Luomme vertikaalisen tasoaurinkokellon aika-asteikon SolidWorks -ohjelmassa Front -tasolle, jonka ajattelemme olevan kohtisuorassa etelän suuntaa vasten.
Front -tasoa vasten kohtisuorassa on Right -taso johon viitataan jatkossa tämän tästä. Lisäksi on vaakasuora Top -taso, joka tässä yhteydessä tarkoittaa horisonttitasoa. Kaikki nämä tasot kulkevat origon eli asteikon koordinaatistojärjestelmän keskipisteen kautta.
Olkoon asteikon koko 300mm * 200mm ja pursotetaan se 5mm paksuksi niin että origo tulee keskelle asteikon etupintaa.
Asteikkoa varten tarvitaan tietynlainen varjosauva, joten luodaan tätä demoa varten - havainnollisuuden vuoksi - polaarisauva osaksi asteikkoa. Kokoonpanoa ei täten tarvita, vaan toteutetaan koko projekti tämän yhden osan puitteissa.
Polaarisauvan paksuus olkoot 1 mm. Se tulee Right -tasossa kiinni asteikon yläreunaan origon yläpuolelle 30° kulmaan pystysuoraa asteikkotasoa vasten, koska asteikko on tarkoitettu maantieteelliselle leveydelle 60°. Polaarisauva on Front -tasoa eli asteikkotasoa vasten kohtisuorassa ja osoittaa etelään joka on myös asteikon normaalin suunta.
Polaarisauvan pää on samalla korkeudella kuin origo joka on asteikon koordinaattijärjestelmän keskipiste. Emme kuitenkaan yhdistä polaarisauvan päätä ja asteikon keskipistettä koska se voisi häiritä asteikon piirtoa. Tällaisena varjosauva on epäkäytännöllinen (käytännössä jos se ei katkeaisi tai menisi solmuun alta aikayksikön niin joku ennen pitkää kävelisi siihen ohimonsa auki), mutta riittää tämän piirto-demon tarkoituksiin.
Asteikon aikaviivojen keskipiste on polaarisauvan juuressa asteikon yläreunassa, joten sitä meidän ei tarvitse erikseen laskea. Pisteen koordinaatit ovat x = 0, y = +100 mm. Olemme valinneet asteikon ja polaarisauvan mitat niin että polaarisauvan pään projektio asteikkotasolle osuu origoon.
Kello 12:n merkkiä vastaavia apuviivoja ei välttämättä tarvitse erikseen piirtää, koska reunaehdoista suoraan seuraa että klo 12 on asteikon keskilinjalla.
Haluamme ensisijaisesti piirtää aika-asteikon polaarisauvan pään sekä Auringon minimi- ja maksimideklinaatioiden mukaan jos mahdollista. Koska asteikosta tulee symmetrinen, piirrämme apugrafiikasta vain puolet. Asteikon toinen puoli saadaan peilaamalla Right -tason suhteen.
Tuntiviivojen piirtoon valmistautuessa luomme uuden tason niin että se on keskellä polaarisauvan alapäätä ja kohtisuorassa polaarisauvan akselia vasten. Tämä uusi taso on käytännössä sama kuin ekvaattoritaso koska se on kohtisuorassa maan pyörimisakselin suuntaista polaarisauvaa vasten.
Ekvaattoritasossa Auringon tuntikulma kasvaa periaatteessa tasaisesti 15 astetta tunnissa. Kun paikallinen aurinkoaika kello 12 tulee tässä keskelle, tulevat muut tasatunnit keskeltä alkaen tuntikulman 15° portain.
Seuraava piirros ei ole asteikon laadinnassa suorastaan hyödyllinen, mutta ehkä auttaa hahmottamaan tuntikulmien merkitystä.
 |
 |
Show-mielessä polaarisauvan alapäässä olevaan uuteen tasoon piirretään sauvan pään keskipiste keskipisteenä 5 tai 6 apuviivaa 15 asteen välein alkaen keskipisteen kautta kulkevasta pystysuorasta apuviivasta.
Kuudes apuviiva tulee olemaan asteikkotason suuntainen, joten sitä ei oikeastaan tarvitsisi piirtää. Se ei nimittäin leikkaa asteikkotasoa missään. Onhan 6 * 15° = 90° eli suora kulma.
