Oodi kolmenkympin hintaiselle laskimelle

Edellinen Seuraava

Kallis funktiolaskin voi olla upea ja mieltä kiihoittava. Grafiikka houkuttelee, symbolinen laskenta tuntuu välttämättömyydeltä, ohjelmointiominaisuudet pakollisilta? Taulukkolaskenta täytyy tietysti laskimessa olla ja veret seisauttava esitysgrafiikka sen päälle? Insinöörikoulutuksessa ei mitenkään voi pärjätä ilman graafisesti lahjakasta ja huikein ohjelmointiominaisuuksin varustettua CAS-laskinta? Värinäyttö itsestäänselvyys ja kosketusnäyttö obligatoorinen?

No enpä tiedä. Toistaiseksi en ole insinöörikoulutuksessa tavannut tilannetta jossa esim. laskimen ohjelmointiominaisuudet tai symbolinen aritmetiikka olisivat olleet aivan välttämättömiä ja epäilenpä josko sellaista koskaan tuleekaan.

Myös ohessa kuvattu 30 € laskin osaa yllättävän paljon. Diffiksessä se ei osaa käsitellä esim. lauseketta 3x2 + 2x3 symbolisessa muodossa, mutta numeerisesti osaa kyllä derivoida sen tietylle x-arvolle ja laskea määrätyn integraalin annetuin rajoin. Ja esittää matemaattiset symbolit aivan siedettävän näköisinä.

Eräs kirous uusissa laskimissa on se että ne mielellään esittävät tuloksen tarkoin arvoin, kuten neliöjuuri kahdesta tai murtolukuna kuten 3/7. Onneksi yhdellä näppäimen painalluksella tuloksen saa desimaalilukuna.

Laskin ratkoo sujuvasti yhtälöryhmiä. Esimerkiksi seuraavalle kolmen tuntemattoman yhtälöryhmälle ...

5x - 2y + 3z = -9
4x + 3y + 5z =  4
2x + 4y - 2z = 14

... se tuottaa ratkaisun x=0, y=3, z=-1 joka yhdistelmä toteuttaa kaikki ryhmän yhtälöt.

Kaikilla yhtälöryhmillä ei ole järkevän tuntuista ratkaisua. Esimerkiksi hassu yhtälöryhmä ...

1x + 2y + 3z =  4
2x + 4y + 6z =  8
3x + 6y + 9z = 12

... omaa valtavan määrän erilaisia ratkaisuja, jonka laskin tyynen rauhallisesti ilmoittaa muuttujien välisenä riippuvuutena muodossa x = 4 - 2y - 3z

Tilastolaskelmille minulla ei toistaiseksi ole ollut tarvetta, joten niitä en oikein osaa arvostaa. Halpakin funktiolaskin osaa laskea (pienillä) matriiseilla ja vektoreilla. Esimerkiksi 3x3 matriisin kääntäminen ja determinantti onnistuu suit-sait. Vektoreiden piste- ja ristitulo ovat hanskassa. Kompleksilukuja en ole vielä paljon tarvinnut, mutta nekin toimivat. Suorakulmaisten- ja polaarikoordinaattien väliset muunnokset ovat käteviä.

Tokihan ohjelmoitavat ja graafisesti kyvykkäät kallimmat laskimet ovat komeita, mutta oppitunneilla yksinkertainen laskin on yleensä kätevin. Suurempina juhlapäivinä huippulaskimia on hauska näpelöidä. Tunnilla ei ehdi alkaa kehitellä ohjelmia funktiolaskimelle tai räplätä grafiikan kanssa. Tarvitaan uhrattava laskin joka on näppärä ja nopeakäyttöinen. Tämä on sellainen.

Monipuolisemmissa laskimissa laskimen näppäryys ja käytön selkeys menee osittain hukkaan sikäli että toimintoja täytyy piilottaa näppäinyhdistelmien ja valikoiden taakse kun käyttökelpoisen kokoiset näppäimet eivät riitä. Iso näyttö on mukava, mutta se tekee myös laskimesta ison ja hankalamman.

