<<

#475 ; Precesio á la libro de Peter Duffett-Smith

>>

Ni jam antaŭe kalkulis - kiel ekzemplo - ekvatorajn koordinatojn por Jupitero laŭ la metodo de "Practical Astronomy with your Calculator". En la pionira libro por astronomiaj amatoroj de Peter Duffett-Smith estas la epoko por planedoj 1990.0 ... kaj ankaŭ la rezultoj de planeda kalkulado kredeble estas por la ekvinokso de sama jaro 1990.0

Mi tamen kredas ke ekzemple por la Luno la ekvinokso en la libro estas por la koncerna dato, sed por planedoj ni pli bone mem korektigu la precesion al la koncerna dato el la ekvinokso jaro 1990.0

Ekzemple Jean Meeus tre singarde informas pri la ekvinokso de kalkulaj rezultoj, sed evidente Peter Duffett-Smith estas iom pli nelogika? Mi tamen volas klare rakonti pri ekvinokso kiam temas pri ekvinokso. Epoko kaj ekvinokso ne estas la sama afero.

Precesio estas fenomeno kio movigas la gravan referencan direkton de ekliptikaj kaj ekvatoraj koordinatoj, la direkton de printempa ekvinokso. Dum unu jaro precesio estas nur proksimume unu minuto de arko, sed dum jaroj ĝi fariĝas iom granda efekto, ĉar ĝi kreskas kontinue. La ĉiela ekvatoro movas, sed la ekliptiko restas esence la sama.

Apudaj fotoj prezentas kiel W.M.Smart kaj Robin M. Green desegnis pri precesio por universitataj lernolibroj de sfera astronomio. Mi kredas ke ankaŭ ili havis iom por fari kun Cambridge kaj eble ili iom influis al la laboroj de Peter Duffett-Smith.

Ni pensu pri la polusoj. La poluso de ekliptiko restas esence la sama, sed la poluso de ekvatoro movas ĉirkaŭ la poluso de ekliptiko kaj tial la krucaĵo de ekliptiko kaj ekvatoro, la direkto de printempa ekvinokso, movas. Ni povas pensi pri ekliptiko kiel la orbita ebeno de planedo Tero kaj pri la ĉiela ekvatoro kiel plilongigo de ekvatoro de Tero al la imaginita ĉiela sfero.

En la desegnaĵoj de Smart kaj Green estas K la poluso de ekliptiko kaj P estas la poluso de ĉiela ekvatoro.

Precesion de ĉielaj koordinatoj kaŭzas la altiraj gravitoj de Suno kaj Luno al la - pro rotacio - iom platiĝa Tero. Tial oni parolas pri Luna-Suna Precesio. La rotacia akso de nia planedo estas en precesia movado kaj tial la al tera ekvatoro kaj direkto de printempa ekvinokso kuplitaj ekvatoraj koordinatoj ŝangiĝas dum tempo.

La periodo de precesio estas 25800 jaroj kaj tial ni apenaŭ bezonas pensi pri pli ol la unuan turnon. Antaŭ 26 miloj da jaroj oni apenaŭ registris precizajn direktojn de planedoj ... kaj kio scias kiom bone la homaro fartos post 25 miloj da jaroj.

Ekzemple en stelmapo de ekvinokso 1950.0 estas la relativaj lokoj de steloj bonaj kaj eblas precize loki planedon al la mapo se la koordinatoj por la planedo estas por la sama ekvinokso 1950.0 sed la koordinatoj de steloj estas jam iom aliaj por ekvinokso 2000.0 kio estas 50 jaroj poste.

Peter Duffett-Smith donas du aliaj metodoj por korektigi precesion. Ni unue rigardu al la proksimuma metodo. Ĝi estas uzebla por kelkaj dekoj da jaroj.

La komenca punkto povas esti ekzemple la 1950.0 koordinatoj de stelo. La ekvatoraj koordinatoj rektascensio α0 kaj deklinacio δ0 estas jen por la norma ekvinokso 1950.0 kaj la aliaj koordinatoj α1, δ1 de sama objekto estas por ekvinokso N jaroj post 1950. La novaj koordinatoj estas:

α1  =  α0 + ( 3,07327s + 1,33617s * sin α0 * tan δ0 ) * N
δ1  =  δ0 + ( 20,0426" * cos α0 ) * N

Vi notu ke la konstantoj por la rektascensio estas en sekundoj de tempo kaj la konstanto por la deklinacio estas en sekundoj de arko.

