<<

#458 ; Ĉielaj plezuroj kalkulitaj iom facile

>>

La plezuroj de ĉielo eble signifas por mi iom alian aferon ol ekzemple por plej multaj kristanoj. Por mi la Suno, la Luno, la 5/6 per nura okulo videblaj planedoj kaj la plej brilaj steloj reprezentas la solan atingeblan kaj veran ĉielan plezuron. Ĉielaj plezuroj certe estis lastatempe parte videblaj sur la matena ĉielo, almenaŭ se la nuboj tion permesis.

La supra bildo reprezentas la lokan ĉielon (sen nuboj) por la dato 03.11.2023 por 3 horoj UT por la urbo Pori. La 71% lumigita Luno estas alte, rekte en sudo. La Suno ankoraŭ restas malalte sub horizonto kaj tial la ĉielo estas iom malhela, kvankam lumigita per la brila surfaco de Luno. En oriento estas la plej klara planedo Venuso (V) proksimume 15° super la horizonto kaj certe videbla. En okcidento ni vidas la alian klaran planedon Jupitero (J) proksimume 20° super la horizonto. La plej brila stelo Sirius estas preskaŭ en sudo, proksimume 10° super horizonto.

Bela vidindaĵo sendube, kvankam mi fakte ne atestis ĵus ĉi tian situacion. Ĉiuokaze estis la planedoj Venuso kaj Jupitero bone videblaj sur la matena ĉielo dum la aŭtuno. Mi tion konstatis ĉar mi unu iom malvarman matenon dum oktobro monato devis urĝi al sanitara servo, promenado de 40 minutoj. Ankaŭ Saturno kredeble estis iom bone videbla sur la vespera ĉielo.

La ĉielaj plezuroj tamen bedaŭrinde ne estas mane tre simple kalkuleblaj, speciale se oni volas kiel rezulto direktoj de ĉiela objekto kun eraro malpli ol ekzemple ±½ gradoj aŭ ±0,5°. Larĝon de via plej maldika fingro vi vidas proksimume en angulo 1° kiam vi etendas vian manon plej longa. Do tia eraro ne estas absolute tre malgranda, sed kiel eraro en la direkto de objekto sur la vasta ĉielo tamen ĝenerale iom akceptebla kiel la unua respondo?

Per la direkto de astro ni celas la centron de objekto. Suno kaj Luno certe ne estas nur punktoj de lumo sur la ĉielo. Plena Luno kaj la Suno aperas por loĝantoj de Tero kiel globo de proksimume la sama diametro. Ambaŭ estas ŝajne en diametro proksimume duonon de grado, kvankam iliaj veraj grandoj kaj distancoj estas tre aliaj.

Suno estas la plej facila ĉiela objekto por kalkuli, sendube pro tio ke nia origina tempa koncepto baziĝas al la Suno. Min interesas ekzemple sunhorloĝoj kaj norma sunhorloĝo povas esti akurata eble (±) kelkaj minutoj da tempo. Por tio ni bezonas precizecon de direkto de Suno eble ±0,5° ĉar 1 grado da geografia longitudo korespondas al 4 minutoj da tempo. Feliĉe estas precizeco eĉ pli bona ol ±0,1° relative facile atingebla por la Suno.

Nature ekzistas ekzemple komputilaj programoj por la tasko, sed miaopinie estas bone scii kiel mem kalkuli mane. Ĉi tio ne estas scienco, sed estas tamen miaopinie utila civitana povoscio. Cetere mi uzas decimalan komon (,) en nombroj laŭ la eŭropa normo, kvankam ekzemple kalkuliloj kaj programaj lingvoj ĝenerale uzas decimalan punkton (.) por la sama intenco. Mi ankaŭ uzas por la inversaj trigonometriaj funkcioj la nomojn arcsin, arccos, arctan anstataŭ la fakte eraraj simboloj sin-1, cos-1, tan-1 kiojn oni bedaŭrinde vidas ekzemple en kalkuliloj.

Ni estu sendependaj, ni kalkulu mem!

Ni komencu la kalkuladon el JD. Por la jaroj 1901 ... 2099 mi trovis simplan metodon el "Almanac for Computers" kaj mi kredas ke tioj jaroj nun sufiĉas. Mi iom adaptis la metodon por ĉi tio kazo. En la moderna kalendaro la jaroj 1900 kaj 2100 estas specialaj ĉar ili ne estas superjaroj, kvankam estas divideblaj per 4. Temas do pri la Gregoria kalendaro. Por la dato ni uzu la samajn variantojn Y, M, D kiel por artikolo #456:

JD je 12 horoj UT por la jaroj 1901 ... 2099
Y = la jaro (1901 ... 2099)
M = la monato (1 ... 12)
D = la tago de monato (1 ... 31) kiel entjero, sen decimala parto

