<< | #459 ; La kaprica belulino de klara ĉielo, la Luno |
>> |
La Suno ja estas la suvereno de hela tago, la reganto de luma tempo. Kaj sunhorloĝoj estas uzeblaj dum luma tago kaj klara vetero. Mi tamen opinias ke la Luno estas la plej interesa astronomia objekto por la ordinara homaro sur sennuba, klara ĉielo. La direktoj de Suno estas iom bone diveneblaj el dato kaj horo, sed Luno estas pli enigma kaj neantaŭvidebla.
Akurataj direktoj por la Luno sur la ĉielo estas iom penigaj por kalkuli. Plej ofte por ordinaruloj - kiel mi mem - sufiĉas se la korekta direkto probable estas ene en la videbla surfaco de Luno. La angula diametro de Luno estas ĉirkaŭ ½ gradoj kaj tial estas jam iom kontentiga rezulto se la kalkulita direkto estas plej ofte erara nur maksimume ±0,25° aŭ proksimume ±7 ... 8 minutoj da arko.
La rezultojn de kalkulado mi intencas kontroli el la apude fotita navigacia jarlibro "The Nautical Almanac". La kovrilo de libro estis ankoraŭ iom bela 1988, kun la plej brilaj nordaj steloj. Navigistojn certe plej multe interesas iom aliaj aferoj ol astronomojn, sed eblas uzi navigacian jarlibron por testi la rezultojn de kalkulado. La informo en navigacia jarlibro certe estas sufiĉe preciza por nia intenco, eraro kredeble malpli ol ±0,1 minutoj de arko.
Kvankam preciza informo por la Luno estas peza por kalkuli, eblas tamen relative facile atingi iom bonaj unuopaj rezultoj kun relative simpla (scienca) kalkulilo. La astronomia jarlibro "The Astronomical Almanac" (AA1996 paĝo D46) donas la sekvantan relative leĝeran kaj facilan metodon. La eraro nur malofte estas pli granda ol 0,3° en longitudo / rektascensio kaj 0,2° en latitudo / deklinacio.
Ni komencu el JD de momento (UT) kaj estu T = (JD - 2451545,0) / 36525
la frakcio de juliaj jarcentoj el J2000.0 kaj sekve ni kalkulu por Luno la ekliptikaj koordinatoj, longitudo λ ("lambda") kaj latitudo β ("beta"):
λ = 218,32° + 481267,883° * T + 6,29° * sin (134,9° + 477198,85° * T) - 1,27° * sin (259,2° - 413335,38° * T) + 0,66° * sin (235,7° + 890534,23° * T) + 0,21° * sin (269,9° + 954397,70° * T) - 0,19° * sin (357,5° + 35999,05° * T) - 0,11° * sin (186,6° + 966404,05° * T) β = + 5,13° * sin ( 93,3° + 483202,03° * T) + 0,28° * sin (228,2° + 960400,87° * T) - 0,28° * sin (318,3° + 6003,18° * T) - 0,17° * sin (217,6° - 407332,20° * T)
La anguloj ekzemple por la trigonometria funkcio ja estos iom grandaj pozitivaj (aŭ iom malgrandaj negativaj) valuoj, sed miaopinie oni ne bezonas redukti ilin aparte al la norma intervalo 0 ... 360° se la kalkulilo kapablas kalkuli kun ekzemple 9 signifaj numeroj.
Kaj se ni volas scii ankaŭ la tercentran distancon de Luno en radiusoj de Tero r = 1 / sin (π)
kaj la duonon de angula diametro SD = 0,2725° * π
, ni ankaŭ kalkulu la valuon π
("pi"):
π = 0,9508° + 0,0518° * cos (134,9° + 477198,85° * T) + 0,0095° * cos (259,2° - 413335,38° * T) + 0,0078° * cos (235,7° + 890534,23° * T) + 0,0028° * cos (269,9° + 954397,70° * T)
En ĉi tiu kazo π
do ne estas la fama konstanto kaj ne egalas π = 3,141592654...
