<<

#474 ; La ĉarma libro pri planedaj orbitoj

>>

Jam antaŭe en artikolo #466 mi menciis mian revon por prezenti simplan, por amatoroj taŭgan kalkulan metodon por planedoj en Esperanto. La metodo de Peter Duffett-Smith en la libro "Practical Astronomy with your Calculator", tria eldono el jaro 1988, ne estas tre akurata, sed estas ĉarma kaj uzebla. Dum la 1980-aj jaroj mi iom multe uzis la duan eldonon de la libro kaj lernis multe, kvankam la libro estas iom modesta. Interreto ne estis uzebla tiam, sed vivo estas pli ol Interreto.

Ni bezonas orbitaj elementoj de planedo por prezenti la orbiton kaj lokon de planedo en spaco. Orbitaj elementoj estas iom idealigita kaj simpligita maniero por pritrakti la direkton kaj movadon de planedo. Ni volas pensi ke planedo movas en ia milda - preskaŭ ronda - elipso sur ebeno en spaco ĉirkaŭ la Suno. Fakte nek la elipso nek la ebeno estas tute konstantaj. Fakte la Suno ne estas la sola objekto por konsideri, kvankam estas la plej masiva. Planedoj iom influas unu al la aliaj per siaj masoj. Ni tamen volas kalkuli kiel eble plej simple kaj tial ni bezonas permesi ioman neprecizecon en la rezultoj.

En la supra maldekstra desegnaĵo estas la Suno (S) en la centro de (imaginita) ĉiela sfero. P' estas la suncentra direkto de planedo sur la ĉiela sfero. Ekliptiko estas la orbita ebeno de nia hejma planedo la Tero. La alia planedo havas sian propran orbitan ebenon. Estas la angulo orbita klineco aŭ inklinacio i inter la du ebenoj. La planedo movas en orbito maldekstrumen. La punkto N'1 estas la suprenira nodo ( ☊ ) de orbito, kie la planedo leviĝas sur la norda flanko de ekliptika ebeno. La punkto N'2 estas la malsuprenira nodo ( ☋ ) kie la planedo returnas al la suda flanko de ekliptiko. La angulo Ω sur la ekliptika ebeno estas la longitudo de suprenira nodo de planeda orbito.

Ni mezuras direktojn kiel anguloj de longitudo el la punkto de printempa ekvinokso ( ♈ ), kio estas krucaĵo inter la ekliptika ebeno kaj la ekvatora ebeno de Tero, nome tio krucaĵo en kies direkto la Suno situas printempe kiam ni ĝin rigardas el Tero. La direkto de printempa ekvinokso ne estas tute konstanta en spaco, sed malrapide movas. La libro donas la orbitajn elementojn por la epoko 1990, sed mi ne estas tute certa kio estas la ekvinokso de koordinatoj. Eble la ekvinokso ankaŭ estas por la jaro 1990? Nu, se ni ne kalkulas tre distance el jaro 1990, la diferenco apenaŭ estos granda kompare al la ekvinokso de koncerna dato.

La angulo longitudo de suprenira nodo ( Ω ) situas sur la ekliptika ebeno. Ĝi indikas kioman angulon estas la suprenira nodo ( ☊ ) de planeda orbito maldekstrumen el la direkto de printempa ekvinokso ( ♈ ).

La angulo argumento de perihelio ( ω ) situas sur la orbita ebeno de planedo. Ĝi indikas kioman angulon estas la perihelio de planeda orbito maldekstrumen el la suprenira nodo ( ☊ ).

La anguloj Ω kaj ω do fakte situas sur aliaj ebenoj. Oni tamen povas uzi ilian sumon ͠ω = Ω + ω kiel longitudo de perihelio, kvankam estas fakte "faldita angulo". Kaj certe nia kara Peter Duffett-Smith uzas la elementon "longitude of the perihelion"   ͠ω = Ω + ω en la tabelo de orbitaj elementoj. Ĉi tio angulo do estas la suma angulo el la direkto de printempa ekvinokso sur la ekliptika ebeno al la suprenira nodo ... kaj plie sur la orbita ebeno de planedo ĝis la perihelio de planedo.

La orbita elemento discentreco aŭ fokusdiseco e de orbito esprimas kiom ovala estas la elipso de planeda orbito. Perfekta cirklo havas e = 0.

La orbita elemento (longo de) granda duonakso a estas en praktiko la meza distanco de planedo el la Suno. Ni esprimas ĝin en Astronomiaj Unuoj (AU) kio estas la meza distanco de nia propra Tero el la Suno.

Kiel kalkuli?

Unue ni volas kalkuli la suncentran direkton de planedo, ekzemple la potenca Jupitero. Ni tamen volas fine scii la tercentran direkton por la planedo, ĉar ni ja vivas sur la surfaco de planedo Tero kaj ne sur la Suno. Tial ni bezonas kalkuli suncentran orbiton kaj por la Tero kaj por la alia planedo, ekzemple la Jupitero. Kiam ni scias la suncentrajn direktojn kaj distancojn kaj por nia Tero kaj por la alia planedo - ekzemple Jupitero - tiam ni kapablas kalkuli la tercentrajn direktojn kaj distancojn por tio planedo (kiam ni ĝin rigardas el Tero).

Apuda desegnaĵo el la libro prezentas la geometrian principon por kalkuli tercentrajn koordinatojn de planedo uzante la suncentran informon. S estas la Suno kaj E estas nia planedo la Tero (angle "Earth").

En la supra parto de desegnaĵo (a) estas la alia planedo P1 pli distanca el Suno ol nia Tero, same kiel la potenca Jupitero. Eksterna planedo cirkulas ekster la orbito de Tero.

En la suba parto de desegnaĵo (b) estas la alia planedo P1 pli proksima al la Suno ol nia Tero, ekzemple Venuso. Interna planedo cirkulas en la interna flanko de terorbito.

Rekte dekstre estas desegnitaj la direktoj al la punkto de printempa ekvinokso, kion ni povas pensi kiel senfine distanca punkto sur la ĉiela sfero. Tial la direkto estas esence la sama el diversaj punktoj.

La angulo L estas la suncentra longitudo de Tero el la direkto de printempa ekvinokso. Kaj la angulo l' estas la suncentra longitudo de alia planedo. La R estas la distanco de Tero el la Suno kaj r' estas la distanco de tio alia planedo P1 el la Suno.

La plej grava informo kion ni volas fine atingi, estas la tercentra informo por la alia planedo. La angulo λ estas la tercentra longitudo de tio interesa planedo kaj ρ' estas la distanco el Tero al la interesa planedo.

Klare ni vidas triangulojn en la desegnaĵo. Tioj ne estas rektangulaj trianguloj, sed eblas solvi la tercentran informon el tioj geometriaj principoj.

Nu, certe ni volas ankaŭ kalkuli la ekliptikan latitudon β de tio interesa planedo, sed ĉi tio desegnaĵo estas en la ekliptika ebeno kaj tial ne eblas prezenti latitudon samtempe.

Estas multe da kalkulado por trovi rezultojn, eĉ se ni volas ke la metodo estu kiel eble plej simpla. Komputila programo nature estus preferinda al mana kalkulado, almenaŭ se oni volas atingi rezultojn por multaj objektoj kaj tempoj. Mana kalkulo tamen estas bona komenca punkto.