Angulo 1° (grado) = 60' (arkaj minutoj) = 3600" (arkaj sekundoj). Unu horo de rektascensio egalas 15° kaj 60 tempaj minutoj kaj 3600 tempaj sekundoj. Tial unu sekundo de tempo egalas al 15 sekundoj de arko ; 1s = 15". Do la plej granda konstanto por rektascensio supre egalas proksimume 46".

Eblas ankaŭ uzi alian ekvinokson por la originaj koordinatoj. Tiam estas la formuloj en pli ĝenerala formo:

α1  =  α0 + ( m + n * sin α0 * tan δ0 ) * N
δ1  =  δ0 + ( n' * cos α0 ) * N

Kaj la valuojn m, n, n' oni trovas en la suba tabelo.

Origina ekvinokso m
en tempaj sekundoj
n
en tempaj sekundoj
n'
en sekundoj de arko
1900.0 3,07234s 1,33646s 20,0468"
1950.0 3,07327s 1,33617s 20,0426"
1975.0 3,07374s 1,33603s 20,0405"
2000.0 3,07420s 1,33589s 20,0383"

Kiel kalkula ekzemplo la libro prezentas la taskon por trovi la 1979.5 koordinatojn por stelo kies 1950.0 koordinatoj estis α0 = 09h 10m 43s , δ0 = +14° 23' 25"

En decimalaj gradoj la originaj valuoj estas α0 = 137,679167° , δ0 = +14,390278° kaj la nova ekvinokso estas N = 29,5 jaroj poste.

La libro kalkulas la korektigon por la rektascensio en decimalaj horoj kaj mi provu fari same:

α1 = α0 + ( 3,07327s + 1,33617s * sin α0 * tan δ0 ) * N / 3600
   =  9,178611h + 0,027075h
   =  9,205686h

La korektigo por RA estas proksimume 0,4° kaj la libro prezentas la rezulton α1 = 9h 12m 20s

δ1 = δ0 + ( 20,0426" * cos α0 ) * N / 3600
   = +14,390278° - 0,121435°
   = +14,268843°

La libro prezentas la novan deklinacion δ1 = 14° 16' 08"

Kredeble ĉi tio proksimuma metodo estus principe tute sufiĉa por korektigi la koordinatojn de Jupitero el ekvinokso 1990 al ekvinokso 1972.5 sed la libro ne donas la konstantojn por 1990.0 kio ne estas norma ekvinokso.

La ekzakta metodo de precesio

Ni kalkulu la ekzaktan precesion en du fazoj. La origina ekvinokso de koordinatoj estu JD1 kaj la fina ekvinokso estu JD2. Unue ni kalkulas el ekvinokso JD1 la koordinatojn por la norma ekvinokso J2000 ("Epoch 0") kaj en la dua fazo ni kalkulas la koordinatojn el la norma ekvinokso J2000 ("Epoch 0") al la fina ekvinokso JD2.

Nu certe, se la origina ekvinokso de koordinatoj estus J2000.0, ni bezonus nur la duan fazon por kalkuli la koordinatojn al la fina ekvinokso JD2.

Unue ni kalkulas por la origina ekvinokso JD1.

Estu T en juliaj jarcentoj el J2000 kio estas JD 2451545. Ni kalkulu por la koncerna JD:

      JD - 2451545
T = ----------------
         36525

Ni kalkulu valuojn por la precesiaj variantoj:

ζA = 0,6406161° * T + 0,0000839° * T2 + 0,0000050° * T3

zA = 0,6406161° * T + 0,0003041° * T2 + 0,0000051° * T3

ΘA = 0,5567530° * T - 0,0001185° * T2 - 0,0000116° * T3

El tioj ni povas kalkuli la helpajn valuojn:

CX = cos ζA      CZ = cos zA      CT = cos ΘA
SX = sin ζA      SZ = sin zA      ST = sin ΘA

La matrico P' por kalkuli koordinatojn el la origina ekvinokso JD1 al la norma ekvinokso J2000 ("Epoch 0") estas jena:

       |  CX*CT*CZ-SX*SZ      CX*CT*SZ+SX*CZ       CX*ST |
P'  =  | -SX*CT*CZ-CX*SZ     -SX*CT*SZ+CX*CZ      -SX*ST |
       |      -ST*CZ               -ST*SZ            CT  |

Ni kalkulu valuoj por la elementoj de vektoro v el la originaj ekvatoraj koordinatoj rektascensio α1 kaj deklinacio δ1 :

     |  x  |     |  cos α1 * cos δ1  |
v  = |  y  |  =  |  sin α1 * cos δ1  |
     |  z  |     |      sin δ1       |

Sekve ni kalkulas multiplikon "matrico * vektoro" kaj la rezulto estas vektoro s kio enhavas la koordinatojn por la ekvinokso J2000.

s  =  P' · v

Ni tamen ne bezonas kalkuli la rektascension kaj deklinacion por J2000 el la vektoro s.