Eble vi opinias ke estas tro longa kalkulado? Nu, nature oni prefere uzu komputilan programon se oni volas kalkuli multaj kazoj, sed daŭras pli longe por konstrui bonan komputilan programon el malplena tablo. Miaopinie la rezultoj estas multe pli valoraj ol ekzemple la rezultoj el opinikontrolo pri la sekvanta prezidento. Ĉu estus unu NATO-ema kandidato pli bona ol alia same NATO-ema kandidato, sen vera alternativo? La fifamaj opinikontroloj estas nura fikcio kaj trompo, sed La Suno kaj la Luno estas veraj realaj objektoj.
Sekve, por fine kalkuli por Luno la korespondajn tercentrajn ekvatorajn koordinatojn, rektascensio α ("alfa") kaj deklinacio δ ("delta"), la libro admonas por unue kalkuli la "direktajn kosinusojn" (l, m, n)
:
![]() |
l = cos(β) * cos(λ) m = 0,9175 * cos(β) * sin(λ) - 0,3978 * sin(β) n = 0,3978 * cos(β) * sin(λ) + 0,9175 * sin(β)
Ĉi tiujn samajn valuojn (l, m, n)
oni povas ankaŭ kompreni kiel kalkulitaj el ekvatoraj koordinatoj:
l = cos(δ) * cos(α) m = cos(δ) * sin(α) n = sin(δ)
Kaj tial eblas kalkuli:
α = arctan ( m / l ) δ = arcsin ( n )
Oni tamen memoru ke la rektascensio α
apartenas al la sama kvadranto kiel la ekliptika longitudo λ
. Inversa tangento ĉiam returnas la angulon nur en intervalo -90° ... +90°, sed fakte la angulo de rektascensio apartenas la intervalo 0 ... 360°. Do, se la valuo l
estus negativa, oni bezonas pensi pri la korekta kvadranto. ( Aldonu 180° se estas l < 0
)
En la apuda bildo mi provis enkonduke diveni la principon kiel oni kalkulas la valuojn (l, m, n)
, sed mi ne estas certa pri detaloj. Ĉu estas la koordinatoj de dekstra mano? Oni tamen turnas la koordinatoj ĉirkaŭ la X-akso angulon oblikveco de ekliptiko ε ("epsilon") ĉar la valuo l
restas en formo simila.
Kiel testa dato mi selektas el la jarlibro 22.02.1988 kaj estu la horo la facile kalkulebla 12h UT (proksimume GMT)
MOON GHA 296° 36,4' Dec N 17° 56,8' (N signifas nordon, la deklinacio estas pozitiva) H.P. 58,1' ARIES GHA 331° 37,3'
La aĝo de Luno estis tiam proksimume 5 tagoj kaj almenaŭ post sunsubiro probable eblis vidi kreskantan lunarkon sur la okcidenta ĉielo.
Por kalkuli, ni do unue bezonas la valuon JD por atingi la gravan valuon T por la anguloj de metodo. Ni uzu la metodon el la antaŭa artikolo. Ni ja celas la tempon 12h UT kaj tial ni povas uzi la rezulton de metodo rekte.
int (( M + 9 ) / 12) = int ((2+9) / 12) = 0 --> p1 7 * ( Y + p1 ) = 7 * (1988 + 0) = 13916 --> p2 int ( p2 / 4 ) = int ( 13916 / 4 ) = 3479 --> p3 int ((275 * M) / 9) = int ((275*2) / 9) = 61 --> p4 JD = 367 * Y - p3 + p4 + D + 1721014 = 367 * 1988 - 3479 + 61 + 22 + 1721014 = 729596 - 3479 + 61 + 22 + 1721014 = 2447214
La koresponda valuo por T do estas T = (JD - 2451545) / 36525 = (2447214 - 2451545) / 36525 = -0,1185763
kaj ni povas kalkuli la ekliptikajn koordinatojn de Luno laŭ la supra metodo paŝon post paŝo. Sufiĉas precizeco 0,01° ĉar la akurateco de fina rezulto ne povas esti pli bona, sed mi uzis iom pli da ciferoj por la interaj rezultoj. Plej bone oni uzu memoran lokon de kalkulilo por memorteni la valuon T tiel ke oni ne plu bezonas fingrumi la valuon mem denove ĉiun fojon.
