| << | #403 ; Simpla spegula teleskopa optiko restos nia celo |
>> |
Mi klare provizore spertis iomaj problemoj en bona interpretado de iom nenecese ĝeneralaj matematikaj formuloj (intencitaj ankaŭ por lensoj) de libro "Telescope Optics" en antaŭa artikolo #401. Ni tamen neniam kapitulacios. La sankta batalado kontinuos. Ion belan tagon ni venkos la malfacilaĵojn.
Certe mi volas plibonigi mian komprenon pri la koncerna praktika kalkula matematiko. Tial mi profunde lernu la matematikan bazon de kalkulado.
La matematiko por hakitaj konusoj estas por mi grava, ĉar la distranĉoj de normaj teleskopaj speguloj estas ĝuste hakitaj konusoj. En la apuda foto pri la nomita libro ni vidas diversaj hakitaj konusoj.
Min plej multe interesas nur simpla sfera spegulo kies distranĉo estas parto de cirklo. Parabola spegulo konate estus pli bona por rekta lumo proksima al la optika akso, sed mia ideo estas ja utiligi la tutan surfacon de spegulo per iom al optika akso oblikva lumo kaj por tio kazo la parabola spegulo kredeble ne estus kiel eble plej bona.
Spegula optiko estas por teleskopo pli simpla por konstrui ol lensa optiko. Spegulo reflektas tute same ĉiujn kolorojn de videbla lumo kaj eĉ la por homa okulo nevideblan IR-lumon. La perdoj de lumo estas kiel eble plej malgrandaj en unu bonega spegulo. Bona lensa optiko postulas multaj bonaj lensoj. Tial mi ne uzos por teleskopo lensojn. Mi uzos nur unu simplan spegulon.
Do mi bezonas pensi nur pri sfera spegulo. Okularion mi ne bezonos por ĉi tiu malgranda astronomia teleskopo, ĉar la ideo estas nur por foti per HQ-fotilo, ion belan tagon ... aŭ prefere nokton.
La celo estas kiel eble plej simpla kaj facila metodo por kalkuli reflekton de lumo el "malrapida" ( ekzemple D/f = 1/10 kaj do la diametro de spegulo estas D = f/10 ) sfera spegulo al HQ-fotilo, por produkti utilan "Spot Diagram" per komputila programo por taksi la kvaliton de spegulo. Mi komencos el bazaj kalkuladoj por sfera spegulo.
Unu centre grava afero por sfera spegulo estas la "sagitta" z, kion oni povas kalkuli per formulo z = r - (r2 - h2)1/2 kie mi prezentas kvadratan radikon per la eksponento ½ (duono).
La apuda - kvankam iom troiga, nur principa - desegnaĵo pri distranĉo de sfera spegulo kredeble iom bone klarigas la uzitajn terminojn.
La valuo r estas la radiuso de kurbeco de surfaco por la sfera spegulo, do la sama ol la radiuso de cirklo en la distranĉo.
La valuo h estas la perpendikla (en bildo vertikala) distanco el optika akso kaj centro de spegulo al certa selektita punkto en la surfaco de spegulo.
La "sagitta" z do estas en la bildo la horizontala distanco el centro de spegulo al la sama certa selektita punkto de spegula surfaco. Spegulo ja estas tute simetria ĉirkaŭ la optika akso.
Baza matematiko ja rakontas ke por la ortangula triangulo validas r2 = h2 + (r - z)2 kaj sekve validas ankaŭ r2 = h2 + r2 - 2rz + z2 ...
... kvankam mi ankoraŭ ne kapablas mem detale motivi la gravan formulon z = r - (r2 - h2)1/2 ...
La selektita punkto ja povas situi kie ajn en la surfaco de spegulo, ne nur ĉe la rando de spegulo. Por la centro de spegulo klare estas h = 0, z = 0 sed plejparte ni volas uzi la formulon por la pli distancaj lokoj kioj kredeble kaŭzos pli grandaj eraroj.
Nu, pardonon. Kiom stulta povas homo esti!
Oni ja tre facile trovas la solvon por la longo de "sagitta", uzante nur bazan matematikon:
r2 = h2 + (r - z)2 # Pythagoras (r - z)2 = r2 - h2 r - z = ( r2 - h2 )1/2 z = r - ( r2 - h2 )1/2
Tute simple!