Ni bezonas la orbitajn elementojn, sed nia kalkulado komencas el la tempo por kio ni volas la rezultojn. JD estus la natura selekto, sed la libro uzas alian valoron.

Kiel mi skribis en la artikolo #463 por la Luno, uzas Duffett-Smith kiel tempo iom originale la valuon D, nombron de tagoj el epoko 1990. Ni ja jam bone kalkulas JD-valuojn (por 12h UT) kaj tial ni povas simple kalkuli la valuon D el la formulo:

 D = JD - 2447891,5 

Estas miaopinie ĝenerale iom tro multe da numeroj en la libro por la orbitaj elementoj. La metodo ja tamen kapablas produkti nur proksimumajn rezultojn kaj tial la precizeco de ekzemple milionono (0,000001 = 1 / 1000000) de grado en la elementoj ŝajnas iom troa. Miaopinie ekzemple precizeco de milono (0,001 = 1 / 1000) de grado en la elementoj estus jam tute sufiĉe.

Nu certe ekzemple por la orbita periodo Tp ni povas uzi iom multe da decimaloj, ĉar eble ni volas kalkuli eĉ por 1000 rondoj? Se estas nur 6 signifaj numeroj por la meza orbita ciklo de planedo, post 1000 rondoj en la rezulto povas esti nur 3 signifaj numeroj, ĉar tutaj rondoj de 360° ne rakontas la direkton. Por la internaj planedoj la cikloj ne estas tre akurataj.

Suncentraj orbitaj elementoj por la planedoj
por epoko 1990 Januaro 0.0
"Period" "Longitude at epoch" "Longitude of the perihelion" "Eccentricity of the orbit" "Semi-major axis of the orbit" "Inclination of the orbit" "Longitude of the ascending node"
Planedo Ciklo Longitudo dum epoko Longitudo de perihelio Elcentreco Meza distanco el Suno Inklinacio Longitudo de suprenira nodo
Tp [jaroj] ε ͠ω e a [AU] i Ω
Merkuro 0,240852 60,750646° 77,299833° 0,205633 0,387099 7,004540° 48,212740°
Venuso 0,615211 88,455855° 131,430236° 0,006778 0,723332 3,394535° 76,589820°
Tero 1,00004  99,403308° 102,768413° 0,016713 1,00000  --- ---
Marso 1,880932 240,739474° 335,874939° 0,093396 1,523688 1,849736° 49,480308°
Jupitero 11,863075 90,638185° 14,170747° 0,048482 5,202561 1,303613° 100,353142°
Saturno 29,471362 287,690033° 92,861407° 0,055581 9,554747 2,488980° 113,576139°
Urano 84,039492 271,063148° 172,884833° 0,046321 19,21814   0,773059° 73,926961°
Neptuno 164,79246  282,349556° 48,009758° 0,009003 30,109570 1,770646° 131,670599°

Por la planedo Tero ne eblas diri nek la longitudon de leviĝa nodo ( Ω ) nek la oblikvecon ( i ) de orbita ebeno, aŭ la valuojn pro la el ekliptiko diferenca orbita ebeno, ĉar la orbita ebeno de Tero senpere estas la ekliptiko. Nenia diferenco inter ekliptiko kaj ekliptiko.

Elcentreco de orbito estas nura rilatumo kaj tial sen propra unuo. Estas rilato inter du longoj. La elcentrecoj de planedaj orbitoj ja estas nur malgrandaj.

Jen la kalkula metodo

Unue ni volas kalkuli por la tempo D por la selektita planedo la valuon M, Meza anomaliangulo, angle la "Mean anomaly" kio estas en gradoj.

          360°        D
M  =  ------------ * ----  +  ε  -   ͠ω  
       365,242191     TP

La unua parto de formulo 360° / 365,242191 estas ja konstanto. Ni povas same bone uzi la praktike egalan valoron 0,985647356° kiel multiplikanto por D / TP

Ĉi tie ni uzas valuojn de orbitaj elementoj por la planedo. Ekzemple TP estas la tempo kiom daŭras por la planedo por cirkuli unu tutan rondon ĉirkaŭ la Suno (relative al distancaj steloj), mezurita en tropikaj jaroj.

La valuo M krude indikas la direkton de planedo en sia orbito kaj en sia orbita ebeno, se la planedo cirkulus tute ebene. Pro la ioma elcentreco de orbito ni tamen devas iom korektigi la angulon. Ni povas simple kalkuli la valuon "true anomaly" ν en gradoj, ĉar la elcentrecoj estas malgrandaj. Jen la (plej grava komenca parto de) fama "Equation of the centre":

           360°
ν  =  M + ----- * e * sin M
            π

Kie la valuo π en la dividanto estas la fama konstanto π = 3,141592654 ... kaj ni povus uzi la konstanton 360° / π = 114,591559° kiel multiplikanto, se la valuo de π ne estas facile havebla. Alternativo estus por solvi la ekvacion de Kepler, sed tion ni ne bezonas por proksimumaj rezultoj kiam la valuo de elcentreco de orbito ( e ) estas malgranda.

Mi tamen devas atentigi vin ke la supra tre simpla formo por la Ekvacio de centro per gradoj eble ne estas la plej bona. Ĝi ignoras ekzemple la terminojn de e2 kaj e3, kioj eble povas esti signifaj. Solvo por la Ekvacio de Kepler kredeble estus pli bona alternativo por trovi la angulon ν (greka litero "nu") se vi volas kalkuli kun la plej bona ebla precizeco.

Sekve ni kalkulu la suncentran longitudon de planedo: l = ν + ͠ω

La distanco de planedo el la Suno en astronomiaj unuoj (AU) estas:

       a * (1 - e2)
r  =  ---------------
       1 + e * cos ν

La samajn suncentrajn kalkuladojn ni bezonas ankaŭ por la Tero por la sama tempo D, por poste kalkuli la tercentran informon por la planedo. Ni do kalkulu por la Tero la suncentran longitudon ( L ) kaj la suncentran distancon ( R ). Ni uzas grandajn literojn ( L, R ) por la Tero kaj malgrandajn literojn ( l, r ) por la alia planedo, por respondaj suncentraj scioj.

Eble ioma korektigo por Jupitero & Saturno

Ni jam kalkulis la suncentran longitudon l por la planedo. Nun eblas iom plibonigi la longitudon por la gigantaj planedoj Jupitero kaj Saturno por kioj la perturboj estas iom grandaj.

La masivaj planedoj nome povas iom multe ĝeni unu la alian proksimume je intertempo de 20 jaroj kiam ili estas proksimume en la sama direkto el Suno. La pli rapida Jupitero atingas Saturnon kaj iom malrapidigas ĝin, samtempe mem iom rapidiĝante. Post la preteriro Saturno iom malrapidigas Jupiteron kaj Jupitero iom rapigidas Saturnon per sia gravita altiro.

Unue ni kalkulu el JD-valoro la valuon T kio estas en Juliaj jarcentoj post Januaro 0.5 de jaro 1900 (do por 0h UT)

        JD - 2415020,0
T  =  -----------------
           36525

Sekve ni kalkulu kelkaj helpaj valoroj

       T
A  =  ---  + 0,1
       5

P  =  237,47555° + 3034,9061° * T

Q  =  265,91650° + 1222,1139° * T

V  =  5 * Q - 2 * P

B  =  Q - P

Nun eblas kalkuli ioman korektigon Δl kion oni aldonu al la meza longitudo l ; ni do kalkulu novan valoron por la longitudo : l + Δl .