λ = 218,32° - 57066,973° + 5,926° + 0,959° + 0,575° + 0,132° - 0,143° - 0,106° --------- - 56841,31° λ = 38,69° (en intervalo 0 ... 360°) β = 3,086° + 0,267° + 0,155° + 0,169° ------- = 3,68°
Sekve ni kalkulu la direktajn kosinusojn el la ekliptikaj koordinatoj. La oblikveco de ekliptiko estas jam kiel konstanto en la formuloj.
l = cos(β) * cos(λ) = cos(3,68°) * cos(38,69°) = +0,77893 m = 0,9175 * cos(β) * sin(λ) - 0,3978 * sin(β) = 0,9175 * cos(3,68°) * sin(38,69°) - 0,3978 * sin(3,68°) = +0,54682 n = 0,3978 * cos(β) * sin(λ) + 0,9175 * sin(β) = 0,3978 * cos(3,68°) * sin(38,69°) + 0,9175 * sin(3,68°) = +0,30704
Kaj el ĉi tioj valuoj ni kalkulos la ekvatorajn koordinatojn:
α = arctan ( m / l ) = arctan ( +0,54682 / +0,77893 ) = 35,07° (kaj la kvadranto estas jam korekta) δ = arcsin ( n ) = arcsin ( +0,30704 ) = +17,88°
La jarlibro donis por la deklinacio de Luno : Dec N 17° 56,8' = +17,95°
kaj nia rezulto do estas proksimume 0,07° erara. Ne tre malbone.
La alia koordinato tamen bezonas ioman pripenson. La jarlibro donis:
MOON GHA 296° 36,4' = 296,61° ARIES GHA 331° 37,3' = 331,62° (praktike la sama kiel GMST)
Nia kalkulita rezulto tamen estas la rektascensio (RA, α) kaj ni uzu la formulon de antaŭa artikolo en la formo RA = GMST - GHA
por kalkuli la RA-valuon kio korespondas al la valuoj en la jarlibro. "ARIES GHA" de navigacia jarlibro signifas la lokan mezan sideran tempon en la Greenwich -meridiano, GMST.
RA = GMST - GHA = 331,62° - 296,61° = 35,01°
Nia mem kalkulita rezulto estis RA = 35,07° kaj la eraro en rektascensio α do estas proksimume 0,06°. Tute ne malbone. Ni ja povus akcepti eĉ eraron de 0,20° en deklinacio kaj eraron de 0,30° en rektascensio ĉar pli bonan akuratecon la metodo ne promesis. La Luno certe estas trovebla sur la ĉielo kun ĉi tioj koordinatoj (ekzemple por aŭtomata astronomia teleskopo), se estas videbla.
Nu, certe mi bezonas ankoraŭ kontroli ĉi tion tekston kaj poste mi volas mem pruvi la formulon de koordinata transformo de ekliptikaj koordinatoj al ekvatoriaj koordinatoj.
La sama fonto AA1996 donas sur paĝo C24 simplan kalkulan metodon por la Suno por la jaroj 1950 ... 2050, precizeco en direkto de Suno 0,01° kaj precizeco en la Ekvacio de Tempo 0,1 minutoj de tempo.
