<<

#401 ; Malnovaj ĉarmegaj iluzioj neniam mortos

>>

Ekzemple en artikolo #385 mi menciis mian malnovan revon pri propra astronomia teleskopo, prefere kun memkonstruita optiko. Ian principan desegnaĵon pri la reva teleskopo kun stativo vi vidas en malnova artikolo #306. La ideo ja estas por uzi teleskopon kiel objektivo de fotilo. Klare la nunaj cirkonstancoj de vivo ne estas la plej oportunaj por utile uzi astronomian teleskopon, sed eble ankoraŭ ion belan tagon (aŭ nokton) estus la loka ĉirkaŭaĵo pli favora?

Mi posedas principe bonan libron "Telescope Optics, Evaluation and Design", skribintoj Harrie Rutten & Martin van Venrooij, unue publikigita 1988 kiam la modernaj elektronikaj fotiloj por hobistoj kaj amatoroj de astronomio ankoraŭ estis tre juna ideo. La libro do estis intencita por tradiciaj fotografiaj filmoj. La grajnoj de fotografia filmo tamen estas iom grandaj kompare al la rastrunuoj de norma nuna elektronika fotila lumsensilo.

La diametro de malgranda grajno sur fotografia filmo nome povas esti proksimume 0,025 mm = 25 μm, sed la rastrunuoj de fotila sensilo estas ekzemple nur proksimume kvadratoj de grando 1½ µm × 1½ µm. Sekve sistemo sufiĉe bona por foti sur fotografia filmo tute ne estas ideala por foti kun moderna elektronika fotilo. La celo ja ne estas por foti la erarojn de optika sistemo. Optikaj eraroj de teleskopo estu tiel malgrandaj ke ili apenaŭ estas videblaj en la fina foto.

Mia vizio estas por uzi la HQ-fotilon - ion belan tagon - sed mi tamen ne bezonas nepre uzi la tutan talenton de HQ-fotilo, ĉiujn la 4056 × 3040 rastrunuojn sur la areo de sensilo 6,287 mm × 4,712 mm. Por mi estus tute sufiĉa ekzemple distinga kapablo en foto 1024 × 760 da rastunuoj. Tia kredeble estos la rezulto se oni uzas 4 × 4 da rastunuoj de fotila sensilo por nur unu rastrunuo en la fina foto.

La rastrunuoj de HQ-fotilo estas kvadratoj 1,55 µm × 1,55 µm kaj 4 × 4 da ili estus proksimume 6,2 µm × 6,2 µm kio pardonas iom pli multe da optika neperfekteco por la fotila objektivo. Klare ankoraŭ pli severa postulo por la kvalito de optika sistemo ol kion la fotografia filmo proponas, sed 8 × 8 da rastunuoj de sensilo signifus por la fina foto diferencan kapablon 507 × 380 - ankoraŭ iom granda por mia modesta uzo - kaj la rastrunuoj en la fina foto estus 12,4 µm × 12,4 µm, kio kredeble estus pli facile atingebla per bona optika sistemo.

Apude ni vidas iom da enhavo de menciita libro. La granda optika ideo estas "Ray-tracing". Oni povas sekvi la vojon de multaj lumaj radioj tra optika sistemo per komputila programo kaj fine konstrui grafikan prezentadon pri la rezulto sur la surfaco de sensilo de fotilo.

Por astronomio ni volas foti ekzemple stelojn, kioj estas praktike nur etetaj punktoj de lumo. Do oni povas atingi iom bonan komprenon pri la optika kvalito de sistemo per relative malmultaj lumaj radioj.

Maldekstre ni vidas la grafikon "Spot Diagram" por io relative malgranda diametre 110 mm f/24,7 "Schiefspiegler". Tia teleskopo kredeble estas plejparte intencita por rekta observado de brilaj planedoj per homaj okuloj ĉar estas tre "malrapida". La fokusa distanco estas proksimume 2,7 metroj kaj oni reflektigas lumon multaj fojoj tien kaj reen por tamen atingi relative malgrandaj mezuroj por la tutaĵo. La rilato f/24,7 signifas ke la ekspona tempo por fotilo estus pli ol 6-foja kompare al pli "rapida" f/10 por atingi la saman resulton.

Nu, min apenaŭ interesas kia estas la disigita lumo el praktike punkta stelo ±30 milimetroj el la centro de foto. Tia informo evidente povus esti interesa nur por posedanto de malnova fotilo kio uzas fotografian filmon kies negativoj estas kvadratoj de 6 centimetroj, 60 mm × 60 mm. Normaj modernaj elektronikaj sensiloj ja estas multe pli malgrandaj, nur ortanguloj de kelkaj milimetroj.

Kredeble la rezultoj por la iom kompleksa "Schiefspiegler" estas relative bonaj por fotografia filmo. Por modernaj fotilaj sensiloj la eraroj de optiko ŝajnas jam iom grandaj. Kaj mi tute ne volas konstrui tiel kompleksan sistemon kun multaj speguloj.

La ideo de "Schiefspiegler" estas principe interesa ĉar la sensilo tute ne blokas la lumon el celo. Mi tamen pensas pri multe pli simpla sistemo kio enhavas nur unu sferan spegulon. La lumo el steloj devas alveni al spegulo iom oblikve tiel ke oni povas uzi la tutan areon de spegulo por foti. La elektronika fotilo tamen estas malgranda kaj tial la lumo por la spegulo ne bezonas esti tre oblikva. Miataksade jam sufiĉus por diametre 10 centimetra spegulo se la centro de fotilo estas proksimume 4 centimetroj for de optika akso en la distanco de fokuso. Tiam estas la "rando" de por spegulo alvenanta paralela lumo nur 1 cm el la optika akso en la "danĝera" duono kaj tiam miataksade la fotilo ne ombrumas la lumon.