Oodi päiväkävelylle Vähäraumasta Porin keskustaan

Yritän opetella käyttämään PaintShop Pron uutta versiota. Kiireetön viikonloppuinen päiväkävely tarjoaa materiaalia. Hautausmaalla bongaan mm. musiikkineuvos Ilkka Lipsasen eli taiteilijanimellä Danny tunnetun vankan iskelmätähden sukulaisten näyttävän haudan.

Kulkeehan noita busseja lauantainakin Nupurintien kautta ja "happy hours"-mainoskampanjan hinta olisi vain 2 euroa tavanomaisen hinnan 3,30 € asemesta, mutta kävellenkin matka keskustaan taittuu leppoisasti kun ei ole kiire. Mennään Käppärän hautausmaan ja kaupunginsairaalan ohitse.

Käppärän hautausmaalla on myös Juseliuksen mausoleumi. Se vaan ei ole se silmiinpistävä kirkasvärinen rakennus heti kujan päässä, vaan hillitymmän värinen hiukan sivummalla.

Mausoleumiin liittyy tarina jonka alkuun päässee jo hautausmaan portin lähellä olevan tekstin avulla. Siitä ohessa vaatimaton kuva.

Kaupunginsairaalan karulta edustalta löytyi Hopeahäät -niminen patsas, mutta siitä hiukan myöhemmin.

Sää on tuulinen mutta olen hyvin varustautunut. Jalassa on tuhdit Ruotsin armeijan kumisaappaat joiden kanssa uskaltaa kulkea vesilätäköissäkin. Svedukumpparit on ostettu Mikko Keskiseltä ehkä joskus 2007. Siis Tuurista, mutta ei siltä iltapäivälehdissä enemmän esiintyneeltä kaima-kauppiaalta.

Vanhasta korkeasta tiilirakenteisesta vesitornista täytyy välttämättä ottaa kuvia. Sen seinässä on pari mielenkiintoista laattaa.

Vesitornin piha on vaarallisen liukas, mutta eipä tässä kai normaalisti ole paljon jalankulkuliikennettä.

Porilaiset ovat siis asuneet maakuopissa vielä 1800-luvun lopulla. Tästä ei kannattaisi paljon huudella Rauman suuntaan. Uutena kunnon porilaisena kestän tämän historiallisen seikan miehekkäästi ilman vakavia omanarvontunnon vaurioita.

Tämän kuvien muokkauskokeilun perusteella valitettavasti täytyy sanoa että minun tarpeisiini PSP on kehittynyt hankalammaksi käyttää. Varmaan siinä on uusia ominaisuuksia aivan sikana, mutta niitä tuskin koskaan tarvitsen.

Tarvitsen kuvankäsittelyohjelmalta oikeasti vain vähän ominaisuuksia, joten enpä tiedä vaivaudunko jatkamaan opettelua ja taistelua tämän uuden version kanssa 30 päivän kokeiluajan jälkeen. Ärsyttävästi ohjelma haluaa oletusarvoisesti muuttaa tiedostonimien kirjaimet isoiksi, myös tiedostotunnisteen.

Ja sitten vielä se karun kaupunginsairaalan seinustalla oleva patsas. En tiedä kuka tuon on tehnyt, en löytänyt tekijän nimeä, mutta varmaan se on Terveyden ja Hyvinvoinnin Laitoksen ihmisläheisen linjan kanssa sopusoinnussa. Vai olisiko tuossa liikaa lihaa luitten päällä? Minun makuuni tyttö on aivan sopiva. Kamalaahan se olisi jos luut vaan kolisee kun naista puristelee.

Täytyyhän se olla ihmisten oma syy jos ovat vanhoja tai sairaita ja ellei heitä muusta voi syyttää niin ainakin elämäntavoista, tupakasta, viinasta tai lihavuudesta. Kaunolla kirjoitettu nimi Hopeahäät näkyy takana hiukan heikosti ja vaatii kuvan histogrammin venyttämistä.

Oikeastaan en kuvankäsittelyohjelmassa normaalisti kaipaa paljon muuta kuin kuvan käännön, rajauksen, koon muuttamisen, histogrammin muokkauksen, epäterävän maskin ja tiedoston pakkauksen.