Por Jupitero:

Δl  =  (0,3314° - 0,0103° * A) * sin V 
      - 0,0644° * A * cos V

Por Saturno:

Δl  =  (0,1609° * A - 0,0105°) * cos V 
     + (0,0182° * A - 0,8142°) * sin V
      - 0,1488° * sin B 
      - 0,0408° * sin (2*B) 
      + 0,0856° * sin B * cos Q
      + 0,0813° * cos B * sin Q

Ŝajnas el la grandoj de supraj anguloj ke la influo al suncentra longitudo l povus esti proksimume eĉ unu gradon (pozitiva aŭ negativa). Plej granda efekto en tercentraj ekvatoraj koordinatoj eble proksimume 4 minutoj en rektascensio, ĉar estas analogaj anguloj 1 horo = 60 minutoj = 15 gradoj kaj tial 1 grado korespondas al angulo 4 minutoj en tempa mezuro.

Por kalkuli la ekliptikajn koordinatojn de planedo

Ni jam scias la suncentrajn valuojn de Tero kaj de la selektita planedo sur iliaj orbitaj ebenoj. Ni volas kalkuli la ekliptikajn koordinatojn por la planedo.

L  suncentra longitudo de Tero sur la ekliptiko
l  suncentra longitudo de la alia planedo sur sia propra orbita ebeno
R  distanco el Suno al Tero
r  distanco el Suno al la planedo

Unue ni projekciu la planedon el sia orbita ebeno al la ekliptika ebeno. Ni uzas inklinacion de orbito i kaj la longitudon de suprenira nodo Ω

ψ  =  arcsin ( sin( l - Ω ) * sin i )

Ni kalkulu la al ekliptiko projekciitajn valorojn de longitudo kaj distanco

l'  =  arctan ( tan ( l - Ω )  * cos i) +  Ω 
r'  =  r * cos ψ 

Nun mi tamen devas prezenti ioman korektigon por kalkulado de longitudo l' ĉar la supra formulo ne atentas pri la kvadranto de angulo de inversa tangento. Miaopinie la angulo l - Ω nome povas esti en kio ajn kvadranto ĉar la valuo de l povas esti kio ajn. Prefere oni uzu la iom alian formulon:

               sin ( l - Ω ) * cos i 
l' = arctan ( ----------------------- )  +  Ω
               cos ( l - Ω )  

Oni ja povas skribi:

              sin ( α )
tan ( α ) =  -----------
              cos ( α )

Oni pensu pri la inversa tangento kiel formulo:

           Y
arctan ( ----- )
           X

Se la denominatoro X estas negativa (X < 0), estas la rezulto rekte el simpla inversa tangento ne korekta, ĉar la angulo ne estas tiam en la unua aŭ kvara kvadranto (sed estas en la dua aŭ tria kvadranto). Tial oni en tia okazo aldonu 180° al la rezulto el simpla inversa tangento.

Sekve estas la metodo iom alia, depende de tio ĉu temas pri interna aŭ eksterna planedo. Ni kalkulu la ekliptikan longitudon λ por eksterna planedo kio estas pli distanca el Suno (r > 1) ol la Tero:

                R * sin(l' - L)
λ  =  arctan ( --------------------- )  +  l'
                r' - R * cos(l' - L)

Kaj por interna planedo kio estas pli proksima al la Suno (r < 1) ol la Tero estas la longitudo :

                           r' * sin(L - l')
λ  =  180° + L + arctan ( --------------------- )
                           R - r' * cos(L - l')

Longitudo λ ja apartenas al la intervalo 0 ... 360° kaj tial ni zorgeme pensu pri la kvadranto de angulo el inversa tangento. Simpla inversa tangento ja returnas angulon nur en intervalo -90° ... +90°, do al la unua kaj kvara kvadranto, sed fakte la angulo povas aparteni al dua kvadranto (anguloj 90° ... 180°) aŭ la tria kvadranto (anguloj 180° ... 270°).

Por ambaŭ la internaj kaj la eksternaj planedoj ni tamen kalkulas la ekliptikan latitudon β same:

                r' * tan ψ * sin(λ - l')
β  =  arctan ( ------------------------- ) 
                R * sin(l' - L)

Latitudo β ja estas ĉiam en intervalo -90° ... +90° kaj do en unua aŭ kvara kvadranto. Tial ni ne bezonas pensi pri la signoj de numeratoro kaj denominatoro. Simpla inversa tangento donas rekte la respondon.

Nu, kredeble ni volus ankaŭ scii la korelativajn ekvatoriajn koordinatojn, rektascensio α kaj deklinacio δ por povi ekzemple desegni la situon de planedo sur stela mapo (ekzemple por ekvinokso 2000.0).

Ĝenerala metodo por aliformi la koordinatojn

Ekzistus ja pli simpla metodo, sed la libro prezentas ĝeneralan metodon por uzi matricon por kalkuli koordinatojn en alia sistemo kaj mi nun preferas ĝin. Estas konvena se oni jam konas matricojn kaj vektorojn kaj povas ilin facile uzi. Eblas uzi la saman principon en aliaj aliformadoj de koordinatoj.

Kurte la ideo estas en matrica formulo w = E · v

Certe eblas kalkuli la produton matrico * vektoro ankaŭ mane, se oni tion volas. La vera ideo tamen estas por uzi kalkulilon kio kapablas kalkuli kun matricoj kaj vektoroj rekte.

Por aliigo de koordinatoj el ekliptika sistemo al ekvatora sistemo ni uzas la vektoron:

      |  x  |     |  cos λ * cos β  |
v  =  |  y  |  =  |  sin λ * cos β  |
      |  z  |     |      sin β      |

La rezulto estos en vektoro w el kio ni povas kalkuli la novajn koordinatojn rektascensio α kaj deklinacio δ :

      |  m  |
w  =  |  n  |  ;  α = arctan( n / m )  ;  δ = arcsin( p )
      |  p  |

La matrico por uzi estas:

      |  1     0        0     |
E  =  |  0    cos ε   -sin ε  |
      |  0    sin ε    cos ε  |

Por tio ni klare bezonas la valuon ε kio estas la meza oblikveca angulo de ekliptiko kontraŭ la ekvatoro.

Estu T = ( JD - 2451545,0 ) / 36525,0 en juliaj jarcentoj el 2000 januaro 1.5. Tiam estas:

ε  = 23° 26' 21,45" - 46,815" * T - 0,0006" * T2 + 0,00181" * T3 

Aŭ eble ni prefere kalkulu rekte en gradoj kaj decimaloj, anstataŭ angulaj minutoj (') kaj angulaj sekundoj ("):

ε  = 23,439292° - 0,013004° * T - 0,00000017° * T2 + 0,0000005° * T3 

Nu, por proksimumaj rezultoj oni certe povas ignori la lastajn terminojn kun pli altaj potencoj de T. Miaopinie milono (1/1000) de grado jam estas relative bona akurateco por la oblikveco de ekliptiko.