Ni komencas el JD kaj UT de koncerna momento same kiel antaŭe. Sekve ni kalkulu la nombron n = JD - 2451545,0
kaj ni kontinuu por kalkuli la ekvatorajn koordinatojn λ kaj β :
L = 280,461° + 0,9856474° * n g = 357,528° + 0,9856003° * n Ni reduktu la angulojn al norma intervalo 0 ... 360° λ = L + 1,915° * sin(g) + 0,020° * sin(2*g) β = 0°
Sekve eblas kalkuli la ekvatorajn koordinatojn α kaj δ (kiam por Suno egalas la ekliptika latitudo β = 0) :
ε = 23,439° - 0,0000004° * n α = arctan ( cos(ε) * tan(λ) ) δ = arcsin ( sin(ε) * sin(λ) )
Kie la rektascensio α estu en la sama kvadranto kiel ekliptika longitudo λ. Aldonu 180° se la kvadranto rekte el inversa tangento estas erara. Alternative oni povus kalkuli la rektascension kun tute aliaj formuloj:
f = 180° / π = 180° / 3,141592654 = 57,2957795° t = tan2(ε / 2) α = λ - f * t * sin(2*λ) + (f/2) * t2 * sin(4*λ)
Samtempe ni povas kalkuli ankaŭ alian informon por la Suno:
R = 1,00014 - 0,01671 * cos(g) - 0,00014 * cos(2*g) (distanco de Suno en astronomiaj unuoj, AU) E = 4 * (L - α) (Ekvacio de Tempo en tempaj minutoj, kiam anguloj en gradoj) SD = 0,2666° / R (duono de videbla angula diametro)
Se ni volus ekvatorajn rektangulajn (x, y, z) koordinatojn por la Suno, ili estus:
x = R * cos(λ) y = R * cos(ε) * sin(λ) z = R * sin(ε) * sin(λ)
Nu, nia testa dato por la Luno ja estis 22.02.1988 kaj ni povas uzi la saman momenton por la Suno. La dato ja estis proksimume 28 tagoj antaŭ la printempa ekvinokso kiam la ekliptika longitudo de Suno estas 360° (la sama direkto kiel 0°). La Suno progresas sur ekliptiko maldesktrumen proksimume unu gradon por diurno kaj tial ni jam scias ke la longitudo de Suno estis tiam proksimume 360° - 28° = 332°.
Ni kalkulis por la longitudo de Luno ĉirkaŭ 39° (maldekstrumen el direkto de printempa ekvinokso) kaj la Suno do estas proksimume 39° + (360° - 332°) = 67° okcidenten el la direkto de Luno (dekstren por loĝantoj de Nordo). La Luno do estas bone videbla sur la vespera ĉielo, orienten el la direkto de Suno (maldekstren por norduloj).
Nature ni tamen volas kalkuli pli akurate mem per scienca kalkulilo kaj kontroli la metodon!
La navigacia jarlibro "The Nautical Almanac 1988" donas kontrolan informon:
SUN GHA 356° 35,9' Dec S 10° 22,5' ( S ; do suden el ekvatoro, negativa deklinacio ) ARIES GHA 331° 37,3'
Kaj jen ni kalkulas kun la sama JD por 12h UT kiel por la Luno, JD = 2447214:
n = JD - 2451545 = 2447214 - 2451545 = -4331 L = 280,461° + 0,9856474° * n = 280,461° + 0,9856474° * (-4331) = -3988,378° L = 331,622° (reduktita al la norma intervalo) g = 357,528° + 0,9856003° * n = 357,528° + 0,9856003° * (-4331) = -3911,107° g = 48,893° (reduktita al la norma intervalo) 2*g = 97,786° λ = L + 1,915° * sin(g) + 0,020° * sin(2*g) = 331,622° + 1,915° * sin(48,893°) + 0,020° * sin(97,786°) = 331,622° + 1,443° + 0,0198° = 333,085° β = 0°
Nu, mia diveno pri la ekliptika longitudo de Suno ne estis tre malbona, nur unu grado da eraro. Sekve ni solvu la korespondajn ekvatorajn koordinatojn:
ε = 23,439° - 0,0000004° * n = 23,4407° tan α = cos(ε) * tan(λ) = cos(23,4407°) * tan(333,085°) = -0,46576 α = arctan(-0,46576) = -24,974° La kvadranto certe estas la sama kiel por λ, sed ni prefere reduktu la angulon al la norma pozitiva intervalo aldonante unu tutan cirklon de 360°: α = 360° - 24,974° = 335,026° sin δ = sin(ε) * sin(λ) = sin(23,4407°) * sin(333,085°) = -0,18007 δ = arcsin(-0,18007) = -10,374°
La deklinacio jam aperas tre bona, kompare al la jarlibro kio diris Dec S 10° 22,5' = -10,375°
sed ni bezonas kalkuli la kontrolan rektascension el la informo de jarlibro. Estas ja ARIES GHA 331° 37,3' = 331,622°
la loka sidera tempo en la meridiano, GMST. Kaj en la jarlibro la hora angulo GHA de Suno estis SUN GHA 356° 35,9' = 356,598°
RA = GMST - GHA = 331,622° - 356,598° = -24,976°
Nu, la rezulto ne estas principe erara, sed ni prefere reduktu la angulon al la norma pozitiva intervalo aldonante tutan rondon de 360° kaj tiel ni kalkulas la kontrolan rektascension RA = 360° - 24,976° = 335,024°
kio ja estas preskaŭ la sama kiel la mem kalkulita rezulto α = 335,026°
Do bone, sed ni povus provi ankaŭ la alian iom bizaran formulon por la rektascensio. La formulo iom kaŝe uzas naturan angulan unuon sed ni kalkulas la angulojn en gradoj.