Oodi lujuusopin opintopisteille - tai ainakin niiden tavoittelulle?

Satakunnan ammattikorkeakoulun kone- ja tuotantotekniikan insinöörin toisen opintovuoden lujuusopin oppimäärä on minulla heikosti hallinnassa koska en ole lainkaan voinut osallistua lähiopetukseen ja tenttiin syyslukukaudella. En ole aiemmin nähnyt yhtään tämän alan tenttitehtävää.

Maanantaina 19.01.2015 klo 17 tarjoutui tilaisuus osallistua lujuusopin sellaiseen tenttiin jossa voi saada pienimmän hyväksytyn arvosanan eli ykkösen 5-portaisella asteikolla. Tentti järjestettiin ryhmätenttinä jossa noin kymmenen hengen ryhmä jätti yhteisen vastauksen. Noin 75% pitäisi kai olla oikein että kaikki ryhmän jäsenet saisivat sen vaatimattoman hyväksytyn arvosanan ja sitä myötä kurssin opintopisteet.

Tehtävään 1 liittyvästä liitteestä en honannut ottaa kuvaa, mutta arvelen näin jälkikäteen että se olisi voinut olla oheisen koulun kirjaston hyllyissä runsaana esiintyvän kirjan LUJUUSOPPI liitteen C kaltainen lista standardien putkipalkkien poikkipintasuureista.

Minun kontribuutioni ryhmän toimintaan oli tehtävän 2 ratkaisuyritys. Tehtävässä on kyseessä palkin taipuman laskenta, mutta ensin täytyy ratkaista hiukan monimutkaisemman muotoisen palkin aksiaalinen neliömomentti.

Tässä tarvitaan Steinerin sääntöä jonka avulla voidaan laskea palkin poikkileikkauksen aksiaalinen neliömomentti painopisteen kautta kulkevan akselin suhteen kun sen yksinkertaisen muotoisten osien keskinäiset sijainnit ja neliömomentit oman neutraaliakselinsa suhteen tunnetaan.

Kaavasto auttaa eksyneen oikealle polulle

Kaikkia lähteitä ryhmä sai tentissä käyttää, poislukien ulkopuolinen konsultti. Internet oli sinänsä myös sallittu, mutta tehtäviä koskevia neuvoja ei saanut pyydellä keskusteluryhmistä. Tarvittavat laskukaavat löytyvät kaavastosta. Kolmenkympin laskin sai tulikasteensa, vaikka tämä ei kylläkään ole laskuteknisesti erikoisen vaativa tehtävä.

Korostettakoon ettei tämä ole kurssin AME13SP normaali lujuusopin tentti. Varsinainen tentti lie pidetty Joulun alla. Tähän "0->1" tenttiin ilmeisesti osallistuvat vain ne jotka eivät syystä tai toisesta ole saaneet hyväksyttävää arvosanaa varsinaisesta tentistä, eli ne joilla on tässä aineessa puhdas nolla. Ykköstä parempaa arvosanaa tästä tentistä ei voi saada vaikka laulaisi oikeat vastaukset enkelten kielillä, stand-up-komiikan säestyksellä ja vielä kusisi hunajaa päälle.

Ryhmän tunnus AME13SP aukikirjoitettuna on aikuisryhmä (Adult) konetekniikassa (Mechanical Engineering) joka on vuonna 2013 aloittanut Syksyllä Porissa. Vastaava Raumalla viime syksynä aloittanut ryhmä lie tunnukseltaan AME14SR. Nuorten ryhmissä ei ole A-kirjainta edessä.

Sain tehtävän 2 tulokseksi että tuo aika jykevä palkki taipuu sen "tonnin kuorman" alla vain 3,7 millimetrin sadasosaa ja keskellä palkkia 4,5 millin sadasosaa. Kuulostaa ehkä epäilyttävältä, mutta laskin kahteen kertaan saman tuloksen. Pyrin myöhemmin liittämään tähän jatkoksi siistityn ratkaisun.