Sekve ni kontinuu al fazo 2. Ni denove kalkulu T kaj la suprajn valuojn ζA, zA, ΘA ... kaj tiel plu ... por la fina ekvinokso JD2 kaj ni kalkulu novan matricon P por kalkuli la koordinatojn por la ekvinokso JD2 el la ekvinokso J2000.

      | CX*CT*CZ-SX*SZ     -SX*CT*CZ-CX*SZ      -ST*CZ |
P  =  | CX*CT*SZ+SX*CZ     -SX*CT*SZ+CX*CZ      -ST*SZ |
      |      CX*ST             -SX*ST              CT  |   

Ni denove multipliku matricon kaj vektoron por ricevi la vektoron w kio enhavas la koordinatojn por la fina ekvinokso JD2.

w  =  P · s

Kaj fine ni kalkulos la ekvatorajn koordinatojn por la ekvinokso JD2. Nome estas:

     |  m  |     |  cos α2 * cos δ2  |
w  = |  n  |  =  |  sin α2 * cos δ2  |
     |  p  |     |      sin δ2       |

Kaj tial ni povas kalkuli: α2 = arctan( n / m ) kaj δ2 = arcsin ( p )

Ni tamen ne forgesu la korektan kvadranton por la rektacensio.

            n        sin α2  * cos δ2 
tan α2  =  ---  =   -------------------
            m        cos α2  * cos δ2 

Se la valuo m en la denominatoro estas negativa ( cos α2 < 0 ), ni aldonu 180° al la rezulto el simpla inversa tangento por meti la angulon (de intervalo 0 ... 360°) en la korekta kvadranto.

Se la angulo estas en la kvara kvadranto, inversa tangento returnas negativan angulon (-90° ... 0) kion ni povas esprimi en la norma intervalo aldonante unu tutan turnon, 360°, kaj la rezulto de kvara kvadranto poste estos en intervalo 270° ... 360°.


La ekzemplo de Jupitero

Nu, por nia kara ekzemplo por Jupitero dum la somero 1972 ... estas la origina ekvinokso JD1 kredeble la jaro 1990,0 el kalkulado kaj la fina ekvinokso JD2 estu proksimume 1972,5 sed mi volas unue kalkuli kiel eble plej korektajn rezultojn por la ekvinokso JD1 kaj nur poste kalkuli la akuratan precesion al ekvinokso JD2. Mi eble povus solvi la Ekvacion de centro pli akurate kaj por Jupitero kaj por Tero. Eble indas solvi la Ekvacion de centro ĝis e3 por Tero kaj ĝis e5 por Jupitero.

Eblas kalkuli valuoj por precesio jam sen scii la koordinatojn. Por la origina ekvinokso de libro 1990.0 ( JD1 = 2447891,5 ) ni kalkulas:

     2447891,5 - 2451545,0
T = -----------------------  =  -0,10002738
            36525

ζA =  0,6406161° * T + 0,0000839° * T2 + 0,0000050° * T3
   = -0,06407831°

zA =  0,6406161° * T + 0,0003041° * T2 + 0,0000051° * T3
   = -0,06407611°

ΘA =  0,5567530° * T - 0,0001185° * T2 - 0,0000116° * T3
   = -0,05569172°

CX = cos ζA =  0,99999937
SX = sin ζA = -0,00111837734

CZ = cos zA =  0,99999937
SZ = sin zA = -0,00111833889

CT = cos ΘA =  0,99999953
ST = sin ΘA = -0,000972003677

       |  CX*CT*CZ-SX*SZ      CX*CT*SZ+SX*CZ       CX*ST |
P'  =  | -SX*CT*CZ-CX*SZ     -SX*CT*SZ+CX*CZ      -SX*ST |
       |      -ST*CZ               -ST*SZ            CT  |

       |  0,999997     -0,002237      -0,000972  |
    =  |  0,002237      0,999997      -0,000001  |
       |  0,000972     -0,000001       0,9999995 |

Mi denove kalkulis por Jupitero longitudon l = 274,587550° (anstataŭ la origina 274,555298° de antaŭa artikolo, sen perturboj) kaj por Tero L = 285,704516° (anstataŭ la 285,237126° de antaŭa artikolo ; diferenco preskaŭ ½°). Tia longitudo ja estas L = ν + ͠ω ; Vera anomalio + Longitudo de perihelio.