JD = 365 * Y 
   - int( ( 7 * ( Y + int( (M+9)/12 )) ) / 4 ) 
   + int( (275 * M) / 9 ) 
   + D 
   + 1721014

La formulo estas fakte uzebla el dato 01.03.1900 ĝis la modena tempo, sed estas eble iom malfacila por legi? Mi provas faciligi la uzon:

Entjera parto de (( M + 9 ) / 12) estu --> p1
Estu la entjero     7 * ( Y + p1 )     --> p2
Entjera parto de    ( p2 / 4 )    estu --> p3
Entjera parto de ((275 * M) / 9)  estu --> p4

Fine kalkulu  JD = 367 * Y - p3 + p4 + D + 1721014

La rezultoj de dividoj estas nenegativaj ( nuloj aŭ pli grandaj ol nulo ) kaj tial senproblemaj.

Kiel ekzemplo ni kalkulu la JD por la dato 21.07.1978, 12h UT:

Y = 1978
M = 7
D = 21

int ( (M+9) / 12) = int ((7+9) / 12) =     1  --> p1
7 * ( Y + p1 )    = 7 * (1978 + 1)   = 13853  --> p2
int ( p2 / 4 )    = int (13853 / 4)  =  3463  --> p3
int ((275*M)/9)   = int ((275*7)/9)  =   213  --> p4

JD = 367 * Y - p3 + p4 + D + 1721014
   = 725926 - 3463 + 213 + 21 + 1721014
   = 2443711

Kiel do kalkuli rezultoj por la Suno? Unue ni uzu la JD-valuon de dezirita tempopunkto por kalkuli la decimalan valuon T kio estas en juliaj jarcentoj de 36525 diurnoj post J2000.0 kio signifas la komencon de jaro 2000.

T = ( JD - 2451545 ) / 36525
Sekve eblas kalkuli valuon L, la longitudo de Suno en ekliptiko, maldesktrumen el direkto de printempa ekvinokso:

La ekliptika longitudo L de Suno
M = 357,528° + 35999,050° * T

L = 280,460° + 36000,772° * T 
  + (1,915° - 0,0048° * T) * sin (M) 
  + 0,020° * sin (2*M)

La kalkulitaj anguloj estas iom grandaj, sed la rezultoj devus esti en intervalo 0 ... 360° kaj tial oni kalkulu kion pli malgrandan angulon ili egalas, ekzemple ĉi tiel:

Estu A la granda angulo, pli granda ol 360°

turnoj = int (A / 360°)
novA = A - turnoj * 360°

La varianto novA estas en praktiko egala al A,
ĉar sama direkto, kvankam pli malgranda valuo.

Ekzemple la direkta angulo 360° estas egala al 0° kaj angulo 1000° = 1000° - int (1000° / 360°) * 360° = 1000° - 2*360° = 280° ĉar la du tutaj turnoj ne aliigas la direkton.

Se la angulo A tamen estas negativa (antaŭ la jaro 2000), oni prefere aldonu tutaj turnoj de 360° (aŭ dekoj da tutaj turnoj de 3600°) ĝis la angulo estas en korekta intervalo. Se temas pri negativaj horoj, oni aldonu tutaj diurnoj de 24 horoj (aŭ tutaj dekoj da diurnoj de 240 horoj) ĝis la horoj estas en la korekta intervalo 0 ... 24h.

Nu, mi humile konfesu, mi devas ankoraŭ prilabori negativajn valuojn pli bone ...

La rezulto, angulo de longitudo L (el direkto de printempa ekvinokso maldekstrumen) estas valida por la ekliptiko, sed ni volas atingi ekvatoriajn koordinatojn. Aldone oni bezonas la valuon ε kio estas la oblikveco de ekliptiko (kontraŭ la ekvatoro) kaj ne tute konstanta.

ε = 23,439° - 0,013° * T

La ekvatorajn koordinatojn α (RA, rektascensio) kaj δ (deklinacio) ni povas kalkuli el formuloj:

La ekvatoraj koordinatoj
RA kaj deklinacio
tan α = cos ε * tan L
sin δ = sin ε * sin L

La deklinacion δ oni kalkulas simple rekte, ĉar estas ĉiam en intervalo -90° ... +90° : δ = arcsin ( sin(δ) ) = arcsin ( sin(ε) * sin(L) )

RA tamen estas iom pli kompleksa por kalkuli ĉar la funkcio arctan ĉiam returnas la angulon en intervalo -90° ... +90° kvankam la vera direkta angulo eble estus en intervalo 0 ... 360°. La kvadranto por RA tamen estu la sama kiel por L.

Iom da baza trigonometrio, por majstri la funkcion arctan

Ni pli bone pensu pri la problemaro. Ĝenerale ni pensu pri cirklo kies radiuso estas 1 pro simpleco. La cirklo prezentas angulojn 0 ... 360°. Pozitiva direkto de rotacio en la cirklo estas maldekstrumen. La angulo 0° estas fakte la sama kiel angulo 360° ĉar la direkto ja estas la sama.

