo kilometroj/sekundo) per la formulo: Δr = RV / 977820
La valuoj μ(α) kaj μ(δ) estas la tabulaj valuoj de movo en rektascensio kaj deklinacio kaj el ili oni unue kalkulu la valuojn en unuo radianoj/jaro per la formuloj: Δα = μ(α) / 13751 , Δδ = μ(δ) / 206265
Δx = (x/r) · Δr - z · Δδ · cos α - y · Δα Δy = (y/r) · Δr - z · Δδ · sin α + x · Δα Δz = (z/r) · Δr + r · Δδ · cos δ
La valuo t nun estu la kvanto de jaroj, pozitiva post 2000 kaj negativa antaŭ la epoko. Ni kalkulu la korektigitajn koordinatojn:
x' = x + t · Δx y' = y + t · Δy z' = z + t · Δz
El tioj valuoj de rektangulaj koordinatoj oni povas solvi la novan rektascension kaj deklinacion. Unue tamen ni kalkulu la novan distancon de stelo (la eksponanto ½ signifas la kvadratan radikon):
r' = ( x'2 + y'2 + z'2 )1/2
Kiel oni do solvu la novajn ekvatorajn koordinatojn ( α , δ ) el la novaj rektangulaj koordinatoj (x', y', z') ? Ni uzu principe la samajn formulojn kiel en komenco, sed nun al kontraŭa direkto kaj kun la novaj rektangulaj koordinatoj:
x' = r' · cos δ · cos α y' = r' · cos δ · sin α z' = r' · sin δ
El la tria ekvacio eblas facile solvi la deklinacion de la stelo (en intervalo -90° ... +90°) por la nova epoko per inversa sino:
z' = r' · sin δ
z'
sin δ = ---
r'
δ = arcsin ( z' / r' )
El la du unuaj ekvacioj eblas solvi la rektacension per inversa tangento. Ni dividu la unuan ekvacion per la dua:
x'r' · cos δ ·cos α --- = --------------------- y'r' · cos δ ·sin α sin α y' ------- = --- cos α x' y' tan α = --- x' α = arctan ( y' / x' )
Kaj ni denove notu ke la angulo α estu en korekta kvadranto, en intervalo 0 ... 360°.
Por nia kara stelo Sirius kaj kelkaj gravaj nordaj steloj la libro donas la bazan informon. La modernaj koordinatoj de steloj, ekvinokso kaj epoko 2000:
α 2000 δ 2000 μ(α) μ(δ) RV d(pc)
Sirius 9 α CMa 6h 45m 08,9s -16° 42' 58" -0,038s -1,21" -8 2,7
Polaris 1 α UMi 2h 31m 50,4s +89° 15' 51" +0,232s -0,01" -17 ???
Kochab 7 β UMi 14h 50m 42,2s +74° 09' 19" -0,009s +0,01" +17 29
Thuban 11 α Dra 14h 04m 23,2s +64° 22' 33" -0,009s +0,01" -16 71
Kiel kalkula ekzemplo la fonto donas la stelon Polaris kies koordinatoj por la jaro 1755.0 (kaj ekvinokso kaj epoko) estas: α = 0h 43m 42,2s, δ = +87° 59' 41" kio estas bona rezulto. La fonto ankaŭ mencias ke la stelo Kochab estis plej proksima al la direkto de tera rotacia akso 3200 jaroj antaŭ la moderna jaro +2000.
Jen la desegnaĵo de Guy Ottewell pri la direkto de norda poluso de ĉielo dum jarmiloj. La direkto de tera rotacia akso movas ĉirkaŭ la norda poluso de ekliptiko ("north ecliptic pole", en la centro de cirklo). Nuntempe la ĉiela norda poluso estas proksima al la stelo Polaris. Antaŭ 3000 jaroj (1000 BC) la rotacia akso estis relative proksima al la stelo Kochab (nomita "Kokab" en la bildo) kaj Guy Ottewell nomis ĝin "Homer's Pole Star". Antaŭ 5000 jaroj (3000 BC) la norda ĉiela poluso estis proksima al la stelo Thuban (nomita "the Sumerian Pole Star" en la bildo).