Olemme kiinnostuneita nimenomaan näiden apuviivojen ja asteikkotason leikkauspisteistä koska asteikon aikaviivat kulkevat niiden kautta. Näiden apuviivojen ja asteikkotason leikkauspisteet olisivat paikkoja jossa polaarisauvan pään varjo on tasatunnein silloin kun Aurinko on ekvaattorilla ; onhan tämä "uusi taso" juuri ekvaattoritason suuntainen.
Nyt on vaan niin että tavallisessa sketsissä ei voi siirtyä tasolta toiselle, joten emme voi sen avulla ratkaista apuviivan ja asteikkotason leikkauspistettä. Tämä sketsi ei siis oikeastaan ollut hyödyksi;-) Mutta onhan se sikäli opettavainen että se näyttää millaisilta ekvaattoritasoon piirretyt tuntikulmat näyttävät.
Jos avaamme esim. ekvaattoritasolla sketsin "3D Sketch On Plane" niin voimme projisoida apuviivojen päätepisteet asteikkotasolle valitsemalla pisteen ja asteikkotason sekä luomalla niiden välille relaation "On Plane".
Niinpä edellisestä viisastuneena avaamme tällaisen "tason 3D-sketsin" ekvaattoritasolle ja piirrämme siihen apuviivoja 15° tuntikulmaeron välein. Sitten projisoimme ekvaattoritasossa olevien apuviivojen päätepisteet asteikkotasolle "On Plane" -relaatiolla.
Näiden 15° tuntikulmaeroja osoittavien apuviivojen päätepisteet ovat nyt sekä ekvaattoritasolla että asteikkotasolla. Tosin sanoen ne ovat sillä suoralla jossa ekvaattoritaso ja asteikkotaso leikkaavat.
Näin helppoa oli projisoida ekvaattoritasolta asteikkotasolle pisteitä joiden kautta asteikon aikaviiva kulkee halutulla tuntikulmalla.
Jos tyytyisimme siihen että piirrämme asteikolle vain sellaisia aikaviivoja joille (tai joiden jatkeelle) polaarisauvan varjon jokin kohta osuu, niin sen voisimme tehdä pelkästää ekvaattoritasoon piirretyillä apuviivoilla.
Olemme kuitenkin tässä hiukan kunnianhimoisia ja haluamme asteikolle varjosauvan alapään varjon tarkat paikat silloin kun Aurinko on minimi- ja maksimideklinaatiossa, jos mahdollista. Tätä varten tarvitaan enemmän apugrafiikkaa.
Meridiaanissa, eli suoraan etelässä Aurinko on minimissään noin 23,5° ekvaattoritason alapuolella (eteläpuolella) ja maksimissaan 23,5° ekvaattorin yläpuolella (pohjoispuolella).
Meridiaaniin onkin erikoisen helppo merkitä ne pisteet joilla Auringon minimi- ja maksimideklinaation mukaiset varjopisteet ovat kello 12 paikallista aurinkoaikaa.
Nämä pisteet voimme merkitä asteikkotasolle Right -tasossa olevalla tason 3D-sketsillä. Projisoimme pisteet Right -tasolta asteikkotasolle (eli "vieraalle tasolle") tavalliseen tapaan relaatiolla "On Plane".
Olemme siis jo saaneet muutaman pisteen ekvaattoritasosta ja meridiaanista projisoitua asteikkotasolle. Katsotaanpa alustavasti miltä niitä vastaavat aikaviivat näyttäisivät asteikkotasolla luomalla sille sketsi.
Varjosauva kannattanee kytkeä pois näkyvistä piirtämisen ajaksi koska muuten voimme vahingossa yhdistää viivat väärään pisteeseen. Millin paksuisen varjosauvan reunan piste on nimittäin puoli milliä sivussa aikaviivojen keskipisteestä.
Pystyisimme vetämään asteikkotasolla viivat asteikon aikaviivojen keskipisteestä muutamiin ekvaattoritasoa vastaaviin pisteisiin. Pystymme myös vetämään viivan meridiaanissa olevien auringon minimi- ja maksimideklinaatiota vastaavien varjopisteiden väliin.
Tällä perusteella pystymme kuitenkin piirtämään asteikolle vain yhden "täydellisen" aikaviivan, kello 12:lle. Kaiverrammekin sen asteikolle saman tien koska emme voi sitä peilata. Olkoot kaiverrus 0,5 mm leveä ja 0,5 mm syvä.