Ni vidas 4 anguloj en la apuda bildo, A, B, C kaj D en kvar kvadrantoj de cirklo Q1, Q2, Q3 kaj Q4.

La unua kvadranto Q1 povas enhavi angulon en intervalo 0 ... 90°. La dua kvadranto Q2 povas enhavi angulon en intervalo 90° ... 180°.

La tria kvadranto Q3 povas enhavi angulon en intervalo 180° ... 270°. Same bone ni tamen povus diri ke la anguloj en la tria kvadranto estas en la negativa intervalo -90° ... -180°. La angulo -90° ja estas en la sama direkto kiel la angulo 270°, kvankam la nombroj estas aliaj.

La kvara kvadranto Q4 povas havi angulon en intervalo 270° ... 360°. Same bone ni tamen povus diri ke la anguloj en la kvara kvadranto estas en la negativa intervalo 0 ... -90°.

Por la apuda bildo mi desegnis la angulon proksimume A = 30°. Tiam estas la dua angulo B = 180° - 30° = 150°. La angulon C mi desegnis en negativa direkto, sed ĝi povas esti skribita aŭ C = -180° + 30° = -150° aŭ egale C = 180° + 30° = 210°, la sama direkto. La angulon D mi desegnis en negativa direkto, sed ĝi povas esti skribita aŭ D = 0 - 30° = -30° aŭ egale 360° - 30° = 330°, la sama direkto.

Vi observu ke la X -koordinatoj sur la rondo estas la samaj por la anguloj A kaj D. Same estas la negativaj X-koordinatoj sur la rondo samaj por la anguloj B kaj C. Ankaŭ observu la samaj Y-koordinatoj sur la rondo por la anguloj A kaj B kaj la samaj negativaj Y-koordinatoj sur la rondo por la anguloj C kaj D.

Ni povas ankaŭ pensi pri la anguloj kiel hipotenuzoj en ortangulaj trianguloj kies katetoj estas laŭ la X, Y koordinataj aksoj. Kaj la longo de hipotenuzoj ja estas 1 ĉar la radiuso de cirklo estas 1. Tio kondiĉo faciligas la kalkuladon.

Ekzemple ni rigardu la ortangulan triangulon kie la direkto de angulo A el origino O al la rondo en punkto (x,y) en distanco 1 formas la hipotenuzon. La longo de pli longa kateto sur la X-akso estas x kaj la longo de kateto sur la Y-akso estas y. La korelativa punkto sur la rondo do havas koordinatojn (x,y). Ni vidas ankaŭ ke ekzemple por la angulo C estas la punkto sur la rondo (-x,-y).

Sekve ni pensu pri trigonometrio en la sama cirklo kun radiuso 1 kaj kun la samaj kvar anguloj kiel partoj de ortangulaj trianguloj.

Ni ja scias ke la funkcio sin por angulo en ortangula triangulo estas la rilato inter la longo de kontraŭa kateto al la longo de hipotenuzo. Kaj la funkcio cos por angulo en ortangula triangulo estas la rilato inter la longo de najbara kateto al la longo de hipotenuzo. ( Nu, ni tamen pli bone uzu la koordinatojn de punktoj en la rondo anstataŭ longoj de katetoj, ĉar fakte longo povas neniam esti negativa.) Nun estas la longo por hipotenuzo 1 kaj ni povas simpligi.

Por angulo A estas sin A = y / 1 = y kaj cos A = x / 1 = x

Por angulo B estas sin B = y / 1 = y kaj cos B = -x / 1 = -x

Por angulo C estas sin C = -y / 1 = -y kaj cos C = -x / 1 = -x

Por angulo D estas sin D = -y / 1 = -y kaj cos D = x / 1 = x

Ni do vidas ke egalas cos A = cos D, sin A = sin B, cos B = cos C, sin C = sin D kaj ni ankaŭ vidas ekzemple cos A = -cos B, sin A = -sin C, sin A = -sin D

Iom longa preludo al la funkcio tan kaj ĝia speciale grava kontraŭa funkcio arctan, sed espereble utila. La funkcio tan por angulo en ortangula triangulo estas la rilato inter la longo de kontraŭa kateto al la longo de najbara kateto.

Kiam ni nun povas prezenti la longojn de katetoj per valuoj de funkcioj en nia bela cirklo de radiuso 1, ni povas esprimi la aferon simple: tan A = sin A / cos A, tan B = sin B / cos B, ...

Uzante la koordinatojn sur la rondo de cirklo:

tan A =  y /  x
tan B =  y / -x
tan C = -y / -x  = y / x
tan D = -y /  x

Jen estas jam videbla la problemo de funkcio arctan por la intervalo 0 ... 360°, ĉar fakte egalas tan C = tan A kvankam la anguloj A kaj C estas tute aliaj. Dua problemo estas ke egalas tan B = -(y/x) = tan D kvankam la anguloj B kaj D ne estas la samaj.