Antaŭ 14000 jaroj (12000 BC) estis la centro de norda ĉielo proksima al la direkto de brila stelo Vega, sed tiel malproksimajn tempojn mi prefere ne pritraktas ĉi tie.
Jen foto pri relative moderna ĉiela globuso (1950.0). La nuna polara stelo Polaris situas proksima al la norda akso, nevidebla en la foto. Mi skribis la nomojn de aliaj gravaj steloj Kochab, Thuban, Vega sur la foto. La ĉiela globuso ja prezentas la ĉielon el "perspektivo de Dio" kaj ni devas pensi ke ni mem situus en la centro de globuso, por vidi la direktojn de ĉielo korekte.
Oni povas demandi kiom la vera direkto de stelo aliiĝis ekzemple dum la pasintaj 5000 jaroj? Precesio temas ja nur pri la direkto de rotacia akso de Tero. Sur ĉielo la steloj fakte ne movas pro precesio. Precesio nur aliigas la direkton de akso de Tero en spaco kaj tial la ekvatorajn koordinatojn.
La unuo por μ(α) estas en sekundoj de tempo por jaro (s/jaro) kaj la unuo por μ(δ) estas en sekundoj de arko por jaro ("/jaro). Ni kalkulu la informon por la jaro 2000.0 al pli facila formo:
α = 101,2871° δ = -16,7161° μ(α) = -0,038s / jaro μ(δ) = -1,21" / jaro RV = -8 km / sekundo d(pc) = 2,7 parsec
Ni kalkulu kelkaj valuoj al pli uzeblaj unuoj radianoj kaj parsec (pc), prefere por 1000 jaroj, ĉar la kalkula celo ja estas miloj da jaroj distanca:
Δα = μ(α) / 13751 = -0,002763 rad/1000y Δδ = μ(δ) / 206265 = -0,005866 rad/1000y Δr = RV / 977820 = -0,008181 pc/1000y
Ni ja kalkulas malantaŭen en tempo, do la valuo t estas negativa. Unuoj estas iom ĝenaj, sed ni brave batalu kun ili.
Mi do unue kalkulu nur la propran movon de stelo dum la lastaj miloj da jaroj. La rezultoj tial provizore estas por la ekvinokso 2000 ĉar precesion ni ankoraŭ ne kalkulis, sed la rezultoj estas por epoko -1000, -3000, -5000 ... (do enhavas la propran movon de Sirius).
Estas ja nur unu signifa numero en la radiusa rapido (RV = -8 km/s) de la stelo kaj tial la aliiĝo de distanco pro radiusa rapido ne estas tre grava faktoro. Plej simple oni kalkulas la proksimumajn koordinatojn sen uzi la distancon kaj la radiusan rapidon, tre simple:
αorigina + Δα = αEPOKO δorigina + Δδ = δEPOKO
Sirius por ekvinokso 2000.0 (sed por aliaj epokoj)
Kalkulita tre simple (kaj kalkulita kun RV & distanco)
Epoko t/jaroj Δα(rad) Δδ(rad) Δr(pc) α δ
+2000 0 101,2871° -16,7161°
-1000 -3000 +0,00829r +0,01760r +0,0245pc 101,7621° -15,3124° ?
-3000 -5000 +0,01382r +0,02933r +0,0409pc 102,0789° -15,0356° ?
-5000 -7000 +0,01934r +0,04106r +0,0573pc 102,3952° -14,3635° ?
Nu, la propraj movoj en ekvatoraj koordinatoj dum miloj da jaroj ja tamen estas kelkaj gradoj (1° = 0,017453... radianoj) jam kiam oni ne pensas pri la distanco. Tial por Sirius kredeble vere indas korekti la propran movon kiam oni pensas ekzemple pri la jaro 3000 BC. Speciale la aliiĝo de deklinacio ŝajnas grava kiam ni pensas pri la leviĝo de Sirius antaŭ la Suno.
Precesion mi poste kalkulu aparte, tiel ke la rezultoj fine estos kaj por la ekvinokso kaj por la epoko -1000, -3000, -5000 ktp. Kredeble precesio influas plejparte al la rektascensio de la stelo.
Kaj certe fine .......... NI VENKOS!
| La Ambasadoro en Finnlando de sendependa nacio Mueleja Insulo |