Jes, la ĝenerala metodo fakte estas iom tro granda por ĉi tio unuopa tasko. Tamen estas utila por lerni. Ideale oni povus uzi la ĝeneralan metodon ekzemple se ni devus kalkuli horizontaj koordinatoj por miloj da steloj por la sama tempo kaj loko. Eblas nome kalkuli unu matricon 3*3 kio enhavas ĉiujn la necesajn aliigojn de koordinatoj samtempe. Ni bezonas informon pri la tempo kaj pri la loko por kalkuli la matricon, sed oni bezonas nur unu multiplikon matrico * vektoro por transformi la ekvatorajn koordinatojn de stelo al horizontaj koordinatoj de selektita loko kaj tempo. La sama matrico validas por ĉiuj la steloj. Tiel komputila programo povus tre efekte kalkuli informon por loka stelmapo.


Kelkaj kalkulaj ekzemploj

La kalkulaj ekzemploj en la libro estas por tempo 22.11.1988 kiam estis D = -404 diurnoj , por Merkuro kaj Jupitero. Ni do povas komenci el D = -404

Por Merkuro estas Tp = 0,240852 tropikaj jaroj kaj ni unue kalkulu la komencon de Meza anomaliangulo:

         360°        D
Np = ------------ * ----  =  -1653,3038°        (DS: -1653,317550°)
      365,242191     TP

Ni aldonu 5 tutaj turnoj de 360° por ricevi la valoron en norma pozitiva intervalo 0 ... 360° : Np = 146,69618°

Mp = Np + ε - ͠ω  
   = 146,69618° + 60,750646° - 77,299833°
   = 130,14699°                                  (DS: 130,132370°)

En la teksto de Peter Duffett-Smith estas la valoroj iom aliaj, sed ni brave kontinuu sur nia propra pado. Eble li tamen uzis iom aliaj valoroj por la kalkulado? Estas ja nur 6 signifaj numeroj en la valuo TP por Merkuro kaj tial ni apenaŭ povos atendi pli ol 6 da korektaj numeroj en la rezulto. La plej malforta ringo determinas la fortikecon por la tuta ĉeno.

...

La libro kalkulis por Merkuro la tercentrajn ekliptikajn koordinatojn longitudo λ = 235,433344°, latitudo β = +0,106098° kaj ni uzu ilin por la aliformado al ekvatoraj koordinatoj. Estu la oblikveco de ekliptiko ε = 23,446236°. Ni uzu simple mane la iom bonan kalkulilon TI-nspire CX kio kapablas kalkuli rekte kun matrico kaj vektoroj:

235.433344 -> l              (longitudo)
0.106098 -> b                (latitudo)

| cos(l)*cos(b) |
| sin(l)*cos(b) | -> v       (vektoro)
|    sin(b)     |
 
23.446236 -> e               (oblikveco de ekliptiko)
sin(e) -> s
cos(e) -> c

|  1   0   0 |
|  0   c  -s | -> M          (matrico por kalkuli ekvatoriaj koordinatoj)
|  0   s   c |

M*v -> w                     (rezultoj)

La rezultoj en vektoro w de kalkulilo do estas:

|  -0.567364  |
|  -0.756212  |
|  -0.325948  |

Ni povas el tioj kalkuli sin-1(-0.325948) -> d la valuon δ = -19,023° kaj por rektascensio ni povus kalkuli tan-1(-.756212 / -.567364) -> a la valuon 53,1202°, sed por korekta kvadranto ni aldonu +180° kaj la rezulto estas α = 233,12° kaj en tempa mezuro 15,5413 horoj aŭ proksimume 15 horoj kaj 32,5 minutoj.

Fine la libro kalkulas por Merkuro la rezultojn rektascensio α = 15h 32m 29s, deklinacio δ = -19° 01' 07' kaj la altklasa "Astronomical Ephemeris" rakontas la veron α = 15h 29m 04s, δ = -18° 42' 39'

Por Jupitero la libro kalkulas por la sama dato kun baza metodo la rezultojn rektascensio α = 03h 56m 41s, deklinacio δ = +19° 22' 00' kaj kun la korektigo por perturboj α = 03h 57m 57s, δ = +19° 26' 03' kaj la tre respektata jarlibro "Astronomical Ephemeris" donas por Jupitero la kredeble plej korektajn valuojn α = 03h 57m 11s, δ = +19° 23' 36'

Nu, kion mi povas diri. Ioma eraro estas nepra kaj akceptebla en praktika kalkulado. La rezultoj tamen estas proksimume korektaj. Ekzemple Jupitero estas facila por nokte trovi sur la klara ĉielo se estas super horizonto.


Fine estas la celo por iom testi la rezultojn de kalkulado el la malnova svedlingva navigacia jarlibro "SVENSK SJÖFARTSKALENDER" el jaro 1972.

Ekzemple por Jupitero donas la navigacia jarlibro jenan informon por somero, por 07.07.1972, 12 horoj GMT

JUPITER GHA   193° 31,7'
        DEC  S 23° 16,2' (S por suda deklinacio)
Kaj samtempe estis:
ARIES GHA  105° 33,0'

Navigaciaj jarlibroj ja donas informon en iom alia formo, sed eblas ilin uzi, kiel ni jam antaŭe vidis. Horangulo de Greenwich certe estas bona informo, facila por kalkuli la lokan horangulon, sed nia metodo tamen produktas iom pli primitivan informon kaj ni bezonas la valuon ARIES GHA (kio fakte estas la sidera tempo sur la nula meridiano, do GST) por kalkuli tion pli primitivan informon por ĝin kompari.

La navigacia informo estas por tempo GMT, sed ni povas pensi ke estas por UT. Ni forigas la influon de terrotacio kiam ni kalkulas la rektascension el GHA kaj tial ni ne bezonas zorgi pri la mallonga tempa diferenco inter GMT kaj UT.

Ekzemple en artikolo #461 ni vidas la rilaton inter RA de objekto, horangulo de sama objekto kaj la loka sidera tempo. Sidera tempo kiel GST estas la horangulo de printempa ekvinokso, horloĝdirekte (okcidenten) el sudo, la medidiano. Rektascensio RA de objekto estas mezurita maldekstrumen el la direkto de printempe ekvinokso. Kaj la horangulon, ekzemple GHA, de objekto oni mezuras el meridiano horloĝdirekte.

Tial estas la sidera tempo por la sama objekto kaj la sama meridiano egala al la sumo de RA kaj horangulo. Ekzemple por la meridiano de Greenwich validas GST = GHA + RA kvankam RA kaj GHA de sama objekto kreskas al kontaŭaj direktoj.

La apuda bildo espereble klarigas la situacion inter la loka sidera tempo kaj la loka horangulo kaj rektascensio de sama ĉiela objekto. Ni pensu ke ni estas ie en la meridiano de Greenwich. Tial estas la sidera tempo GST kaj la horangulo GHA. Rektascensio RA de objekto ne dependas pri la loko de observanto.

Por ĉi tio kazo ni bezonas solvi la ekvacion por rektascensio: RA = GST - GHA por trovi la rektascension el la informo de navigacia jarlibro.

GHA  =  JUPITER GHA = 193° 31,7' = 193,5283°
GST  =   ARIES GHA  = 105° 33,0' = 105,5500°

RA = GST - GHA = 105,5500° - 193,5283° = -87,9783°

Klare ni volas returni la angulon de RA al la norma pozitiva intervalo 0 ... 360° kaj tial ni aldonas 360° kaj ricevos la rezulton RA = 272,022° kio estas en tempa mezuro proksimume 18,1 horoj. Estas ja la sama direkto. Ni fidu la informon de navigacia jarlibro. Kaj la dependebla deklinacio por Jupitero el la navigacia jarlibro estas δ = -23,27° (DEC)

Ĉi tioj do estas la korektaj rezultoj, α = 272,022°, δ = -23,27° sed ni ja volas kalkuli mem. Unue ni bezonas valuon por la tempa varianto D.