Meridiaanin lisäksi voisimme sinänsä tässä vaiheessa merkitä aikaviivoja myös ekvaattoritason tuntikulmien mukaan, sillä tiedämmehän myös asteikon aikaviivojen keskipisteen paikan. Haluamme kuitenkin tavoitella asteikolle hiukan enempää kuin vain deklinaatiota nolla vastaavaa pistettä.
Ekvaattorin ja meridiaanin kanssa voidaan toimia näin yksinkertaisesti, mutta muita suuntia varten tarvitaan uusi ratkaisu joka ei suinkaan ole niin yksinkertainen että suoraan varjosauvan päähän luodaan uudet tasot 23,5° kulmassa ekvaattoritasoa vasten!
Miten luomme malliin ne tasot joilla Aurinko sijaitsee minimi- ja maksideklinaatioilla?
Nuo etsityt tasot ovat samansuuntaisia ekvaattoritason kanssa. Koetetaan ratkaista ongelma luomalla Right -tasoon varjosauvan akselin päähän eräänlainen ekvatoriaalinen koordinaatisto ja kaksi uutta tasoa, yksi kummallekin ekvaattorin puolelle niin että niillä olevat apupisteet ovat polaarisauvan päähän nähden 23,5° kulmassa.
Näille kahdelle uudelle tasolle piirretään hiukan pienemmät ympyrät niin että ympyrän keskipiste on polaarisauvan akselilla ja ympyrän kehä sivuaa alkuperäistä Right -tason ympyrää. Voi olla helpompi piirtää jos vain yksi taso kerrallaan on näkyvissä.
Apuympyröiden kehälle luodaan apupisteitä tuntikulmaerojen 15° välein. Nuo ympyröiden kehän apupisteet ovat polaarisauvan päähän nähden 23,5° kulmassa kohtisuorassa ekvaattoritasoa vasten, eli ne ovat Auringon suunnalla silloin kun sen deklinaatio on minimissä tai maksimissa ko. tuntikulmilla.
Nämä 15° välein ympyrän kehällä olevat pisteet yhdistetään apuviivalla varjosauvan akselin alempaan päätepisteeseen "oikeassa" 3D-sketsissä. Tässä ei nyt ole mitään valmista tasoa niiden välillä, joten tietyssä tasossa oleva 3D-sketsi ei käy. Vaatii jonkin verran taiteilua. Nämä viivat ovat paksuja näissä piirroksissa. Saatujen paksujen apuviivojen päät projisoidaan edelleen 3D-sketsiltä asteikkotasolle.
Oleellista on siis että nämä "oikeassa" 3D-sketsissä piirrettävät viivat saadaan alkamaan apuympyrän kehältä tietyltä 15° monikerran tuntikulmalta ja kulkemaan varjosauvan pään läpi sekä jatkumaan edelleen kohti asteikkotasoa. Tällöin viivan toisessa päässä oleva piste voidaan "On Plane" -relaatiolla yhdistää asteikkotasoon ; varjosauvan pään varjo on asteikolla siinä kohdassa Auringon ko. tuntikulmalla ja minimi/maksimi-deklinaatiolla.
Näin saadaan Auringon minimi- ja maksimideklinaatioiden varjopisteet asteikkotasolle. Asteikkotasolla saman tuntikulman minimi- ja maksimideklinaatioiden varjopisteiden välille luodaan aikaviiva.
Ei kuitenkaan kannata yrittää käyttää Auringon minimideklinaatiota jos Aurinko on vaakatason alapuolella, koska silloin Aurinko on horisontin alapuolella eikä valaise asteikkoa. Niinpä tällaisessa tapauksessa tarvitaan jokin uusi ratkaisu, mutta siitä myöhemmin.
Jos sekä minimi- että maksimideklinaation piste mahtuvat asteikolle, niin polaarisauvan pään varjo on aina, Auringon kaikilla mahdollisilla deklinaatioilla, tuolla viivalla - eikä koskaan viivan ulkopuolella - silloin kun Auringon tuntikulma on aikaviivan mukainen.
Luodaanpa ensin maksimideklinaation tuntikulmat koska ne ovat ongelmattomampia. Kytketään muut tasot piirtämisen ajaksi pois näkyvistä.
Sitten minimideklinaatio. Näkyviin kytketty vaakasuora Top -taso kertoo että kolmea viivaa enempää on täällä Pohjan Perillä turha tavoitella.