Norme por kalkuliloj la funkcio arctan (ofte en kalkuliloj nomita tan-1) returnas la angulon en kvadrantoj Q1 kaj Q4, same kiel la funkcio arcsin (ofte en kalkuliloj nomita sin-1). En pli bonaj lingvoj ekzistas funkcio kio returnas la rezulton rekte en la korekta kvadranto (nomita ekzemple "arctan2(y, x)"), sed kun pli simplaj kalkuliloj oni devas trovi la korektan kvadranton mem mane.

Tial oni prefere ne nur faru la dividon Y/X en arctan(Y/X) , sed oni ankaŭ ekzamenu la valuojn Y kaj X aparte. Se estas X > 0, do estas la angulo jam en la korekta kvadranto, Q1 aŭ Q4. Nu, certe ni volas ke la rezulto estu en intervalo 0 ... 360° kaj tial oni prefere aldonu 360° al la negativa angulo de kvadranto Q4. Tiel oni ricevas la korelativan pozitivan angulon.

Se tamen estas la valuo de X negativa (X < 0), estus la korekta angulo en kvadrantoj Q2 aŭ Q3, kvankam la kalkulilo donas eraran kvadranton. En tio kazo oni trovas la korektan rezulton tiel ke oni aldonas 180° al la angulo el kalkulilo.

Ni ja vidas en la bildo: sin C = -y = -sin A kaj cos C = -x = -cos A kaj tan C = sin C / cos C = -y / -x = y / x = tan A kaj do egalas tan C = tan A . Ankaŭ estas sin D = -y = -sin B kaj cos D = x = -cos B kaj tan D = sin D / cos D = -y / x = y / -x = tan B kaj do egalas tan D = tan B

Ni returnu al la problemo de rektascensio. Kion ni lernis el la supra teksto? Kiel ni do solvu la arctan problemon de korekta kvadranto por anguloj 0 ... 360°? Principe la funkcio ja estas α = arctan( Y / X ) kaj la valuoj X kaj Y havas aliajn signojn en aliaj kvadrantoj. Ni do prefere ne efektivigu la dividon rekte, sed ni unue kalkulu la dividendon Y kaj la dividanton X aparte.

Ni kalkulu la formulon tan α = cos ε * tan L en du partoj tan α = cos ε * sin L / cos L:

Y = cos ε * sin L
X = cos L

La valuo X rakontas por ni ĉu la formulo arctan( Y / X ) donas rekte la korektan kvadranton por la angulo, aŭ ĉu ni aldonu 180° al la angulo. Se la korekta angulo estas en la kvara kvadranto, donas kalkulilo negativan angulon, kio ne estas erara direkto, sed ni prefere aldonu 360° tiel ke la rezulto estu en la pozitiva intervalo 0 ... 360°.

La ne lokaj (rotacio de Tero ne influas) kaj iom malrapide aliiĝaj koordinatoj RA (α) kaj Dec (δ) por la Suno por la dezirita momento certe estas bona rezulto ... sed mi tamen volas nun testi kaj kompari la rezulton kun la GHA (al kio la rotacio de Tero influas) de Suno en malnova navigacia libro kaj por tio ni bezonas ankaŭ la korespondan sideran tempon.

Iom da rakonto pri speciala horangulo, la sidera tempo

La suba bildo povas helpi por kompreni la sideran tempon. Sidera tempo estas la horangulo por la direkto de printempa ekvinokso. Oni mezuras sideran tempon el sudo okcidenten kaj ĝi estas do loka informo, kreskas proksimume same rapide kiel la norma tempo. Ekzistas tamen ioma diferenco inter la norma tempo kaj la sidera tempo. La kialon por tio provas klarigi la suba bildo.

La bildo prezentas la planedon Tero (verda cirklo) en sia orbito ĉirkaŭ la Suno en spaco, en du aliaj situacioj. Maldekstre situas la Tero printempe tiel ke la Suno aperas en la direkto de printempa ekvinokso. La direkto al Suno estas la sama. La Tero iras en sia orbito sur ekliptiko maldekstrumen kaj samtempe ĝi ankaŭ rotacias maldekstrumen (orienten). Dekstre estas la Tero en aŭtuna situo proksimume duonon da jaro pli poste. La direkto en spaco al la - principe senfine distanca - printempa ekvinokso estas la sama kiel antaŭe, sed la direkto al la Suno estas nun tute alia.

Nia origina koncepto pri tempo principe baziĝas al la direkto de Suno. La Tero rotacias maldekstrumen (orienten) ĉirkaŭ sia rotacia akso kaj tial por ni homoj sur la surfaco de Tero aperas ke la Suno turnas dekstrumen (okcidenten) ĉirkaŭ nia planedo. Kiam la Suno aperas en sudo, estas laŭ tradicia kompreno la vera meztago.

