Maanantain 18.11.2013 Hill-istunto aloitettiin käsittelemällä insinöörifysiikan kirjan Momentti 1 tehtävää numero 4.45.
| |
|
Dokumenttikameran kuva riittänee kertomaan tehtävän sisällön.
Tässä tehtävässä kiihdyttävä voima on peräisin alas putoavan massan m2 painosta m2 · g joka vetää massaa m1 vaakasuorassa oikealle. Ensimmäiseen massaan kohdistuu kitkavoima ja sen kokema normaalivoima N1 on sen painon m1 · g suuruinen koska alusta on vaakasuora. Kaltevalla tasollahan tilanne olisi hiukan erilainen.
Periaatteessa voimahan voisi olla muukin kuin vaakasuora jolloin osa siitä voisi vaikuttaa kappaleeseen kohdistuvaan normaalivoimaan ja sitä kautta kitkan suuruuteen. Tässä vetävä voima on siis kuitenkin vaakasuorassa.
 |
 |
 |
Kappaleiden kiihtyvyyden suuruus (mutta ei suunta) on ilmeisesti sama, koska ne yhteen kytkevä lanka ei veny. Kappaleet tavallaan liikkuvat yhtenä kokonaisuutena. Lanka vaan muuttaa liikkeen suunnan, periaatteessa häviöttä.
Kappaleita käsitellään erikseen. Ne yhdistää toisiinsa vain lankavoima T.
X-akselin positiivinen suunta on liikkeen suunta eli ensimmäiselle kappaleelle oikealle ja toiselle kappaleelle alas. Vapaakappalekuvassa molemmat X-akselit on piirretty vaakasuoriksi (vaikka toisen kappaleen X-akseli kohdistuu pystysuoraan alas tilannekuvassa).
Pistänpä tähän itse piirtämäni merkinnät tilannekuvaan koska dokumenttikameran kuvaan piirretyt lisäykset näkyvät kovin pieninä. Tarkoitus on havainnollistaa sitä että systeemin kumpaakin kappaletta käsitellään erikseen ja X-akselin suunta on kummallekin liikkeen suunnassa.
1. Vasemmanpuoleiselle kappaleelle saadaan seuraavat yhtälöt:
Σ Fx = T - Fμ = m1 · a
Σ Fy = N - m1 · g = 0
Lankavoima T vaikuttaa positiiviseen suuntaan ja sitä vastustaa kitkavoima Fμ. Näiden erotus on se voima joka antaa massalle m1 kiihtyvyyden. Täytyy lisäksi muistaa että kitkavoima Fμ = μ N jossa μ on kitkakerroin. Kitkakerroin on dimensioton suhdeluku.
Pystysuunnassa positiivinen normaalivoima N on yhtä suuri mutta vastakkaissuuntainen kuin kappaleen paino m1 g koska kappale liukuu pitkin vaakasuoraa tasoa ja liikkeen suuntaisilla voimilla ei ole vaikutusta Y-suunnassa.
2. Oikeanpuoleiselle kappaleelle yhtälöt ovat yksinkertaisempia koska siinä ei ole kitkavoimaa eikä tukireaktiota eli normaalivoimaa. Lankavoima T vaikuttaa tässä liikkeen suuntaa vastaan joten se on negatiivinen. Painon ja lankavoiman erotus on se voima joka antaa kappaleelle kiihtyvyyttä.
Σ Fx = m2 · g - T = m2 · a
Kappaleeseen vaikuttaa maan vetovoiman kiihtyvyys g mutta se ei putoa niin suurella kiihtyvyydellä, vaan putoamisliikkeen kiihtyvyys riippuu koko systeemin massasta jota lankavoima osaltaan välittää.
X-suuntaisten voimien summaksi ei siis tässä tule nolla koska systeemi on kiihtyvässä liikkeessä eikä siten liiku tasaisella nopeudella.
Se suuri kysymys kuuluu, miten suuri on systeemin kiihtyvyys a ja se täytyy selvittää yhtälöitä manipuloimalla. Strategiana on ratkaista kummankin kappaleen liike niitä yhdistävän lankavoiman T suhteen. Tämän tehtävän ratkaisu lienee samanatapainen kuin kirjan ratkaistu esimerkki 4.11.