Ni uzu la metodon de artikolo #458 por kalkuli JD-valuon por la dato 07.07.1972, 12h UT

Y = 1972
M = 7
D = 7

int ( (M+9) / 12) = int ((7+9) / 12) =     1  --> p1
7 * ( Y + p1 )    = 7 * (1972 + 1)   = 13811  --> p2
int ( p2 / 4 )    = int (13811 / 4)  =  3452  --> p3
int ((275*M)/9)   = int ((275*7)/9)  =   213  --> p4

JD = 367 * Y - p3 + p4 + D + 1721014
   = 723724 - 3452 + 213 + 7 + 1721014
   = 2441506

Kaj el tio ni povas kalkuli la valuon por D, por 12h UT :

 D = JD - 2447891,5 
   =  2441506 - 2447891,5 
   = -6385,5

Ni ja kalkulas valuon D por la komenco de diurno laŭ UT-tempo, por 0h UT. Nova JD -diurno tamen komencas 12h UT kaj tial estas en la fino de D la duono: ",5".

Jen denove la orbitaj elementoj por nia propra planeda hejmo la Tero kaj la planedo Jupitero. Ni ja bezonas kalkuli por kaj Jupitero kaj Tero por fine kalkuli la tercentran informon por Jupitero.

Suncentraj orbitaj elementoj por Tero kaj Jupitero
por epoko 1990 Januaro 0.0
Planedo Periodo Longitudo dum epoko Longitudo de perihelio Elcentreco Meza distanco el Suno Inklinacio Longitudo de suprenira nodo
Tp [jaroj] ε ͠ω e a [AU] i Ω
Tero 1,00004  99,403308° 102,768413° 0,016713 1,00000  --- ---
Jupitero 11,863075 90,638185° 14,170747° 0,048482 5,202561 1,303613° 100,353142°

Sekve ni komencas kalkuli la Mezanomaliangulon por Jupitero, unue la parto Np kio varias rapide:

         360°        D                       -6385,5
Np = ------------ * ----  =  0,985647356° * ----------- =  -530,541297°
      365,242191     TP                      11,863075

Ni volas returni la angulon al la norma intervalo 0 ... 360°. Ni aldonu 2*360° kaj la rezulto estas Np = 189,458703°. Sekve ni kalkulu la Mezanomaliangulon:

Mp = Np + ε - ͠ω 
   = 189,458703° + 90,638185° - 14,170747°
   = 265,926141°

Sekve ni kalkulu ν el la "ekvacio de centro":

           360°
ν  =  M + ----- * e * sin M  
            π
   =  265,926141° + 114,591559° * 0,048482 * sin(265,926141°)
   =  260,384551°

Jam eblas kalkuli la proksimuman suncentran longitudon:

l = ν +  ͠ω  
  = 260,384551° + 14,170747°
  = 274,555298°

La distanco el Suno en astronomiaj unuoj estas:

       a * (1 - e2)
r  =  ---------------
       1 + e * cos ν

       5,202561 * (1 - 0,0484822)
   =  --------------------------------
       1 + 0,048482 * cos 260,384551°

       5,19033236
   =  ------------
       0,99190183

   =  5,232708 AU

Sekve ni kalkulu la korektigon pro perturbo por Jupitero. Unue la juliaj jarcentoj el 1900 kun la JD-valoro:

        JD - 2415020,0       2441506 - 2415020
T  =  -----------------  =  -------------------
           36525                  36525

   =  0,72514716

Nu, kredeble la julio de jaro 1972 estas proksimume 0,725 jarcentoj post la jaro 1900.

       T
A  =  ---  + 0,1  =  0,24502943
       5

P  =   237,47555° + 3034,9061° * T
   =  2438,22909°
   =   278,22909°   (en norma intervalo)

Q  =   265,91650° + 1222,1139° * T
   =  1152,12892°
   =    72,12892°   (en norma intervalo)

V  =  5 * Q - 2 * P
   = -195,81356°
   =  164,18644°    (en norma intervalo)

B  =  Q - P        (tion ni tamen ne bezonas por Jupitero)

La korektigo por la suncentra longitudo:

Δl  =  (0,3314° - 0,0103° * A) * sin V - 0,0644° * A * cos V
    =  0,0896214° + 0,0151827°
    =  0,1048041°

La korektigo do ne estas tre granda. La nova el perturboj korektigita suncentra longitudo de Jupitero do estas:

l  = 274,555298° + Δl 
   = 274,660102° 


Nu, ni tamen bezonas ankaŭ la informon por la Tero por poste kalkuli la tercentran informon por Jupitero. Do ni uzu la orbitajn elementojn de Tero:

         360°        D                       -6385,5
Np = ------------ * ----  =  0,985647356° * --------- =  -6293,59945°
      365,242191     TP                      1,00004

Tio angulo en norma intervalo estas Np = 186,400550° ; Sekve ni kalkulu la Mezanomaliangulon por la Tero:

Mp = Np + ε - ͠ω  
   = 186,400550° + 99,403308° - 102,768413°
   = 183,035445°

La efekto de elcentreco en la orbito:

           360°
ν  =  M + ----- * e * sin M  
            π
   =  183,035445° + 114,591559° * 0,093396 * sin(183,03545°)
   =  182,468713°

La suncentra longitudo por la Tero:

L = ν +  ͠ω  
  = 182,468713° + 102,768413°
  = 285,237126°

La distanco el Suno:

       a * (1 - e2)
R  =  ---------------
       1 + e * cos ν

       1,00000 * (1 - 0,0167132)
   =  --------------------------------
       1 + 0,016713 * cos 182,468713°

       0,9997207
   =  -----------
       0,9833025

   =  1,016697 AU


Ni do jam kalkulis la suncentrajn valorojn:

Por la Tero:
L = 285,237126°
R = 1,016697 AU

Por Jupitero:
l = 274,660102°
r = 5,232708 AU

Sekve ni komencu por kalkuli la tercentran informon por Jupitero

l - Ω = 274,660102° - 100,353142°
      = 174,306960°

ψ  =  arcsin ( sin( l - Ω ) * sin i )
   =  arcsin ( 0,0991989 * sin 1,303613° )
   =  0,129306°

l'  =  arctan ( tan ( l - Ω )  * cos i) +  Ω

tan ( 174,306960° ) * cos 1,303613° = -0,09966478
arctan(-0,09966478) = -5,691576°

Sed kio estas la kvadranto de ĉi tio angulo, ĉu la dua kvadranto?
Mi tamen kredas ke l' estu proksimume en la sama direkto kiel l

l' = 180° - 5,691576° + 100,353142° = 274,661566°

r'  =  r * cos ψ 
    =  5,232708 * cos 0,129306°
    =  5,232695 (AU)

Por la eksterna planedo ni kalkulas la tercentran ekliptikan longitudon:

l' - L  =  274,661566° - 285,237126° = -10,57556°

Tio angulo klare ne estas en norma intervalo,
sed estas en la korekta kvadranto kaj ni povas ĝin uzi 
en kalkulo, ĉar ĝi ne estas la fina rezulto.