Sidera tempo tamen sekvas la direkton de printempa ekvinokso, anstataŭ la direkton de Suno. Dum la duono de jaro - el printempo al aŭtuno - devis la Tero turni ĉirkaŭ sia rotacia akso sume 180° pli, tiel ke la Suno estus meztage en sudo. Dum la 6 monatoj estis do la sunaj diurnoj sume 12 horoj pli longaj ol la sideraj diurnoj. Tio signifas ke mezaj sunaj horoj estas dum unu monato sume 2 horoj pli longaj ol sideraj horoj. Proksimume estas 2 horoj / monato = 120 minutoj / 30 diurnoj = 4 minutoj de tempo / diurno.

Nia oficiala tempo principe sekvas la Sunon kaj ne la direkton de printempa ekvinokso. Do mi povus diri ke la mezaj sunaj horoj reprezentas la oficialan tempon. Nu, en moderna tempo la afero estas oficiale iom pli kompleksa, sed tamen la sidera diurno estas pli kurta ol la sola diurno, ĉar la Suno movas en ekliptiko proksimume unu gradon maldekstrumen dum unu meza sola diurno. Samtempe la Tero ankaŭ rotacias maldekstrumen. Post la tuta turno 360° en spaco ĉirkaŭ sia rotacia akso la Tero bezonas ankoraŭ turni proksimume tion unu gradon pli maldekstrumen, por ke la Suno denove estu en la sama meridiano kiel hieraŭ ... kaj la meza sola diurno do estu tuta.

Mi bedaŭrinde antaŭe skribis iom erare pri ĉi tio temo kaj mi provas nun plibonigi la klarigon pri la sidera tempo ... espereble la rezulto nun estas pli bona ...

En daŭro de jaro estas proksimume 365,25 diurnoj kaj la Tero do dum unu jaro turnas ĉirkaŭ sia rotacia akso proksimume 365,25 turnoj, kompare al la Suno. Kompare al la direkto de printempa ekvinokso - kies direkto en spaco estas pli stabila - la Tero tamen turnas unu turnon pli, do proksimume 366,25 turnoj, ĉar la Tero cirkulas ĉirkaŭ la Suno, sed ne cirkulas la printempan ekvinokson. Do proksimume egalas 365,25 solaj diurnoj kaj 366,25 sideraj diurnoj.

Kiel longa do estas sidera diurno mezurita en horoj kies longon determinas la sola diurno? La Tero devas kompare al la direkto de printempa ekvinokso dum unu jaro turni unu tutan turnon pli multe ol kompare al la direkto de Suno. La sidera diurno do estas pli kurta ĉar estas pli multe da ili dum la sama tempo. La sidera diurno estas 365,25/366,25 = 0,9972696 de meza sola diurno. Mi povas simple kalkuli: Dum unu diurno estas la sidera horo (1 - 0,9972696)*24*60 = 0,0027304*24*60 = 3,9318 minutoj pli mallonga ol la meza sola horo ; Tio estas 3 tutaj minutoj kaj (3,9318 - 3) * 60 = 55,9 sekundoj de tempo.

Meza sola diurno tial estas proksimume 4 minutoj da tempo (pli akurate 3 minutoj kaj 56 sekundoj) pli longa ol la sidera diurno. Tial ekzemple steloj estas en meridiano proksimume 4 minutoj da tempo pli frue la sekvantan tagon, laŭ la norma tempo.

Ni kalkulu GMST, la lokan mezan sideran tempon por la "Greenwich" meridiano. Ni uzu la JD-valuon por 0h UT, nomita JD0 en la formulo. Ni subtrahas 0,5 tagoj (12 horoj) el la JD por 12 horoj UT por kalkuli la valuon de JD0

T0 = ( JD0 - 2451545,0 ) / 36525

GMST = 6,69737456h + 2400,051336h * T0 
     + 0,0000258622h * T02  
     + 1,002737909 * UT

Kie UT estas la universala tempo en decimalaj horoj.

Kiel oni uzu la sideran tempon por kalkuli la lokan horan angulon GHA, "Greenwich Hour Angle", por la meridiano de "Greenwich"? GMST estas "Greenwich Mean Sidereal Time" en horoj kaj estas konvena por niaj intencoj kiam ni pensas nur la meridianon de "Greenwich".

La apuda bildo en ekvatora ebeno ĉirkaŭ la loko de observanto esprimas grafike la rilatojn inter RA, GMST kaj GHA. Notu ke oni mezuras RA maldekstrumen (orienten) el printempa ekvinokso. Horan angulon oni mezuras el sudo dekstrumen (okcidenten) kaj oni povas pensi ke ankaŭ sidera tempo estas ia hora angulo. Ni tamen pensu en sekvantaj formuloj nur la valuojn kaj ni lasu la formulojn zorgi pri la direktoj.