f = 180° / π = 180° / 3,141592654 = 57,2957795° f/2 = 28,64789° ε / 2 = 23,4407° / 2 = 11,72035° t = tan2(ε / 2) = tan(ε/2) * tan(ε/2) = 0,0430399 t2 = t * t = 0,0018524 λ = 333,085° (valuo el la supra kalkulado) α = λ - f * t * sin(2*λ) + (f/2) * t2 * sin(4*λ) = 333,085° - 57,2957795° * 0,0430399 * (-0,807269) + 28,64789° * 0,0018524 * (-0,9528735) = 333,085° + 1,99073° - 0,05057° = 335,025°
Praktike la sama rezulto por rektascensio uzante la alternativan, iom bizaran metodon.
Sed kio estas la valuo de Ekvacio de Tempo? La rotacia rapido de planedo Tero ĉirkaŭ sia propra rotacia akso estas bone konstanta. Tamen la rapido de Tero sur sia orbito ĉirkaŭ la Suno estas iom varia. Tial aperas la rapido de Suno sur la ĉielo el Tero iom varia dum la jaro. La Suno movas iom neregule en la ekliptiko. Tial oni inventis fikcian "mezsunon" kio movas laŭ ekvatoro en la sama rapido kiel la vera Suno meznombre movas laŭ ekliptiko, sed tute ebene, regule en la sama rapido. Meza longitudo de Suno L reprezentas la fikcian mezsunon kio movas tute ebene en la meznombra rapido de vera Suno. Mi povus diri ke L reprezentas ankaŭ la rapidon de oficiala tempo (laŭ ia tradicia, kvankam eble ne la plej moderna, interpreto).
Ni kalkulu la valuon de Ekvacio de Tempo por la testa dato el la supra formulo, rezulto en tempaj minutoj kiam la anguloj estas en gradoj:
E = 4 * ( L - α ) = 4 * (331,622° - 335,026°) = -13,6 minutoj de tempo
Kion signifas la negativa valuo de E? La meza longitudo de Suno (L) estas 13,6 minutoj da tempo malpli ol la rektascensio (α) de Suno. Oni mezuras ambaŭ la angulojn el printempa ekvinokso maldekstrumen, orienten. La Suno tamen ŝajne movas sur la ĉielo dekstrumen, okcidenten, pro la maldekstruma rotacio de Tero. Tial estas la fikcia mezsuno (kun la pli malgranda meza longitudo L) en meridiano tiom 13,6 minutoj pli frue ol la vera Suno, kion la valuo de rektascensio reprezentas.
Tio signifas ke la vera Suno malfruas tiom el la fikcia meznombra Suno. La vera Suno estas en sudo (meridiano) nur 13,6 minutoj de tempo post la oficiala meztago. Nia jarlibro ja diris SUN GHA 356,598°
por 12 horoj UT kaj la Suno do ne estis ankoraŭ en sudo (en Greenwich) je oficiala meztago 12h UT, sed situis la angulon 360° - 356,598° = 3,402° orienten el sudo. Unu grado signifas 4 tempaj minutoj, do la vera Suno estis 13,6 minutoj malfrua, aŭ alidire la ebene movanta fikcia mezsuno estis pli rapida.