                R * sin(l' - L)
λ  =  arctan ( --------------------- )  +  l'
                r' - R * cos(l' - L)


          1,016697 * sin(-10,57556°)                         -0,18659649
arctan ( -------------------------------------- ) = arctan ( ------------ ) = -2,523884°
          5,232695 - 1,016697 * cos(-10,57556°)               4,23326789

Nu mi kredas ke la angulo estas en la kvara kvadranto 
ĉar dividato (Y) estas negativa kaj dividanto (X) pozitiva

λ  = -2,523884° + 274,661566° = 272,137682°

La tercentra ekliptika latitudo:

λ - l' = 272,137682° - 274,661566° = -2,523884°

Ni povas uzi la angulon en kalkulo, kvankam ĝi ne estas en norma intervalo.

                r' * tan ψ * sin(λ - l')
β  =  arctan ( ------------------------- ) 
                      R * sin(l' - L)

                5,232695 * tan( 0,129306° ) * sin( -2,523884° )
   =  arctan ( ------------------------------------------------  )
                         1,016697 * sin(-10,57556°)

                -0,00052003
   =  arctan ( ------------- )
                -0,18659649

   =  +0,159678°

Problemo pri kvadranto ja ne eblas kun la latitudo, ĉar latitudo estas ĉiam en intervalo -90° ... +90° kaj por planedoj fakte ĉiam iom proksima al nulo.

Ni jam vidas el la ekliptikaj koordinatoj ke la ekvatoraj koordinatoj de Jupitero estus proksimume RA = 272° kaj DEC = -23° ĉar Jupitero estas preskaŭ kiel eble plej sude el ekvatoro sur sia orbito. Deklinacio do estas proksimume la sama kiel la oblikveco de ekliptiko kiel negativa angulo.

Ni kalkulu la oblikvecan angulon inter ekvatoro kaj ekliptiko ( ε ) ; Unue T en juliaj jarcentoj el 2000 januaro 1.5

       JD - 2451545,0
T  =  ----------------  =  -0,2748528
          36525,0

ε  =  23,439292° - 0,013004° * T - 0,00000017° * T2 + 0,0000005° * T3 
   =  23,442866°

Sekve ni solvu la korespondajn ekvatorajn koordinatojn kiam la ekliptikaj koordinatoj de Jupitero estas:

λ  =  272,137682°
β  =   +0,159678°

Mi uzas la evoluintan kalkulilon kaj multiplikas vektoron per matrico same kiel antaŭe. La kalkulo m * v -> w fine produktis la vektoron:

|  0,037301 |
| -0,917924 |
| -0,394999 |

El la lasta valuo de vektoro ni povas solvi la deklinacion δ = arcsin(-0,394999) = -23,266°

La du unua valuoj estas X kaj Y de arctan( Y / X ) kaj la valuo X do estas pozitiva. Ni solvas la rektascension α = arctan ( -0,917924 / 0,037301 ) = -87,673° kio estas en korekta kvadranto, la kvara kvadranto, sed ni prefere prezentu la rezulton en norma intervalo: α = -87,673° + 360° = 272,327°

Post iom longa, al eraroj submetita kaj tedia kalkulado ni do povas kompari la kalkulitan rezulton al la informo el navigacia jarlibro:

             Rektascensio   Deklinacio
Jarlibro     272,022°       -23,270°
Kalkulita    272,327°       -23,266°

Ni povas konstati ke eraro en rektascensio estas proksimume 0,3° kaj eraro en deklinacio nur malgranda, kio ne estas tre malbona rezulto. Espereble mi fine sukcesis kalkuli mane sen grandaj eraroj. Mi ja uzis iom multe da decimaloj dum la kalkulado, sed fine tamen estas nur 3 aŭ 4 korektaj numeroj en la rezulto. Eble la rezulto tamen povus esti iom pli akurata? Ni ja kalkulis eĉ la plej grandajn perturbojn.

Mi ankoraŭ ne scias certe, sed mi povus diveni ke la kalkulita rezulto estus por la ekvinokso de epoko 1990.0 kion la libro de Peter Duffett-Smith uzas. La navigacia jarlibro certe uzas ekvinokson de koncerna tago (proksimume 1972.5). Estas diferenco de proksimume 18 jaroj inter 1972 kaj 1990, kio signifas diferencon de 0,25° en la direkto de printempa ekvinokso. Tio angulo klarigus grandan parton de tio eraro 0,3° en rektascensioj, se la ekvinokso de libro vere estas la sama kiel la epoko. Mi kredas ke la direkto de printempa ekvinokso movas proksimume 50 sekundoj de arko dum jaro horloĝdirekte kaj rektascensio ja kreskas al la kontraŭa direkto, maldekstrume. Tial estas la RA de jaro 1990 proksimume 0,25° pli granda ol la RA de 1972 por la sama objekto. Se mia diveno pri la ekvinokso estus korekta, estus la eraro en RA nur kelkaj centonoj de grado (en kategorio c * 0,01°), kio certe estus tre kontentiga rezulto.

Nu, tamen ĉiam okazas iom da eraro (neprecizeco) en praktikaj kalkuloj. Oni devas kapabli vivi kun eraroj se ili estas sufiĉe malgrandaj. Ni ankoraŭ ne havas la finajn rezultojn. La ĵurio ankoraŭ konsideras la verdikton. Kaj jes, komputila programo certe estus pli bona laborilo por trovi la rezultojn ol mana kalkulado.

Principe ni devus uzi ET anstataŭ UT por la tempa varianto D. Tiam estis proksimume ΔT = ET - UT = 40 sekundoj (de tempo) sed tia malgranda diferenco en tempo apenaŭ povus kaŭzi la diferencon en rektascensioj.


Ioma kritiko por la ĉarma libro

La metodo de Peter Duffett-Smith por planeda kalkulado estas iom alia ol la metodoj de Jean Meeus kaj Oliver Montenbruck por la sama intenco. Certe mi ŝatas la libron, sed kelkaj aferoj tamen povus miaopinie esti pli bone.

Por projekcii la lokon de planedo al ekliptiko la libro donas la sekvantan formulon:

l'  =  arctan ( tan ( l - Ω )  * cos i) +  Ω 

Tia inversa tangento tamen miaopinie estas iom problemhava. Prefere mi skribus la inversan tangenton ĉi tiel:

                                               sin (l - Ω) * cos i
arctan ( tan ( l - Ω )  * cos i)  =  arctan ( --------------------- )
                                               cos (l - Ω) 

Kiam ekzistas dividato (Y) kaj dividanto (X) por la inversa tangento, eblas kontroli la signojn kaj decidi la korektan kvadranton por la rezulto. Ni povas pensi pri la inversa tangento en formo arctan ( Y / X )

Se estas nulo (0) la dividanto X, oni ne kalkulu la dividon Y/X. Tiam estas la rezulto +90° se dividato Y estas pozitiva (Y>0) kaj rezulto estas -90° se dividato Y estas negativa (Y<0).

Norme la inversa tangento returnas la angulon por kvadrantoj I kaj IV, pozitivaj anguloj al kvadranto I kaj negativaj al kvadranto IV. Se la dividanto X estas pozitiva, la rezulto rekte el inversa tangento estas korekta. Se tamen estas negativa la dividanto X (X<0), la angulo fakte apartenas al kvadrantoj II aŭ III, kaj oni aldonu 180° al la rezulto por korektigi la kvadranton de angulo.