Kiam ni pensas pri la meridiano de "Greenwich", ni povas uzi la nomojn:

GMST = la sidera tempo (horangulo de printempa ekvinokso)
GHASUN = la horangulo por la Suno
RASUN = la rektascensio de objekto

Kaj tiam validas : GHASUN = GMST - RASUN aŭ alternative RASUN = GMST - GHASUN al alia direkto. GHA kaj RA kreskas al aliaj direktoj kaj GMST estas sumo de iliaj valuoj: GMST = RASUN + GHASUN .

Jes, nun ni testu, uzante numeran ekzemplon!

Interesan eblecon por iom kontroli kaj testi la metodon proponas "Brown's Nautical Almanac 1958" kies kovriloj estas fotitaj apude.

La jaro 1958 estas por mi grava ĉar mi naskiĝis la 30-an tagon de septembro 1958. Ni do selektu la daton 30.09.1958 por la testo. Facila selekto por tempo estas la oficiala meztago de "Greenwich", do 12 horoj UT.

La libro uzas GMT ("Greenwich Mean Time") sed la diferenco ne estas tro granda. 12h GMT proksimume egalas 12h UT. Diferenco de unu minuto de tempo ne estas grava por rektascensio de Suno ĉar la Suno movas en longitudo proksimume 1° / diurno = 60' / 24h = 1' / 24 minutoj de tempo kaj nia celo de precizeco estas pli malgranda.

Ni evitas la interpoladon uzante rekte la valuon en la libro.

La precizeco de navigacia libro estas 0,1' aŭ 1/10 minutoj da arko (proksimume 0,002 gradoj), kio estas pli bona ol kion "Almanac for Computers" proponas por nia metodo. Mi atendas eraron maksimume 1 arka minuto (1/60 gradoj) en la fina rezulto de kalkulado laŭ la metodo de "Almanac for Computers".

La dezirita precizeco de tradicia navigacio devenas el la angulo kion la planedo Tero turnas dum 0,4 sekundoj, kio proksimume estas la plej bona por homa mano kaj okulo ebla atingo de akurateco kun norma mana sekstanto. La Tero turnas la angulon 15°/horo, kio egalas al 1°/4 minutoj kaj do 1'/4 sekundoj, sekve 0,1' dum 0,4 sekundoj. Eble iom optimisme en praktikaj cirkonstancoj?

Ni tamen nun ne bezonas pensi pri la rotacio de Tero, ĉar mia ideo estas nur kalkuli la valuojn GHA ("Greenwich Hour Angle") kaj deklinacio (Dec) de Suno, kioj estas rekte en la tabelo de navigacia libro. GHA estas la hora angulo en la meridiano de "Greenwich", geografia longitudo 0°.

La valuoj de navigacia libro estas iom aliaj ol tioj de astronomio. En tradicia navigacio oni uzas la astronomiajn valuojn kiel laboriloj en certaj enradikiĝaj kalkulaj metodoj. Nu, la hora angulo de objekto certe estas en praktiko tre utila scio.

Por 30.09.1958 je 12 horoj GMT la navigacia libro donas:

SUN   GHA:   2° 28,2' 
      Dec: S 2° 42,4'  (S signifas "South" ; Dec do estas negativa)
ARIES GHA: 188° 43,7' 

En astronomio oni nomas la iom kuriozan esprimon "[the first point of] ARIES" al la punkto de printempa ekvinokso kaj la hora angulo de ARIES do estas la loka sidera tempo en meridiano de "Greenwich". Nia propra kalkula metodo produktas la valuon RA kaj ni bezonas sideran tempon por atingi la korespondan horan angulon.

La por testo selektita momento do estas 30.09.1958 je 12 horoj UT (proksimume la sama en GMT). Do estas Y = 1958, M = 9, D =30. Ni unue kalkulu la valuon JD por 12h UT:

int (( M + 9 ) / 12) = int ((9+9) / 12) =   1  --> p1
7 * ( Y + p1 ) = 7 * (1958 + 1)  =      13713  --> p2
int ( p2 / 4 ) = int ( 13713 / 4 ) =     3428  --> p3
int ((275 * M) / 9) = int ((275*9) / 9) = 275  --> p4

JD = 367 * Y - p3 + p4 + D + 1721014
   = 367 * 1958 - 3428 + 275 + 30 + 1721014
   = 718586 - 3428 + 275 + 30 + 1721014
   = 2436477

Sekve ni kalkulu la korespondan valuon T kio estas juliaj jarcentoj (de 36525 tagoj) el J2000.0

T = ( JD - 2451545,0 ) / 36525
  = ( 2436477 - 2451545 ) / 36525
  = -15068 / 36525
  = -0,41253936

T estas negativa ĉar la jaro 1958 estis antaŭ la jaro 2000.