Saapa nähdä miten äijän käy. Jos tentistä tulee hylsy niin sitten täytyy vaan yrittää uudelleen paremmin eväin. Kuten olen Bond-rainoista oppinut : If at first you don't succeed, then try, try again!

Tokihan minulla joka tapauksessa on intressi edistyä alan tiedoissa ja taidoissa pitemmällä tähtäimellä, mutta alhaisin hyväksytty arvosana riittäisi tässä vaiheessa koska sen kautta saa ne aivan samat opintopisteet kuin parhaallakin arvosanalla.


Lujuusopin ryhmätentin tehtävä 2 ...

Siispä katsotaan ym. kakkostehtävää lähemmin. Piirros ilmeisesti esittää ko. palkin poikkileikkausta. Onneksi se on symmetrinen pystyakselin suhteen. Palkin materiaalin kimmomoduliksi on annettu E = 200 GPa eli 200·109 N/m2 eli 200 miljardia Newtonia neliömetrille. Luullakseni se on terästä.

Palkin voi ajatella koostuvan kolmesta suorakaiteen muotoisesta osasta A1, A2 ja A3. Näiden osien neutraaliakseleiden korkeudet palkin alareunassa olevasta nollatasosta olkoot y1, y2 ja y3. Näiden tietojen perusteella haluaisimme löytää koko palkin neutraaliakselin korkeuden y0 voidaksemme laskea kokonaisuuden neliömomentin Iz tämän suhteen. Neliömomenttia tarvitsemme palkin taipuman laskentaan.

Kaavaston kaavoilla voi laskea palkin poikkileikkauksen kunkin osa-suorakaiteen neliömomentin. Se pätee ko. suorakaiteen "painopisteen" kautta kulkevan vaakatasoisen akselin suhteen. Sitten on ratkaistava palkin poikkileikkauksen osa-suorakaiteiden yhteisen "painopisteen" korkeus y0 nollatasosta. Kun on kyseessä äärettömän ohut ja periaatteessa massaton poikkileikkaus, kuulostaa "painopiste" ehkä oudolta, mutta ehkä sentään ymmärrettävältä.

y0 = ( y1·A1 + y2·A2 + y3·A3 ) / ( A1 + A2 + A3 )

Lasketaanpa kuvasta ensin osa-suorakaiteiden pinta-alat metreinä:

A1 = 0,3 m · 0,1 m  = 0,03 m2
A2 = 0,1 m · 0,2 m  = 0,02 m2
A3 = 0,4 m · 0,05 m = 0,02 m2

Yhteensä palkin poikkileikkauksen pinta-ala on siis näiden summa   A = A1 + A2 + A3 = 0,07 m2

Suorakaiteen neliömomentti saadaan Kaavaston kaavalla   Iz = b·h3/12 eli kertomalla leveys b korkeuden h kolmannella potenssilla ja jakamalla tulo luvulla 12. Niinpä osa-suorakaiteiden neliömomentit (huom:) oman keskiakselinsa suhteen ovat:

I1 = 0,3 m · (0,10 m)3 / 12 = 2,500 · 10-5 m4		; suorakaide A1
I2 = 0,1 m · (0,20 m)3 / 12 = 6,667 · 10-5 m4 		; suorakaide A2
I3 = 0,4 m · (0,05 m)3 / 12 = 4,167 · 10-6 m4		; suorakaide A3

Osa-suorakaiteiden vaakasuuntaisten keskiakseleiden korkeudet nollatasosta voi päätellä kuvasta palkin poikkileikkauksen mitat tuntien. Nämä ovat siis pystysuunnassa kunkin osa-suorakaiteen keskellä.

y1 = 0,300 m
y2 = 0,150 m
y3 = 0,025 m

Näiden tietojen avulla voimme ratkaista miten korkealla koko palkin poikkipinta-alan "painopisteen" kautta kulkeva vaakaviiva on palkin pohjasta mitattuna.

y0 = ( y1 · A1 + y2 · A2 + y3 · A3 ) / ( A1 + A2 + A3 )
   = ( 0,300 m · 0,03 m2 + 0,150 m · 0,02 m2 + 0,025 m · 0,02 m2 ) / A
   = ( 0,009 m3 + 0,003 m3 + 0,0005 m3 ) / 0,07 m2
   = 0,0125 m3 / 0,07 m2
   = 0,1786 m

Palkin painopiste on siis noin 179 mm korkeudella palkin pohjasta, eli nousee yli puolenvälin korkeudelle.