Mi kalkulis denove por Jupitero la tercentrajn ekliptikajn koordinatojn (1990.0) longitudo λ = 272,068303° (antaŭe 272,137682°) kaj latitudo β = 0,1587106° (antaŭe 0,159678°) ; diferenco en direkto de planedo proksimume 0,07°.

Mi uzas la ĝeneralan metodon por aliigo de koordinatoj same kiel en la antaŭa artikolo. La ekvatoraj koordinatoj por la ekvinokso 1990.0, rektascensio α1 = 272,251516° (antaŭe 272,327°) kaj deklinacio δ1 = -23,267970° (antaŭe -23,266°).

Sekve ni uzos la kalkulitajn (ekvinokso 1990.0) ekvatorajn koordinatojn por kalkuli la ekvatoraj koordinatoj por la ekvinokso J2000. Ni jam supre kalkulis la valuojn por la matrico P' sed ni bezonas valuojn por la vektoro v el la novaj koordinatoj.

... (Nu, fakte ni povus uzi la rezultajn valuojn el la ĝenerala aliigo de koordinatoj rekte ... la ĝenerala aliigo de koordinatoj estas de sama formo kiel la ekzakta precesio )

     |  x  |     |  cos α1 * cos δ1  |     |  0,0360910 |
v  = |  y  |  =  |  sin α1 * cos δ1  |  =  | -0,9179581 |
     |  z  |     |      sin δ1       |     | -0,3950320 |

Ni efektivigu la multiplikon matrico * vektoro

                 |  0,038528  |
s  =  P' · v  =  | -0,917874  |
                 | -0,394996  |

La rezulta vektoro s enhavas la koordinatojn por J2000.0 kaj ni povas ĝin uzi rekte en la sekvanta matrica multipliko.

La nomo de matrico P' estas nur p en la sekvanta foto de kalkulila ekrano. En la dua foto dekstre ni vidas la rezulton de multipliko P' · v = s en tuta precizeco de kalkulilo. La nomo de venonta matrico P en la kalkulilo estas nun bedaŭrinde r.

Nu, mi devas konfesi ke estas iom malfacila tasko por norma simpla kalkulilo. Komputila programo certe estus pli bona laborilo.

Por la fina ekvinokso 1972,5 de koncerna tago (JD2 = 2441506,0) ni unue kalkulas valuojn por precesio:

     2441506,0 - 2451545,0
T = -----------------------  =  -0,2748528
            36525

ζA =  0,6406161° * T + 0,0000839° * T2 + 0,0000050° * T3
   = -0,1760689°

zA =  0,6406161° * T + 0,0003041° * T2 + 0,0000051° * T3
   = -0,17605229°

ΘA =  0,5567530° * T - 0,0001185° * T2 - 0,0000116° * T3
   = -0,15303385°

CX = cos ζA =  0,99999528
SX = sin ζA = -0,00307297754

CZ = cos zA =  0,99999528
SZ = sin zA = -0,00307268724

CT = cos ΘA =  0,99999643
ST = sin ΘA = -0,00267094146

      | CX*CT*CZ-SX*SZ     -SX*CT*CZ-CX*SZ      -ST*CZ |
P  =  | CX*CT*SZ+SX*CZ     -SX*CT*SZ+CX*CZ      -ST*SZ |
      |      CX*ST             -SX*ST              CT  |   

      |  0,999978    0,006146    0,002671  |
   =  | -0,006146    0,999981   -0,000008  |
      | -0,002671   -0,000008    0,999996  |

Kaj jam eblas solvi la koordinatojn por la ekvinokso de koncerna dato. Ni ja ankoraŭ havas la J2000 koordinatojn en la vektoro s.

                |  0,031831 |
w  =  P · s  =  | -0,91809  |
                | -0,39509  |

Ni facile solvas δ2 = arcsin(-0,39509) = -23.27159°

              -0,91809
α2 = arctan ( --------- ) + 360° = 271,95453°
               0,031831

Fine ni povas kompari la novajn rezultojn al la kredeble ±0,1' bona informo (±0,0017°) por la ekvinokso de koncerna dato el la navigacia jarlibro.