Sekve ni kalkulu koordinatoj por la Suno en la ekliptika ebeno. La ekliptika latitudo estu nulo.

M = 357,528° + 35999,050° * T
  = 357,528° + 35999,050° * (-0,41253936)
  = -14493,4969°

La korelativa angulo en la intervalo 0 ... 360° tamen estas ...

M = 266,5031°

Ni povas jam kalkuli la valuojn por la sekvanta formulo ...
sin (M)   = -0,9981381
sin (2*M) = 0,121762


L = 280,460° + 36000,772° * T 
   + (1,915° - 0,0048° * T) * sin (M) 
   + 0,020° * sin (2*M)

L = 280,460° + 36000,772° * (-0,41253936)
  + (1,915° - 0,0048° * (-0,41253936)) * (-0,9981381)
   + 0,020° * 0,121762

L = -14571,2754°
  - 1,913411°
  + 0,002435°

L = -14573,1864°

Ni tamen volas la angulon en la norma intervalo 0 ... 360°
kion ni povas produkti aldonante sufiĉe da anguloj 360°

L = 186,8136°

Ĉu estas bona tia ekliptika longitudo de Suno por fino de septembro? Por la Suno estas speciale facile por kontroli, ĉar ni scias ke en ĉiu jaro je printempa ekvinokso (je 21-a de marto) estas la longitudo de Suno 0°, je somera solstico (je 21-a de junio) 90°, je aŭtuna ekvinokso (je 21-a de septembro) 180°, je vintra solstico (je 21-a de decembro) 270° kaj je sekvanta printempa ekvinokso denove 0°, kion ni povus ankaŭ skribi 360°.

La fino de septembro monato estas iom post la aŭtuna ekvinokso kaj la longitudo de Suno do tiam estu iom pli ol 180°. La Suno progresas sur ekliptiko proksimume unu gradon per tago. La rezulto do ŝajnas kredebla.

Mana kalkulado kun kalkulilo certe estas riskema por eraroj. Komputila programo klare estas pli bona celo. Estas tamen bone por povi kalkuli mane, eĉ por programisto.

La kalkulado tamen progresos. Ni volas kalkuli la ekvatoriajn koordinatojn. Por tio ni unue bezonas la oblikvecon de ekliptiko.

ε = 23,439° - 0,013° * T
  = 23,439° - 0,013° * (-0,41253936)
  = 23,444°

Ni ja povas kalkuli la ekvatoriajn koordinatojn α (RA) kaj δ (deklinacio) el formuloj:

tan α = cos ε * tan L
sin δ = sin ε * sin L

Deklinacio certe estas la pli facila por kalkuli:

sin δ = sin ε * sin L
  = sin(23,444°) * sin(186,8136°)
  = -0,0472

δ = arcsin (-0,0472)
  = -2,705°

La rektascension α (RA) ni tamen bezonas pensi pli akurate. La ekliptika longitudo L ja estas en la tria kvadranto kaj la rektascensio ankaŭ estu en la sama kvadranto, ĉar ni mezuras ilin ambaŭ el la sama direkto de printempa ekvinokso al la sama direkto, maldekstrumen. Ni jam produktis la formulon en du partoj:

Y = cos ε * sin L
X = cos L

La valuo X ja estas negativa ; X = cos L = cos(186,8136°) = -0,992937 kaj tial ni scias ke ni povas simple aldoni 180° al la rezulto de arctan( Y / X ) = arctan ( cos ε * sin L / cos L ) = arctan ( -0,108846 / -0,992937 ) = arctan (0,109620) = 6,2558°

Do estas fine la rezulto por rektascensio α = 6,2558° + 180° = 186,256°

... kaj la valuo GHA de navigacia libro?

Sed nia navigacia libro ja ne donas RA kiel rezulto, sed la valuon de GHA, la hora angulo de Suno en meridiano de "Greenwich". Kiel ni do kontinuu la teston?

El apuda bildo ni lernas la rilaton inter RA de objekto, GHA de sama objekto kaj GMST kio estas la meza sidera tempo en meridiano de "Greenwich". Sidera tempo estas la hora angulo por la direkto de printempa ekvinokso kion navigantoj nomas "ARIES".

Do validas ekzemple RA + GHA = GMST kaj tial GHA = GMST - RA

Nun ni bezonas la sideran tempon. Antaŭe ni kalkulis la valuon JD por 12 horoj UT. Nun ni tamen pli bone uzu JD por 0 horoj UT kion ni kalkulas el JD subtrahante duonon de tago. JD0 = JD12h - 0,5 = 2436477,0 - 0,5 = 2436476,5

Nu, T estas en juliaj jarcentoj de 36525 tagoj kaj 0,5 tagoj egalas proksimume al 0,000014 jarcentoj. Certe ni bezonas almenaŭ 6 signifaj nombroj por T.