( Näissä kuvissa aputasoille tehdyt apuympyrät ovat "tason 3D-sketseissä", mutta oikeastaan ne saisivat olla aivan tavallisia sketsejä koska niistä ei suoraan projisoida pisteitä toiselle tasolle. )
Kun taitavasti yhdistämme asteikkotasolla saman tuntikulman minimi- ja maksimideklinaation varjopisteet niin saamme asteikolle aikaviivan joka osoittaa aikaviivojen keskipisteeseen polaarisauvan juuressa niinkuin pitääkin.
Kaiverretaanpa sitten asteikolle aikaviivoja puolen millin levyisinä ja syvyisinä.
Asteikon toisen puolen aikaviivat saadaan peilaamalla Right -tason suhteen. Tässä vaiheessa meillä on tuntiviivat kellonajoille 9 - 15. Tosin äärimmäisten aikaviivojen päät menevät jo maksimideklinaatioilla asteikon ulkopuolelle.
Jatketaan mallin rakentamista pienen tauon jälkeen.
Asteikolle on hyvä myös merkitä missä ja miten se on tarkoitettu käytettäväksi. Tämähän on tarkoitettu Helsinkiin, tai ainakin pohjoiselle latitudille 60°. Kellotaulu on oltava pystysuorassa ja kohtisuoraan etelään päin. Se näyttää paikallista aurinkoaikaa, joka vaatii pientä tulkintaa muuttuakseen viralliseksi ajaksi.
Nämä kriittisen tärkeät tiedonmuruset kaiverramme asteikon alareunaan muodossa "Paikallinen aur.aika", "ETELÄ", "Hki, 60° N". Viisaalle tuo riittää ja hullut haistakoot huilun.
Muille ajoille ei ole mielekästä esittää Auringon minimi- ja maksimideklinaation mukaisia tuntiviivoja, koska Aurinko on horisontin alapuolella tai varjopiste on kaukana asteikon ulkopuolella.
Itse asiassa Aurinko on horisontin alapuolella jo klo 9 ja klo 15 pienimmällä deklinaatiolla koska niiden aikojen varjopisteet ovat Top -tason yläpuolella. Saman asian kertoo se että noiden pisteiden y-koordinaatti on positiivinen. Jätämme tämän kauneusvirheen asteikolle pienenä opettavaisena muistutuksena siitä että kukin meistä voi kehittyä sepäksi vasta syntymänsä jälkeen.
Niinpä merkitsemmekin kaksi seuraavaa tuntiviivaa (molemmille puolille) niin että polaarisauvan varjo kyllä osuu niihin, mutta polaarisauvan pään varjo saa haistaa huilun, maksimideklinaatiolla se on asteikon ulkopuolella.
Vedämme asteikolle myös pätkän deklinaation nolla viivaa, joka on vaakasuora. Kevät- ja syyspäiväntasauksessa varjosauvan pään varjo kulkee pitkin tuota vaakasuoraa viivaa. Maksimideklinaatiolla varjo kulkee pitkin ... ööh ... olisikohan tuo käyrä parabeli vai hyperbeli?
Kello 16 ja kello 8 aikaviivojen yläosa on horisonttitasossa varjosauvan päähän nähden, joten Auringon polaarisauvan päästä heittämä varjo periaatteessa osuu näiden viivojen yläpäähän Auringon laskussa tai nousussa jollakin (melko eteläisellä) deklinaatiolla, ei kuitenkaan ihan talvipäivänseisauksessa jolloin Aurinko noilla tuntikulmilla on turvallisesti horisontin alapuolella.
Kello 8 ja kello 16 aikaviivat on toisesta päästä lopetettu Auringon deklinaation 0° vaakasuoraan viivaan johon Auringon polaarisauvan päästä heittämä varjo osuu kevät- ja syyspäiväntasauksessa. Tokihan tuon varjosauvan pään varjo Auringon pohjoisemmilla deklinaatioilla ulottuu kauemmas alas, mutta taiteellista vaikutelmaa tavoitellen aikaviiva on lopetettu tähän. Tämähän ei mitenkään estä ajan lukemista kellon asteikolta ; varjosauvan - ainakin jonkin osan - varjo osuu kyllä ko. aikaviivoille ko. tuntikulmilla.
Kello 7 ja kello 17 aikaviivat osoittavat vain sitä suuntaa mihin varjosauvan varjo osoittaa ko. tuntikulmilla. Polaarisauvan pään varjo on tuolloin jossakin kaukana asteikon ulkopuolella, joten siitä viis veisaamme.