Kun tunnemme palkin neutraaliakselin korkeuden y0, voimme laskea miten kaukana kunkin osa-suorakaiteen keskitaso on tästä. Sitten saamme Steinerin sääntöä käyttäen kunkin osa-suorakaiteen neliömomentin korkeuden y0 kautta kulkevan akselin suhteen. Koko palkin neliömomentti on yksinkertaisesti osa-suorakaiteiden tuon kaikille saman akselin suhteen laskettujen neliömomenttien summa.

Steinerin säännön mukaan neliömomentti IA uuden akselin suhteen saadan vanhan akselin mukaisesta neliömomentista IZ pinta-alan A ja akselien välisen etäisyyden a avulla kaavalla : IA = IZ + A · a2

Kun kaavassa etäisyys on korotettu toiseen potenssiin, ei suunnasta tarvitse välittää - negatiivisistakin etäisyyksistä tulee positiivisia. Lasketaanpa etäisyyksien itseisarvot osa-suorakaiteiden keskiakselien ja palkille lasketun neutraaliakselin korkeuden y0 välillä.

|a1| = y1 - y0 = 0,300 m - 0,1786 m = 0,1214 m
|a2| = y0 - y2 = 0,1786 m - 0,150 m = 0,0286 m
|a3| = y0 - y3 = 0,1786 m - 0,025 m = 0,1536 m

Sitten voimme laskea akselin siirron aiheuttamat muutokset osa-suorakaiteiden neliömomenteissa. Nämä ovat kaikki lisäyksiä koska suorakaiteen neliömomentti on pienimmillään sen keskipisteen kautta kulkevan akselin suhteen.

ΔI1 = A1 · a12 = 0,03 m2 · ( 0,1214 m )2 = 4,421 · 10-4 m4
ΔI2 = A2 · a22 = 0,02 m2 · ( 0,0286 m )2 = 1,636 · 10-5 m4
ΔI3 = A3 · a32 = 0,02 m2 · ( 0,1536 m )2 = 4,719 · 10-4 m4

Nämä lisätään vanhoihin arvoihin. Osa-suorakaiteiden neliömomentit uuden akselin suhteen ovat siten:

I1 = 2,500 · 10-5 m4 + 4,421 · 10-4 m4 = 4,671 · 10-4 m4
I2 = 6,667 · 10-5 m4 + 1,636 · 10-5 m4 = 8,303 · 10-5 m4
I3 = 4,167 · 10-6 m4 + 4,719 · 10-4 m4 = 4,761 · 10-4 m4

Ja "lopullinen" koko palkin neliömomentti on näiden arvojen summa eli I = I1 + I2 + I3 = 1,026 · 10-3 m4

Seuraavaksi pitäisi laskea paljonko palkki taipuu 10 kN "pistekuorman" alla. Pistekuormaa ei pidä ottaa aivan kirjaimellisesti. Mikään todellinen materiaali ei kestäisi kymmenen kilonewtonin voimaa (eikä kyllä muutakaan positiivista kuormaa) sananmukaisesti pistemäisenä kuormituksena;-)

No joo, Kaavasto antaa tähän tarkoitukseen kaksi kaavaa joissa yhteisenä tekijänä on termi   F / ( 6 · E · I · l ) joten lasketaanpa sitä ensin. F on se kuormitus 10 kN, E on materiaalin kimmomoduli 200 GPa, I ("iso ii") on edellä laskemamme neliömomentti ja l ("pieni äl") on palkin pituus 4 metriä.