Kurta admono por kalkuli la inversan tangenton arctan( Y / X ) :

Norma inversa tangento ne kapablas returni la angulon korekte por kvadrantoj II kaj III. Tial ni bezonas kontroli la valuon X en la formulo arctan (Y / X)

Ekzemple angulo 135° havas la saman valuon de tangento (-1) kiel la angulo -45° ; tan(135°) = tan(-45°). Simpla inversa tangento returnas nur la angulon -45° ; arctan(-1) = -45°. Ekzemple la angulo 225° havas la saman valuon de tangento (+1) kiel la angulo 45°, ( tan(45°) = tan(225°) ), kaj simpla inversa tangento returnas nur la angulon 45° ; arctan(+1) = 45°.

En la supra ekzemplo ni ja havis la formulon kaj la valuojn:

l - Ω = 174,306960°
i     =   1,303613°

l'  =  arctan ( tan ( l - Ω ) * cos i) +  Ω

Ni tamen prefere unue solvu la formulon:

          sin ( l - Ω ) * cos i                  +0,09917320
arctan ( ----------------------- )  =  arctan ( ------------ )
          cos ( l - Ω )                          -0,99506763

Jen klare estas la numeratoro (Y) pozitiva kaj la denominatoro (X) negativa. Tial la angulo apartenas al la dua kvadranto, kie estas la anguloj en intervalo 90° ... 180°. Tial ni aldonu 180° al la rezulto el la simpla inversa tangento.

arctan(-0,09966478) + 180° = 180° - 5,6915762° = 174,308424°

Averto por programistoj: Se la angulo estus en la unua aŭ la kvara kvadranto, estus la origina simpla formulo tute bona. Tiam oni ne observas la eraron. La angulo tamen povas same bone esti en la dua aŭ tria kvadranto kaj tiam oni kalkulas erare se oni ne atentas pri la korekta kvadranto.

Ĉiu programisto devus havi en la programaj laboriloj inversan tangenton kio returnas la angulon en intervalo 0 ... 360° (aŭ almenaŭ en la intervalo -90° ... +270°). Tiaj anguloj estas ekzemple longitudo kaj rektascensio. Por anguloj en intervalo -90° ... +90°, kiel ekzemple deklinacio kaj latitudo, oni povas uzi la norman inversan tangenton rekte.

Jen en pseŭda lingvo programo kio returnas angulon en intervalo 0 ... 360°

FUNKCIO arctan2 ( numeratoro, denominatoro )
   ESTU Y = numeratoro
   ESTU X = denominatoro

   SE X == 0
      SE Y >= 0
         ESTU rezulto = +90°
      ALIE                             (estas Y < 0)
         ESTU rezulto = -90°
      SE FINO
   ALIE                                (X ne estas 0)
      ESTU rezulto = arctan ( Y / X )
      SE X < 0, ESTU rezulto += 180°
   SE FINO

   SE rezulto < 0, ESTU rezulto += 360°
FUNKCIO FINO

Se oni volas ke la funkcio returnu angulon en intervalo -90° ... +270°, oni ignoru la lastan komandon. La negativaj anguloj estas en korekta kvadranto se norma intervalo por angulo estas 0 ... 360°. Nature oni tamen neniam provu redukti al pozitiva intervalo angulon kio apartenas al intervalo -90° ... +90°, ekzemple deklinacion.



Unu ebleco por plibonigi la rezulton klare estus por solvi la faman ekvacion de Kepler en programa lopo, la valuon de angulo E el la formulo:

E - e * sin E = M

Unua konjekto por la valuo de E estus E = M (en radianoj) kaj kiam la korektigoj de E en lopo en ripetaj solvoj de la ekvacio fariĝas sufiĉe malgrandaj, vi solvu la "veran anomalion" ν kun la fina valuo de E el la formulo ( La eksponanto 1/2 signifas kvadratan radikon ):

       ν           1 + e                E
tan ( --- )  =  ( ------- )1/2 * tan ( --- )
       2           1 - e                2

La kalkula lopo por solvi la valuon de angulo E ja ne estas tre konvena por mana kalkulado, sed komputila programo rapide trovas la rezulton.

Cetere la tiel nomitaj "anomalioj", kiel la "vera anomalio", ne estas vere speciale anomaliaj. Por la kalkula metodo ili estas simple normaj necesaj anguloj.

Tamen oni povus alternative uzi pli akuratan formon de Ekvacio de centro. La libro ja uzis gradojn por kalkuli tre simple:

           360°
ν  =  M + ----- * e * sin M
            π

La angulo de Peter Duffett-Smith ( 360 / π ) = 2 * ( 180 / π ) ja egalas al 2 radianoj. Se ni kalkulas en radianoj, estas la sama formulo tre simpla:

ν  =  M + 2 * e * sin M

Estas grave por uzi radianoj en la formulo ĉar la senunua valoro e "fariĝas angulo" dum la kalkulado kaj la natura angula unuo estas radiano. Tamen la pli akurata formo por la Ekvacio de centro (anguloj en radianoj) estas:

                    e3      5                       5           11
ν  =  M + ( 2*e  - ---  + ---- * e5 ) * sin M +  ( --- * e2  - ---- * e4 ) * sin (2*M)
                    4      96                       4           24

         13           43                          103
    + ( ---- * e3  - ----- * e5 ) * sin (3*M)  + ----- * e4 * sin (4*M)
         12           64                           96

       1097
    + ------ * e5 * sin (5*M)
        960

Jean Meeus skribis ke oni povas ignori la terminojn kun e4 kaj e5 se la valuo de elcentreco de orbito e estas tre malgranda. Peter Duffett-Smith tamen ignoris eĉ la valuojn de e2 kaj e3 kaj la elcentreco de Jupitera orbito eble ne estas tre malgranda.

Nu, tre eble mi selektus solvon de Keplera ekvacio por komputila programo. La pli bona formo de Ekvacio de centro ne estas tre alloga. Fakte mi nun pensas ke la multe tro simpla formo por la Ekvacio de centro kredeble estas grava fonto por relative granda eraro en la komenco de kalkulado.

Oni prefere kalkulu la Ekvacion de Kepler en radianoj. Se r kaj g estas la sama angulo en radianoj kaj gradoj, egalas ja:

     180
g = ----- * r  = 57,2957795 * r  (g en gradoj)
      π

      π
r = ----- * g  = 0,01745329 * g  (r en radianoj)
     180

Kie estas la fama konstanto π = 3,141592654... kaj angulo 180° egalas al π radianoj. Do egalas ekzemple angulo de unu radiano proksimume 57,2957795°.

Nu, se ni ignoras e4 kaj e5, estas la formulo por ν multe pli simpla por kalkuli, jena:

                    e3               5    
ν  =  M + ( 2*e  - --- ) * sin M  + --- * e2 * sin (2*M)
                    4                4        

        13             
    +  ---- * e3 * sin (3*M)  
        12                      

Sed kiom estas la diferenco de rezulto al la plej simpla formulo? Ni ja kalkulis por Jupitero Mezanomaliangulon M = 265,926141° kaj por Jupitero estas e = 0,048482. En radianoj estas la sama M = 4,64128673 radianoj. Ni kalkulu kun e2 kaj e3.