T0 = ( JD0 - 2451545,0 ) / 36525
  = ( 2436476,5 - 2451545,0 ) / 36525
  = -0,4125530

T02 = 0,1702000

GMST = 6,69737456h + 2400,051336h * T0 
     + 0,0000258622h * T02  
     + 1,002737909 * UT

GMST = -983,451004h + 0,00000440h + 1,002737909 * 12h
     = -983,4509999 h + 12,0328549 h 
     = -971,41815 h

Al la norma intervalo 0 ... 24h 

GMST = 12,58186 horoj

Unu minuto da tempo estas proksimume 0,017 horoj kaj tial mi pensas ke 4 decimaloj sufiĉas. Ni tamen volas la sideran tempon ne en tempa mezuro, sed en angula mezuro. Unu horo egalas 15 gradoj kaj tial estu GMST = 12,58186h * 15°/h = 188,728° kio bone sidas kun la valuo de navigacia libro: ARIES GHA: 188° 43,7' = 188,723° , kiam ni scias ke estas 60 minutoj de arko en unu grado.

Ni do povas kalkuli: GHA = GMST - RA = 188,728° - 186,256° = 2,472°

La kontrolaj scioj el la navigacia libro estis:

SUN   GHA:   2° 28,2'  =  2,470°
      Dec: S 2° 42,4'  = -2,707°

Kaj certe niaj kalkulitaj rezultoj por la Suno estas bonaj, diferenco nur en la tria decimala nombro:

GHA  = 2,472°
δ  =  -2,705°

"Almanac for Computers" promesis precizecon de ±1' (unu arka minuto = 1/60 da grado) = ±0,017° por la rezulto kaj la precizeco de fama navigacia libro kredeble estas pli bona ol ±0,1' = ±0,0017°

Iom longa kalkulo, sed ni certe ne batalis vane. Nu, klare mi devas ankoraŭ alĝustigi kaj plibonigi la enhavon de ĉi tio artikolo ...

Ni do traktis la direkton de Suno en "Greenwich". Pri sunhorloĝoj mi devas aldoni ke oni ja norme ne kalkulas la tempan skalon nur por unuopa jaro, sed por ĉiuj la jaroj. La ioma nereguleco de kalendara jaro ne estas grava problemo por sunhorloĝoj. La ioman neregulecon de suna tempo dum aliaj sezonoj de jaro eblas trakti ekzemple per "Ekvacio de Tempo". La daŭro de sunaj horoj nome iom varias, kompare al la horoj de oficiala tempo. En ekvatora sunhorloĝo la solvo povas esti mekanika. La tempa skalo de sunhorloĝo eble estas turnebla ĉirkaŭ la centra akso. Tiel oni povas facile efektivigi diversaj ĝustigoj al la indikata tempo.

Tradicie oni opiniis ke 6 .. 7 ciferoj estas sufiĉa por precizeco de eĉ 1", unu arka sekundo, sed ĉi tia kalkula metodo postulas iom multe da precizeco el kalkulilo. En tekniko oni ĝenerale pensis ke 3 .. 4 signifaj ciferoj estas jam bona rezulto, ĉar la ekira informo ne estas pli akurata. Ni tamen pensu pri T, la nombro de juliaj jarcentoj post J2000.0 ; Estas ja 1200 monatoj en 100 jaroj. Se estus nur 3 .. 4 korektaj numeroj en la valuo de T, povus la eraro en tempo esti eĉ monatoj kaj la rezultoj estus tute senutilaj.

Ekzemple en la entjera parto de JD-valuo jam estas 7 ciferoj. En la supra ekzemplo estis JD0 = 2436476,5 kaj se ni volas precizecon de 1/100 diurnoj kio egalas al 0,24 horoj = 14,4 minutoj de tempo, ni nepre bezonas 9 signifaj numeroj en la JD-valuo. Nu, modernaj sciencaj kaj teknikaj kalkuliloj kredeble kapablas kalkuli almenaŭ kun 10 signifaj numeroj senprobleme? Kun kelkaj programaj lingvoj kaj simpla decimala precizeco oni tamen notu ke ekzemple 6 signifaj ciferoj en decimalaj numeroj estas iom malmulte por ĉi tiaj kalkuloj. Oni prefere uzu duoblan precizecon. Kaj certe variantoj de entjera tipo ne taŭgas por prezenti decimalaj valuoj.

Vi testu vian kalkulilon: 3*(1/3) = ? , 7*(1/7) = ? , 1 - 7*(1/7) = ? , 1/(1/3) = ? , 4*tan-1(1) - 180° = ?

Evidente restas multe por batali ankaŭ kun ĉi tio temo, kredeble eĉ la reston de mia vivo. Scipovo estas forto!

Kaj certe fine .......... NI VENKOS!

La Ambasadoro en Finnlando
de sendependa nacio
Mueleja Insulo


Menuo
Ĉefa paĝo (finna lingvo)