F / ( 6 · E · I · l ) 
  = 10·103 N / ( 6 · 200·109 N/m2 · 1,026·10-3 m4 · 4 m )
  = 10·103 / ( 4,925·109 m3 ) 
  = 2,031·10-6 m-3

Kuorman kohdalla x = a ja ilmeisesti voi valita kumpaa taipuman kaavaa käyttää, joten valitaan lyhyempi osa [ a · b · ( l + b ) · x - b · x3 ]

Tässä siis kaavaston kuvan merkintöjen mukaisesti l on palkin pituus, a on kuormittavan voiman paikka vasemmalta ja b oikealta, sekä x on se koordinaatti jonka y-suuntaista taipumaa lasketaan. Niinpä vm. kaavan hakasulkujen sisällä esitettyyn osaan sijoittaen saadaan osatulos :

[ 1m · 3m · ( 4m + 3m ) · 1m - 3m · (1m)3 ]
 = [ 1m · 3m · ( 7m ) · 1m - 3m · 1m3 ]
 = [ 21 m4 - 3 m4 ]
 = 18 m4

Tehtävän a) kohdan ratkaisu eli palkin y-suuntainen taipuma kuormittavan voiman kohdalla syntyy kertomalla edellä lasketut osatulokset   y(x) = y(1m) = 2,031·10-6 m-3 · 18 m4 = 3,655·10-5 m joka ehkä havainnollisemmin on noin 0,037 millimetriä.

... No joo, kun katsoo yllä kuvattua kaavakirjan sivua tarkemmin, niin siinähän on kolmantena lyhyempi kaava y(a) = F · a2 · b2 / ( 3 · E · I · l ) jonka pitäisi kuormituksen kohdalla ( x = a = 1m ) tuottaa sama a) kohdan tulos vähemmällä laskennalla ja tästähän tulisi tulokseksi:

y(1m) = F · a2 · b2 / ( 3 · E · I · l ) 
 = 10·103 N · (1m)2 · (3m)2 / ( 3 · 200·109 N/m2 · 1,026·10-3 m4 · 4m )
 = 90·103 Nm2 / ( 2,4624·103 N/m3 )
 = 36,55·10-6 m

Eli samoihin tuntuisi vetävän.

Tehtävän kohta b) kysyy taipumaa palkin keskellä ja siihen täytyy soveltaa osittain erilaista kaavaa jossa hakasulkujen sisällä on hiukan pitempi rimpsu   [ a · b · ( l + b ) · x - b · x3 + l · ( x - a )3 ] . Nyt ei olekaan enää x = a, vaan x = 2m ja a = 1m. Sijoitetaan arvot:

[ 1m · 3m · ( 4m + 3m ) · 2m - 3m · (2m)3 + 4m · ( 2m - 1m )3 ]
 = [ 1m · 3m · ( 7m ) · 2m - 3m · 8 m3 + 4m · ( 1m )3 ]
 = [ 42 m4 - 24 m4 + 4 m4 ]
 = 22 m4

Vastaavasti kuin a-kohdassa tulos syntyy kertomalla tämä aiemmin lasketulla tekijällä   y(x) = y(2m) = 2,031·10-6 m-3 · 22 m4 = 4,468·10-5 m eli keskellä palkki taipuu noin 0,045 mm, joka on hivenen enemmän kuin kuormittavan voiman kohdalla.

Tokihan tämä olisi helpompi laskea ilman yksiköiden merkintää, mutta selkeyden vuoksi kuljettelin niitä mukana. Luulenpa että saman tuloksen saisi laskemalla mitat metrien asemesta millimetreinä.

Tässä olen siis ohimennen olettanut ettei itse palkki paina yhtään mitään, eikä sen omasta painosta siis synny mitään taipumaa. Palkin paino vaan on laskennassa sikäli ongelmallisempi että se jakautuu koko palkin pituudelle. Voihan kyllä olla että taipumien ollessa pieniä voi soveltaa superpositioperiaatetta ja laskea palkin oman painon vaikutuksen erikseen.

Rohkeasti kuitenkin esitän ...
Tehtävän 2 vastaukset :
Pistekuorman 10 kN aiheuttama taipuma
a) voiman kohdalla = 0,037 mm
b) palkin keskellä = 0,045 mm


Galleria