Iom alia afero, la "direction cosines" kiojn oni uzas por kalkuli la vojon de lumradio.
Nature ni devas bone kompreni la direkton de lumo. Por tio celo ni rigardu la sekvantan simplan bildon en la 2-dimensia ZX-ebeno. Nu, mi desegnis ankaŭ akson por Y, sed ni pensu nun nur pri Z kaj X kaj ni tute ignoru Y. Do estu Y = 0 provizore.
La lumo iras plejparte al direkto Z. Jen la lumo tamen veturas iom suben tiel ke la X-koordinato estas negativa.
Ni pensu pri la ortangula triangulo kaj pri la angulo a . Ni pensu lumon kiel vektoro kies longo estas 1, kiel nura unuo. Baza trigonometrio rakontas ke la longo de vektoro en la Z-direkto estas 1*cos(a) aŭ simple cos(a) kaj la longo en la negativa X-direkto estas sin(a) .
Ni pensu pri la alia angulo β. Egalas a + β = 90° ĉar la anguloj estas partoj de sama ortangulo. Tial ni povas konstati ke la longo de vektoro en la negativa X direkto estas cos(β)
Temas do pri "direction cosines" kiuj simple priskribas la veturadon de lumradio en la direktoj Z, X, Y. La koordinato Z estas samdirekta kun la optika akso de spegulo.
La koordinatojn X kaj Y ni povas uzi por punktoj en la surfacoj kiuj estu (pli-malpli?) perpendiklaj al la optika akso de objektivo. La tuta surfaco de sfera spegulo certe ne estas perpendikla al la optika akso, sed ni povas pensi ke ekzistas io perpendikla surfaco kie io certa selektita punkto de spegula surfaco situas.
Nu, pli bone ni unue pensu pri la anguloj kun la horizontala X-akso kaj la vertikala Y-akso.
La vektoro estu V kaj la longo estu 1. La projekcio de V al la ZX-ebeno estu nomita px kaj la projekcio al la ZY-ebeno estu nomita py. Angulo a estas la horizontala angulo el X-akso, pli ol 90° en la bildo. La angulo b estas la vertikala angulo el Y-akso, pli ol 90° en la bildo.
cx = cos(a) cy = cos(b)
Ni volas ke la longo de V estu unu kaj cz estu la longo de ankoraŭ nekonata Z-komponento, do validas:
cx2 + cy2 + cz2 = 12 = 1 cz2 = 1 - cx2 - cy2 cz = ( 1 - cx2 - cy2 )1/2
Ekzemple estu la horizontala angulo a = 90° + 30° = 120° kaj la vertikala angulo estu b = 90° + 20° = 110°
La du unuaj "direktaj kosinoj":
cx = cos(a) = cos(120°) = -0,50000 cy = cos(b) = cos(110°) = -0,34202
Ambaŭ la valuoj do estas negativaj kaj ni ja vidas el la bildo ke la X- kaj Y-komponantoj estas direktitaj al la alia direkto el la pozitivaj X- kaj Y-aksoj. Klare kaj la X- kaj la Y-koordinatoj do malkreskas kiam la vektoro antaŭeniras dekstren, al pli grandaj Z-valuoj.
Fine ni kalkulu la ankoraŭ nekonatan Z-komponenton de vektoro:
cz = ( 1 - cx2 - cy2 )1/2
= ( 1 - 0,52 - 0,342022 )1/2
= ( 1 - 0,25 - 0,11698 )1/2
= ( 1 - 0,366978 )1/2
= (0,63302)1/2
= 0,795627
La Z-komponanto ja estas pozitiva, la vektoro veturas al la direkto de pozitiva Z-akso.
Ni povas ankoraŭ testi ke vere pravas cx2 + cy2 + cz2 = 1
cx2 + cy2 + cz2 = (-0,50)2 + (-0,34202)2 + (0,795627)2 = 1,000000
Kaj kredeble la kalkulo do estis korekta.
Kaj certe fine .......... NI VENKOS!
| La Ambasadoro en Finnlando de sendependa nacio Mueleja Insulo |