Toisen kappaleen yhtälöstä sen lankavoima on helppo ratkaista:
Σ Fx = m2 · g - T = m2 · a
m2 · g - T = m2 · a
T = m2 · g - m2 · a
Eräs ratkaisun elementti löytyy liikekitkan määritelmästä Fμ = μ N joka sitoo yhteen kitkavoiman Fμ ja normaalivoiman N.
Ensimmäiselle kappaleelle täytyy kitkavoima esittää normaalivoiman avulla että saataisiin ratkaistua lankavoima T. Tätä varten ratkaistaan ensin normaalivoima N.
Σ Fy = N - m1 · g = 0
N = m1 · g
Niinpä kitkavoiman lausekkeeksi tulee:
Fμ = μ N
Fμ = μ · m1 · g
Tämä sijoitetaan ensimmäisen kappaleen yhtälöön ja ratkaistaan lankavoima T:
Σ Fx = T - Fμ = m1 · a
T - Fμ = m1 · a
T - μ · m1 · g = m1 · a
T = μ · m1 · g + m1 · a
Kun T on voitu esittää kahdella eri tavalla, asetetaan ratkaisut yhtäsuuriksi ja koetetaan kehittää siitä kaava kiihtyvyydelle a siirtämällä a:n sisältävät termit yhtälössä samalle puolelle:
T1 = μ · m1 · g + m1 · a (kappaleelle 1) T2 = m2 · g - m2 · a (kappaleelle 2) μ · m1 · g + m1 · a = m2 · g - m2 · a ( eli T1 = T2 ) m1 · a + m2 · a = m2 · g - μ · m1 · g a · ( m1 + m2 ) = g · ( m2 - μ · m1 ) a = g · ( m2 - μ · m1 ) / ( m1 + m2 )
Tulos on sikäli kivassa muodossa että siitä selvästi näkee että a täytyy olla pienempi kuin g. Tuo ( m1 + m2 ) on tietenkin kappaleiden yhteinen massa, μ on kitkakerroin pintojen välillä ja g on maan vetovoiman kiihtyvyys, noin 9,81 m/s2.
Toki tämä on hiukan keinotekoista koska oletetaan esimerkiksi että lanka ei paina mitään ja että väkipyörän pyörimiseen ei sitoutudu mitään energiaa (koska väkipyörällä ei ole lainkaan massaa).
Yllä oleva esimerkki ei anna kovin laajaa kuvaa tällaisesta problematiikasta, joten yritänpä hiukan "systematisoida" tällaisten tehtävien käsittelyä.
Oleellista on heti aluksi tulkita tehtävästä
Taso jolla kappale liikkuu voi olla vaakasuora tai kalteva. Vaakasuoralla tasolla kohtisuorassa tasoa vasten vaikuttava normaalivoima N on pystysuorassa ja yleensä samansuuruinen (jos ei ole muuta voimaa) kuin kappaleen paino G = m · g, mutta suunnaltaan vastakkainen.
Kappaletta tukeva normaalivoima N eli tukireaktio täytyy toki olla olemassa koska muutenhan kappale painuisi tason läpi vapaassa putoamisliikkeessä. Näin oleellista elementtiä ei voi mallista jättää pois.
Kaltevalla tasolla kappaleen paino G = m · g kohdistuu suoraan alaspäin, mutta normaalivoima N on siinäkin kohtisuorassa tasoa vasten, osoittaen ylöspäin.
Kitkavoima on aina vastakkaissuuntainen liikkeeseen nähden. Kitkavoima riippuu osaltaan normaalivoimasta N. Normaalivoima N ei ole aina saman suuruinen kuin kappaleen paino, johtuen siitä että kappaleen paino ei välttämättä kohdistu suoraan tason suuntaa vasten alaspäin ja kappaleeseen vaikuttavalla ulkoisella voimalla voi olla komponentti joka on kohtisuorassa tasoa vasten.
Kappaleeseen vaikuttava ulkoinen voima F voi olla tason suuntainen tai se voi muodostaa tason kanssa kulman θ joko yläviistoon tai alaviistoon.
Jos ulkoisella voimalla F on tasoa vasten kohtisuora komponentti niin se voi joko lisätä tai vähentää normaalivoiman määrää riippuen siitä vaikuttaako ko. voiman komponentti ylös- vaiko alaspäin.