             Rektascensio   Deklinacio
Jarlibro     272,022°       -23,270°
Kalkulita    271,955°       -23,272°

Diferenco por la direkto de planedo Jupitero estas proksimume 0,06° kio miaopinie tute ne estas malbone, por relative simpla kalkula metodo. Mi pli kaj pli kredas ke la planeda metodo de Peter Duffett-Smith produktas rezultaton por la ekvinokso 1990.0 kaj espereble mia bona espero poste povos fortiĝi uzante komputilan programon por testi pli distancajn datojn.

Oni tamen uzu en kalkulado por la Ekvacio de centro elcentrecon de planeda orbito almenaŭ ĝis e3 aŭ prefere oni solvu la Ekvacion de Kepler. Elcentreco de Merkura orbito tute ne estas malgranda kaj tial la Keplera ekvacio estas preferinda se oni volas kalkuli ankaŭ por Merkuro.


Cetere, se oni en ekzakta precesio en ekvatoraj koordinatoj tute ne bezonas la interan rezulton, la vektoron s por ekvinokso J2000, oni povas kalkuli la vektoron de koncerna dato w rekte el la vektoro v de 1990.0 koordinatoj per unu multipliko. Estas ja kun la intera rezulto rezulto: P' · v = s kaj due P · s = w sed eblas kalkuli la multiplikojn en serio:

P · ( P' · v ) = w

( P · P' ) · v = w

Oni nome povas kalkuli novan matricon P · P' = Q kaj tiam eblas solvi rekte Q · v = w ; Ordo de multiplikoj tamen estas tre grava ĉar P · P'P' · P

En la apuda foto ni vidas la ekranon de kalkulilo. La nomoj de variantoj estas iom aliaj, sed jen ni vidas la matricon Q (en kalkulilo "r·p->q") kaj kiam ni multiplikas la vektoron per tio matrico Q · v estas ja la fina rezulto la sama kiel antaŭe P · P' · v ; ĉar egalas P · P' = Q


Mi denove pensis pri komputila programo, sed nun mi opinias ke simpla precesio en ekliptikaj koordinatoj estus sufiĉa, almenaŭ unue. La metodo ja uzas konstantajn orbitajn elementojn, kaj tial apenaŭ eblus tre bona precizeco por distancaj datoj. Provizore eblas kontroli la rezultojn ekzemple por la jaro 1800 nur en precizeco ±1°.

Kiel kalkuli mane matrican multiplikon

Estas ja pli facile por kalkuli se la kalkulilo aŭ komputilo kapablas rekte uzi matricon kaj vektoron, sed eblas ankaŭ kalkuli mane, se estas tute devige. Ni kalkulu por matrico M kaj vektoro V produton "matrico * vektoro" M · V kio egalas al la rezulta vektoro R :

M · V = R

La elementoj m(i,j) de matrico estu simbole:

     |  m(1,1)   m(1,2)   m(1,3)  |
M  = |  m(2,1)   m(2,2)   m(2,3)  |
     |  m(3,1)   m(3,2)   m(3,3)  |

Ni notu ke la unua numero por la elemento estas la vico (i) kaj la dua numero estas la kolumno (j).

La elementoj de vektoro estu:

     |  v(1)  |
V  = |  v(2)  |
     |  v(3)  |

Vektoro tamen havas nur unu kolumnon. Kun la elementoj videblaj estas la multipliko (sen solvo):

        |  m(1,1)   m(1,2)   m(1,3)  |    |  v(1)  |     |  r(1)  |
M · V = |  m(2,1)   m(2,2)   m(2,3)  |  · |  v(2)  |  =  |  r(2)  |
        |  m(3,1)   m(3,2)   m(3,3)  |    |  v(3)  |     |  r(3)  |

Ĉi tie ni vidas ankaŭ la elementojn de rezulta vektoro R

Jen simpla algoritmo por kalkuli la elementojn r(i) por la rezulta vektoro:

RIPETU POR i = 1 ... 3
   ESTU r(i) = 0
   RIPETU POR j = 1 ... 3
      ALDONU ( m(i,j) * v(j) ) AL VALUO DE r(i)
   RIPETU FINO
RIPETU FINO
Fine la resultoj estas en elementoj r(1), r(2), r(3)

Oni do ripetu ene en la lopo por valuoj i = 1, 2, 3 ... la lopon por la valuoj j = 1, 2, 3 por kalkuli la elementojn r(i) de rezulta vektoro.