Ĉi tion informon oni bezonas por sunhorloĝo. Se egalas ekzemple E = -13,6 minutoj de tempo, do indikas la norma sunhorloĝo meztagon 12 horoj loka suna tempo (laŭ la vera Suno) proksimume nur je oficiala tempo 12:14 (se ni pensas ke la geografia situo estas en la tempa meridiano). Kaj la sunhorloĝo indikas proksimume nur 11:46 horoj (laŭ la vera Suno) je oficiala tempo 12:00. Unu minuto estas iom mallonga tempo por norma sunhorloĝo, sed la decimalo estas lukso.
La apuda desegnaĵo espereble provas klarigi la situacion grafike (kvankam la anguloj ne estas tute realismaj). Temas ja pri meridiano de Greenwich. La ĉielo rotacias ŝajne dekstrumen, okcidenten, kun la printempa ekvinokso kaj la Suno. Je oficiala meztago 12 horoj UT ni povas pensi ke la fikcia mezsuno estas jam akurate en sudo. La vera Suno tamen ankoraŭ ne estas en la direkto sudo, ĉar la hora angulo GHA de Suno estas iom malpli ol 360°. Pro la negativa Ekvacio de Tempo estas la vera Suno do rekte en sudo nur post 13,6 minutoj kaj la sunhorloĝo indikas 12:00 kiam la oficiala tempo UT jam estas proksimume 12:14.
Kia estus nia ĉielo sen la ĉiam varia danco de Suno kaj Luno kune! Kia estus nia tera homa vivo sen la bela eterna ludo de lunaj fazoj! Nature ni volas mem kalkuli la fazojn de Luno iom akurate.
Nin helpos la sinjoro Jean Meeus kun lia grava libro "Astronomical Algorithms", ĉapitro 46. La suba kalkule klarbilda desegnaĵo pri la surfaco de Luno estas el tio libro. Ni tamen komencu la kalkuladon el la angula diferenco inter la direktoj de centroj de la Suno kaj la Luno.
Ni povus uzi la ekvatorajn koordinatojn, rektascensio α kaj deklinacio δ. Se estas αSuno kaj δSuno la koordinatoj por la Suno kaj αLuno kaj δLuno la koordinatoj por la Luno, ni povas skribi por la angula distanco inter ili ψ ("psi") la formulon:
cos ψ = sin(δSuno)*sin(δLuno) + cos(δSuno)*cos(δLuno)*cos(αSuno - αLuno)
Tamen, se ni scias la ekliptikajn koordinatojn, longitudo λ kaj latitudo β, ni povas uzi iom pli facilan formulon por la sama intenco, ĉar la ekliptika latitudo de Suno estas ĉiam praktike nulo, βSuno = 0.
cos ψ = cos(βLuno) * cos(λSuno - λLuno)
La valuo de kosinuso ja estas la sama por negativa angulo [ cos(a) = cos(-a) ] kaj tial fakte ne gravas kion longitudon oni subtrahas el la alia. Ĉiam estas la valuo de ψ inter la limoj 0° ... 180°, ĉar estas la plej malgranda angula distanco inter la objektoj.
Kiam ni scias la angulan distancon ψ
inter la Suno kaj la Luno, eblas kalkuli la valuon i
R * sin(ψ) tan i = ---------------- Δ - R * cos(ψ)
Por ĉi tio preciza formulo ni tamen bezonas ankaŭ la valuojn R : la distanco el Tero al la Suno, kaj Δ : la distanco el Tero al la Luno, ambaŭ en samaj unuoj, ekzemple AU. Se ni tamen estas kontentaj al iom malpli da precizeco, eblas kalkuli sen la distancoj kaj ni povas simple solvi la valuon cos i
el la facila formulo:
cos i = -cos(ψ)
Nun fine eblas kalkuli la valuon k
el la formulo:
1 + cos(i) k = ------------ 2 |
La valuo de kosinuso ja estas inter la limoj -1 ... +1 kaj tial la valuo k
estas inter limoj 0 ... 1. Ĝi estas la al Tero videbla frakcio de lumigita surfaco de Luno, kiel la apuda desegnaĵo indikas. Se ni uzas la pli simplan formulon por valuo de i
, estas la plej granda ebla eraro en la fina valuo k
nur 0,0014.