Asteikon laita-alueilla olisi hyvin tilaa puolen tunnin - tai jopa neljännestunnin - välein merkityille aikaviivoille, mutta jääkööt ne mallin evoluutioversioon.
Näin on asteikkomme tullut valmiiksi ja voin tässä hiukan leikitellä materiaalivalinnalla. Pitäisikö sen olla messsinkiä vaiko kuparia, vai olisiko rauta sopiva? Hmmmm. Ja rautaakin on monenlaista.
Näitä viivoja piirtäessä on melko oleellista osata jakaa malli sketseihin järkevästi ja kulloinkin kytkeä vain tarpeelliset tasot, sketsit ja muu rekvisiitta näkyviin, sillä muuten kokonaisuudesta muodostuu helposti monipuolisuuteen pyrittäessä niin toivottoman sekava spaghettikeitos että Vanha Erkkikään ei ota siitä selkoa.
Täytyy tunnustaa että tällaisen dokumentin laatiminen on vaikeampaa kuin luulin. Luulin hyvinkin osaavani tämän asian, mutta tarvittavaa rutiinia ei vielä ole. Toivon pystyväni jatkossa parempaan.
Voisi ehkä olla hyvä ajatus piirtää varjopisteitä muillekin Auringon deklinaatioille, ehkä juuri niille joita herra Meeus:in kirja ehdottelee?
3D-mallinnusohjelman laskemat varjosauvan pään varjon koordinaatit eräillä deklinaation arvoilla (pyöristettynä):
| Klo 12 | Klo 13 | Klo 14 | Klo 15 | Klo 16 | ||
|---|---|---|---|---|---|---|
| δ = +23,5° | x = | 0,0 mm | 24,1 mm | 54,2 mm | 103,4 mm | 231,9 mm |
| y = | -78,0 mm | -80,2 mm | -87,8 mm | -106,7 mm | -167,8 mm | |
| δ = 0° | x = | 0,0 mm | 17,9 mm | 38,5 mm | 66,7 mm | 115,5 mm |
| y = | -33,3 mm | -33,3 mm | -33,3 mm | -33,3 mm | -33,3 mm | |
| δ = -23,5° | x = | 0,0 mm | 14,2 mm | 29,8 mm | 49,2 mm | Aurinko horisontin alapuolella |
| y = | -6.6 mm | -5,8 mm | -3.4 mm | +1.6 mm |
Asteikko on symmetrinen Right -tason suhteen. Niinpä esim. klo 11 y-koordinaatti on sama ja x-koordinaatti vastaluku verrattuna klo 13:n tietoihin.
Varjosauvan pään kohtisuora etäisyys asteikkotasosta on 50mm? ... oho ... eikun 100mm * tan 30° = 57,7mm ... koska polaarisauva tekee 30° kulman asteikkotason kanssa ja asteikon puolikas on pystysuunnassa 100 mm.
Jos haluaa tutkia JavaScript-ohjelmalla miten hyvin tämä pitää yhtä herra Meeus:in kaavojen kanssa niin tässähän on a = 57,74mm, φ = 60°, z = 90° ja D = 0. Deklinaation ääriarvoissa on kuitenkin pieni ero koska tässä suurpiirteisesti δ = ±23,5° eikä ±23,44° kuten JavaScript-ohjelmassa, joten pisteiden koordinaatit eivät varmaankaan ole täsmälleen samoja.
Yllä on käytetty Auringon deklinaation likimääräisiä ääriarvoja ±23,5°. Kun mitoitamme deklinaation mallissa uudelleen tarkempiin arvoihin ±23,44° niin varjopisteissä tapahtuu vain pieniä muutoksia. Seuraavien pitäisi kuitenkin olla paremmin yhteensopivia Meeus:in kirjan laskennan kanssa.
a = 57,74 mm Minimideklinaatio δ = -23,44° H klo x y 0° 12 0,0 -6,6 mm 15° 13 14,2 mm -5,9 mm 30° 14 29,9 mm -3,4 mm 45° 15 49,2 mm +1,5 mm Maksimideklinaatio δ = +23,44° H klo x y 0° 12 0,0 -78,0 mm 15° 13 24,1 mm -80,0 mm 30° 14 54,1 mm -87,5 mm 45° 15 103,2 mm -106,4 mm 60° 16 231,2 mm -167,0 mm 75° 17 7577,2 mm -3960,6 mm
Tästä yksinkertaisesta kellosta oli pakko kehittää evoluutio -versio.