La rezulto de nova kalkulado estas ν = 4,54513321 radianoj kio egalas al 260,416950°. La sama rezulto el la pli simpla formulo estis 260,384551° kaj la diferenco en valuoj de ν estas 0,032399°. Nu, mi povas konstati ke la diferenco ne estas tre granda. Eraro en RA estis 10-foja kaj Jupitero estas iom distanca. Eble la kalkulado de Ekvacio de centro tamen ne estas tre signifa fonto de eraro?

Eble oni tamen volas solvi la ekvacion de Kepler ( E - e*sin E = M ) ; Jen la algoritmo de Peter Duffett-Smith en ia pseŭda lingvo:

ESTU ε = 10-6   ( = 0,000001 radianoj) ; la esperita precizeco
ESTU unua konjekto E = M (en radianoj)
LOPO
   ESTU δ = E - e*sin E - M

   SE ESTAS |δ| < ε FORLASU LOPON

                   δ
   ESTU ΔE = -------------
              1 - e*cos E

   ESTU nova valoro por E = E - ΔE
LOPO FINO

Post lopo E estas la solvo kaj el tio oni solvu la angulon ν

La |δ| signifas la absolutan valoron de varianto δ kaj ĝi do ĉiam estas nenegativa (nulo aŭ pli granda, >= 0).



Min iom ĝenas la originala metodo por kalkulado de Mezanomaliangulo. Jean Meeus ne kalkulas ĉi tiel. La libro de Peter Duffett-Smith ja donas la formulon:

          360°        D
M  =  ------------ * ----  +  ε  -  ͠ω  
       365,242191     TP

Ni rigardu la unuan parton Np:

         360°        D            
Np = ------------ * ----  
      365,242191     TP   

Prefere mi skribus la formulon ĉi tiel:

             D            
Np = -----------------  *  360°  
      365,242191 * TP   

La denominatoro kredeble estas en tagoj. Unue estas longo de tropika jaro en diurnoj kaj due la periodo en tropikaj jaroj. La tabelo de orbitaj elementoj tamen ne donas la longon de TP kun 9 numeroj. Ekzemple por Merkuro estas nur 6 signifaj numeroj. Dum 250 jaroj Merkuro cirkulas proksimume 1000 rondoj ĉirkaŭ la Suno. Tiam estas nur 3 signifaj numeroj en la rezulto. Tutaj turnoj nome ne rakontas la direkton de planedo, nur la parto en intervalo 0 ... 360° estas utila. Ni klare povus deziri pli da signifaj numeroj por la rezulto kaj tial ankaŭ en la produto 365,242191 * TP kie la kalkulado komencas. Eraro en komenco ne resaniĝos en la rezulto poste.

Certe la periodoj estas nur mezaj periodoj kaj ili iom varias, sed por tia metodo oni miaopinie bezonus pli akuratan mezan valoron. Fakte la Mezanomaliangulo eĉ ne kreskas tute rektlinie kun la tempo.



Fakte la orbitaj elementoj ne estas konstantoj, sed iom varias dum tempo. Estas ja klare ke kiel eble plej akurataj rezultoj ne eblas kiam oni uzas konstantaj oribitaj elementoj. La rezultoj klare povas esti nur proksimumaj. Cetere por mi estas neklare kio estas la ekvinokso de rezultoj, ĉu la epoko 1990? La rezultoj nepre estas iom neakurataj, sed mi tamen volus testi la rezultojn por iom longa tempo. Nature tio eblas nur kun komputila programo. Mi volus trovi la limojn de eraroj.

Unu ebleco por testi planedan kalkuladon por iom distancaj tempoj estas "The 200 year ephemeris, 1800 to 2000 inclusive" de Hugh MacGraig el jaro 1949. La efemerido estas astrologia (kaj ne astronomia), sed uzebla. Astrologiaj kalkuloj ne estas tute eraraj. Mi diras nenion pri interpretoj kaj prognozoj en horoskopoj. Min interesas nur la direktoj de planedoj kaj laŭ miaj spertoj la numeroj en astrologiaj efemeridoj estas esence korektaj.

Kiel vi vidas el la paĝo por jaro 1800, oni bezonas ioman interpreton (simboloj de planedoj kaj la ekliptikaj longitudoj de zodiakaj signoj), sed mi kredas ke la informo estas dependebla. Ekliptika longitudo kaj latitudo je precizeco de unu grado ne estas tre bona, sed aliflanke ±½° ne estas tre malbone en praktiko. Kredeble valida por la ekvinokso de koncerna tago. La rezultoj estas por la meztago de Greenwich meridiano, do proksimume por 12 horoj UT.

Dum 190 jaroj la diferenco en ekvinoksoj estas proksimume 2,65° al certa direkto kaj tial mi opinias ke tia kalkulado povus rakonti ĉu la ekvinokso de rezultoj el la libro de Peter Duffett-Smith estas por epoko 1990 aŭ por la ekvinokso de koncerna tago. Ekzemple por Jupitero mi atendas pli malgrandan kalkulan eraron ol 2°. Meza eraro el multaj kalkuloj povas rakonti la veron. Se estas diferenco en rezultoj por jaro 1800 pli ol 2° al la sama direkto, do kredeble estas la kalkulitaj rezultoj por la ekvinokso 1990. Se la kalkulitaj rezultoj estas esence la samaj kiel la informo en la libro por jaro 1800, do estas la kalkulitaj rezultoj por la ekvinokso de koncerna dato.



Fine mi ne povas ne helpi por rakonti ion amuzan pri 180 gradoj. En televidilo estis Aŭstralia seria programo pri 'Murdoj kaj "County" -muziko'. Ilia iom amuza patologistino el orienta Eŭropo imagis ke ŝi estus tre scienca kaj inteligenta persono. Foje ŝi klarigis la rezulton de io kalkula metodo. Ŝi diris ĉi tiel: "If in doubt, add pi", esperante proksimume "Se vi estas necerta, aldonu pi". En streĉaj agadplenaj filmoj oni ja povas konsili: "If in doubt, KILL!"

Nu, angulo de π radianoj estas ankaŭ egala al 180°. Mi miras ĉu eble temas pri inversa tangento kaj la problemo de korekta kvadranto? Eble la korekta kvadranto de angulo el inversa tangento estas iom malfacila temo ankaŭ por patologistinoj?

Programistoj norme preferas por kalkuli angulojn per radianoj, ĉar radiano estas la natura angula unuo kaj eblas kalkuli iom pli efekte ol kun gradoj. La angulaj rezultoj tamen norme estas pli facilaj por kompreni kaj kontroli se ili estas en gradoj, same kiel en niaj manaj kalkuloj ĉi tie.



Do, provizore restas ioma mistiko en la metodo. Mi tute ne diras ke la libro de Peter Duffett-Smith estus malbona. Kelkaj aferoj tamen indas kontroli kaj kompreni pli detale. Ĉi tio ne estas vera scienco, sed povas esti utila kalkula scipovo por ordinaraj civitanoj. Ni ja volas trovi bonan kaj simplan metodon. La solvo ankoraŭ ne estas preta, sed la vojaĝo de lernado kontinuas al pli bona estonteco. Indas batali kaj prilabori. Mi kredas ke mi poste revenos al la sama temo.

Kaj certe fine .......... NI VENKOS!

La Ambasadoro en Finnlando
de sendependa nacio
Mueleja Insulo


Menuo
Ĉefa paĝo (finna lingvo)