Ni povus ankaŭ esprimi la al Tero videblan lumigitan frakcion de surfaco de Luno en procentoj 0% ... 100% el la duono de surfaco kio estas direktita al Tero. Tiam estas la supre menciita eraro en fazo proksimume nur 0,1%.
Nu, mi ne povas eviti por mencii la stultan terminon "la malhela duono de Luno", kio por iuj eble signifas la al Tero nevideblan duonon de Luno. Ekzistas tamen nenia konstante malhela duono de Luno. La per sunlumo lumigita kaj la ne lumigita duono de Luno varias dum unu monato kiam la Luno cirkulas la Teron.
Do ni kalkulu ekzemplon ... Ni ja supre kalkulis por 22.02.1988 12h UT la informon: λSuno = 333,085°, λLuno = 38,69°, βLuno = 3,68°
La Luno do estas maldekstrumen (orienten) el printempa ekvinokso proksimume 39° kaj la Suno estas samtempe okcidenten el printempa ekvinokso proksimume 360° - 333° = 27°. La plej malgranda angula distanco inter ili do estas proksimume 39° + 27° = 66° (se ni provizore ignoras la ioman diferencon en latitudo) kaj la Luno estas orienten el la Suno, do en la vespera ĉielo.
Apuda simpla proksimuma desegnaĵo en la ekliptika ebeno provas klarigi la situacion. La direkto de printempa ekvinokso estas supren en la bildo. Miaopinie la Luno povus esti videbla jam antaŭ la sunsubiro ĉar la fazo estas iom granda.
Ni tamen kalkulu pli akurate. Nu uzu la pli facilan formulon por la angula distanco inter la Suno kaj la Luno:
cos ψ = cos(βLuno) * cos(λSuno - λLuno) = cos(3,68°) * cos(333,085° - 38,69°) = 0,997938 * cos(294,40°) = 0,41225 ψ = arccos(0,41225) = 65,65°
La latitudo de Luno do influas nur malmulte al la rezulto. Sekve ni kalkulu la valuon i
kiel eble plej simple:
cos i = -cos(ψ) = -0,41225
Ni povas uzi la valuon de cos(ψ)
rekte, sen solvi la angulon ψ kaj ni fakte ankaŭ ne bezonas solvi la valuon de i
ĉar ni povas rekte uzi la valuon cos i
en la sekvanta formulo:
1 + cos(i) 1 - 0,41225 0,5878 k = ------------ = ------------- = -------- = 0,294 2 2 2
Ni do povas diri ke 29,4% da al Tero videbla duono de surfaco de Luno estis lumigita per la sunlumo. Tio ja estas pli ol kvarono da videbla duono de surfaco. La jarlibro donis por la aĝo de Luno 5 tagoj. La tuta faza ciklo estas proksimume 28 tagoj. El nevidebla novluno daŭras 7 tagoj ĝis la unua kvarono de kreskanta Luno (kiam duono de videbla surfaco estas lumigita) kaj 14 tagoj ĝis plenluno, kiam la tuta al Tero videbla duono aperas lumigita.
Por la loĝantoj de Nordo aperas la dekstra (okcidenta) flanko de kreskanta Luno brila sur la vespera ĉielo. Luno estas tiam orienten el la Suno. Por malkreskanta Luno sur la matena ĉielo aperas tamen la maldekstra (orienta) flanko brila por norduloj. Tiam estas Luno okcidenten el la Suno.
Iam mi vidis artverkon kie aperis mallarĝa fazo de kreskanta Luno sur la matena ĉielo, okcidenten el la direkto de Suno, la okcidenta flanko de Luno brila. Tia ne estas reala. Oni ankaŭ ne povas vidi stelojn tra la nelumigita surfaco de Luno, kvankam estas malhela. Kaj ne eblas fiŝhoki sidante sur la suba parto de mallarĝa lunarko, tion la filmfirmoj bonvole komprenu.
Do, multe por batali, sed ...
Kaj certe fine ..........
NI VENKOS!
La Ambasadoro en Finnlando de sendependa nacio Mueleja Insulo |