Vinossa tasoon nähden vaikuttava voima F vetää kappaletta eteenpäin vain tason suuntaisella komponentilla F cos θ, kun θ on se kulma jonka voima F tekee vaakatason kanssa. Pystysuora komponentti F sin θ vaikuttaa ikäänkuin kappaleen painoa vähentävästi ja pienentää normaalivoiman suuruutta ja sitä kautta se pienentää myös kitkavoimaa Fμ jonka suuruus riippuu hankaavien pintojen välisestä kitkakertoimesta μ ja normaalivoimasta.
Ehkä on syytä korostaa että tässä yhteydessä voiman F ajatellaan vaikuttavan kappaleen massakeskiöön eikä sillä ole mitään sellaista vaikutusta että se esim. nostaisi kappaleen etureunaa ja painaisi takareunaa alaspäin. Ajattelemme kappaleen periaatteessa pistemäiseksi vaikka kappaleella piirroksissa näkyykin ulottuvuutta.
 |
 |
 |
 |
Uutena asiana otettiin esiin käsitteet
Voiman F tekemä työ kun kappale liikkuu siirtymän s on näiden vektoreiden pistetulo (tunnetaan myös nimellä skalaaritulo) eli vektoreiden pituuksien tulo kerrottuna niiden välisen kulman α kosinilla.
Työ on siis kuitenkin skalaari eikä vektori, tästäpä juuri se nimitys skalaaritulo. Vektoreiden välille voitaisiin laskea myös toisenlainen tulo, ristitulo eli vektoritulo, joka on itse myös vektori, mutta siitä ei siis tässä ole kyse.
Jos vektorit F ja s ovat samansuuntaisia ( α = 0 ja cos α = 1 ) niin työ on yksinkertaisesti niiden tulo W = F s mutta jos vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vasten ( α = 90° ja cos α = 0 ), eli kappale ei liiku voiman suunnassa, niin pistetulon arvo on nolla ja siten voiman F tekemä työ W = 0.
Fysikaalisessa mielessä vain se voiman komponetti tekee työtä joka on samansuuntainen siirtymän s kanssa.
Kaikki painavien kauppakassien kannattelijat haluavat varmaan tässä vaiheessa ilmaista vastalauseensa, mutta fysiikassa ollaan sitä mieltä että pelkkä kappaleen kannatteleminen paikallaan ei ole työtä.
Teho määritellään P = ΔW / Δt eli aikaa t kohti tehdyn työn W määränä.
Kun työn yksikkö on Newtonmetri eli Joule 1 J = 1 Nm, niin tehon yksikkö on Watti eli 1 Nm/s eli 1 J/s.
Jos voima F ja nopeus v ovat vakioita niin teho voidaan laskea myös kaavalla P = F v jonka tekee ymmärrettäväksi se että työ on voima kertaa matka ja matka per aika on nopeus.
Hyötysuhde on tietysti kaikkien ikiliikkujan keksijöiden unelma-aihe. Se on kuitenkin aina alle 100%
Hyötysuhde η voidaan määritellä laaduttomana suhdelukuna, antotehon Panto suhde ottotehoon Potto (tai vaihtoehtoisesti antotyö Wanto suhteessa ottotyöhön Wotto). Otto on siis se määrä jonka systeemi ottaa vastaan, esimerkiksi polttoaineen koko energia.
Mitä lopuksi tarinoitiin energiatiloista meni minulta yli hilseen. Lämpövoimakone ottaa ylemmästä energiatilasta työtä ... no sen vielä jotenkin tajuan ... ja lämpöpumppu nostaa työtä ylempään energiatilaan? HÄÄH, tätä en ymmärrä. Heikkopäinen voisi käsittää tämän niin että lämpöpumpun hyötysuhde on yli 100% ??? Eihän se niin voi olla mutta en oikein ymmärtänyt noita "energiatiloja" ...
Saattaa olla että istunnon nauhoitukseen ei tullut lainkaan ääntä? ... opettaja lausahti lopuksi että kaiutin unohtui pistää päälle ...
Ja olen ymmärtänyt niin että Hill-istuntojen tallentamisessa on yleisemminkin ollut joitakin teknisiä ongelmia. Myötä- ja vastamäet (engl. hill) vuorottelevat?