La elementoj de rezulto do estas kalkulitaj jene:

r(1) = m(1,1) * v(1) + m(1,2) * v(2) + m(1,3) * v(3)
r(2) = m(2,1) * v(1) + m(2,2) * v(2) + m(2,3) * v(3)
r(3) = m(3,1) * v(1) + m(3,2) * v(2) + m(3,3) * v(3)

Kaj kiel rezulta vektoro ĝi do aperas jena:

    |  r(1)  |    |  m(1,1)*v(1) + m(1,2)*v(2) + m(1,3)*v(3)  |
R = |  r(2)  | =  |  m(2,1)*v(1) + m(2,2)*v(2) + m(2,3)*v(3)  |
    |  r(3)  |    |  m(3,1)*v(1) + m(3,2)*v(2) + m(3,3)*v(3)  |

Vi notu ke ekzistas nur unu kolumno da valuoj en la rezulta vektoro R. Ekzemple sur la unua vico de vektoro estas la sumo m(1,1)*v(1) + m(1,2)*v(2) + m(1,3)*v(3) ; do nur unu numero.

Multe da kalkulado, sed la metodo ne estas principe tre komplika.

Multipliko de matrico per matrico

Nature eblas multipliki matricon per konvena matrico ankaŭ mane, se oni tion volas. Ni pensu pri multipliko de 3x3 matrico per alia 3x3 matrico, la en praktiko plej komuna kazo.

Estu la elementoj de matricoj simbole:

      |  a(1,1)  a(1,2)  a(1,3)  |
A  =  |  a(2,1)  a(2,2)  a(2,3)  |
      |  a(3,1)  a(3,2)  a(3,3)  |

      |  b(1,1)  b(1,2)  b(1,3)  |
B  =  |  b(2,1)  b(2,2)  b(2,3)  |
      |  b(3,1)  b(3,2)  b(3,3)  |

Ni volas kalkuli la produton C = A · B kio havas elementojn:

      |  c(1,1)  c(1,2)  c(1,3)  |
C  =  |  c(2,1)  c(2,2)  c(2,3)  |
      |  c(3,1)  c(3,2)  c(3,3)  |

Jen la algoritmo por matrica multipliko A · B = C (por 3x3 matricoj) :

RIPETU POR i = 1 ... 3			## la vico en matrico C
   RIPETU POR j = 1 ... 3		## la kolumno en C
      ESTU c(i,j) = 0
      RIPETU POR k = 1 ... 3
         ALDONU ( a(i,k) * b(k,j) ) AL VALUO DE c(i,j)
      RIPETU FINO
   RIPETU FINO
RIPETU FINO
Fine la rezultoj estas en 3 vicoj kaj 3 kolumnoj de C

Vi notu ke ĝenerale A · B B · A ; ordo estas tre grava en matrica multipliko. Jen mi provas prezenti la 9 elementojn de rezulta matrico C:

| a(1,1)*b(1,1)+a(1,2)*b(2,1)+a(1,3)*b(3,1)  a(1,1)*b(1,2)+a(1,2)*b(2,2)+a(1,3)*b(3,2)  a(1,1)*b(1,3)+a(1,2)*b(2,3)+a(1,3)*b(3,3) |
| a(2,1)*b(1,1)+a(2,2)*b(2,1)+a(2,3)*b(3,1)  a(2,1)*b(1,2)+a(2,2)*b(2,2)+a(2,3)*b(3,2)  a(2,1)*b(1,3)+a(2,2)*b(2,3)+a(2,3)*b(3,3) |
| a(3,1)*b(1,1)+a(3,2)*b(2,1)+a(3,3)*b(3,1)  a(3,1)*b(1,2)+a(3,2)*b(2,2)+a(3,3)*b(3,2)  a(3,1)*b(1,3)+a(3,2)*b(2,3)+a(3,3)*b(3,3) |

Certe iom ĝena laboro por mana kalkulado, sed eblas ja konstrui komputilan programon por la teda tasko. La algoritmo estas via amiko.


Kaj certe fine .......... NI VENKOS!

La Ambasadoro en Finnlando
de sendependa nacio
Mueleja Insulo


Menuo
Ĉefa paĝo (finna lingvo)