Tre malnova ideo (de "Herschel" ?) estis por rigardi rekte per homa okulo al la spegula bildo kun okulario, sed homa kapo ja estas iom granda kaj tial la lumo por spegulo devus alveni iom oblikve por ne ombrumi la spegulon.

Mi fakte ne scias ĉu mia iluzio pri simpla oblikva optiko estas realisma kaj praktika. Oni bezonas iom grandan spegulon por kolekti kiom eble multe da stela lumo. Tamen granda spegulo signifas pli grandajn optikajn erarojn. La fokusa distanco devus esti iom mallonga, tiel ke la optikaj eraroj ne estu tro grandaj sur la fotila sensilo. Tamen mallonga fokusa distanco signifas relative "rapidan" optikon kie la simpla sfera formo de spegulo kaŭzas pli grandajn erarojn. Mi volus trovi la plej bonan kompromison inter la kontraŭaj postuloj. Ĉu estus utila kaj praktika?

Almenaŭ mi volus kalkuli kiom malgrandaj la plej grandaj eraroj povus esti por ekzemple sfera spegulo diametre 100 mm kaj aperturo f/10. Estas iom malgranda spegulo por astronomia teleskopo, sed eble utila?

Iom da utila matematiko: La diametro de spegulo estu D = 100 mm. Se la fokusa distanco estas f = 1000 mm, tiam estas D/f = 1/10. Sekve validas f = 10 * D kaj D = f/10. Ni povas diri ke la objektivo estas f/10, relative "malrapida" por foti, sed pli realisma por sfera spegulo.

La fokusa distanco do estus f = 10 * 100 mm = 1 metro kaj tio estus proksimume la distanco el spegulo al la fotila sensilo. Oni certe bezonas iom longaj eksponaj tempoj por la "malrapida" sistemo f/10, ekzemple 4 fojoj pli longaj ol por f/5, sed la sistemo devas esti iom "malrapida" por malgrandigi la erarojn de sfera optiko.

La distancon inter la spegulo kaj sensilo oni tamen povu iom reguligi. La oficiala fokusa distanco validas por la centra parto de spegulo. Tamen la plej malgranda luma punkto el sfera spegulo povas situi en iom alia distanco.

En apuda foto dekstre ni nome vidas "Spot Diagram" el diametre 200 mm sfera spegulo f/8 en iom aliaj distancoj ĉirkaŭ la fokusa distanco. La plej malgranda grupo da lumo okazas nur 0,6 milimetroj post la fokusa distanco. Nu, ĉi tioj lumradioj ja ne estas oblikvaj al la optika akso de spegulo, sed iom da sama principo validas por mia oblikva spegula optiko, kvankam mia spegulo estu pli malgranda. La fokusa distanco eble ne estas la plej bona situo por la sensilo.

Por mia reva teleskopo ankaŭ la fotila sensilo tamen eble devas situi oblikve al la optika akso. Oni eble devas reguligi la oblikvecon de sensilo por atingi la plej bonan rezulton por la tuta sensilo? ... Nu, mi tamen decidas ke la sensilo estu orta al la optika akso de spegulo. Pli facila por kalkuli.

Je unua vido la formuloj de supre menciita libro miaopinie ne estas kiel eble plej facilaj por oblikva fotila sensilo. Mia ekira selekto ja estas HQ-fotilo kio enhavas la konitajn mezurojn kaj rastrunuojn. Mia oblikva sistemo ne estas tute simetria. Mi meditu.

En la libro la ekira punkto por kalkulado estas la 3-dimensiaj koordinatoj (Xo, Yo, Zo) por la lumradio kaj la korespondaj "direction cosines" (lo, mo, no) kioj kune priskribas la direkton al kio la lumo movas. La fokusa distanco de spegulo estu f. Por sfera spegulo estas la radiuso r kaj validas r = 2*f. Kaj la valuo d estas la horizontala distanco el komenca punkto al la centro de spegulo.

La formuloj estas miaopinie iom maloportunaj por interpreti kaj uzi por la simpla kazo, iom tro ĝeneralaj. Min ja interesas nur reflekto el sfera spegulo. Unue la lumo movu el maldekstra flanko dekstren. Movo de lumo dekstren havas pozitivan signon (+) kaj movo maldekstren havas negativan signon (-). Spegulo konveksa maldekstren havas pozitivan signon (+) kaj spegulo konkava flanko maldekstren havas negativan signon (-).

Nia spegulo posedu negativan radiuson de kurbeco r kaj la komenca Z-koordinato estu maldekstre. La valuo no por la Z-direkto de lumo estas pozitiva ĉar la lumo movas dekstren. Pli bone la lumo startu maldekstre el Z = 0 kaj la spegulo estu dekstre en Z = abs(f).

La metodo estas el libro "Telescope Optics, Evaluation and Design". Por unu sfera optika surfaco la libro prezentas la sekvantan kalkuladon por produkti novajn koordinatojn kaj novajn "direction cosines" :

to = Zo - d
Zr = to - r

A = r2 - Xo2 - Yo2 - Zr2
B = lo · Xo + mo · Yo + no · Zr
C = B + r / |r| · ( A + B2 )1/2

#  Notu :  |r|  signifas  abs(r)  kaj por spegulo  r / |r|  do egalas -1
#  ĉar  r   maldekstren estas negativa

Ĉi tie mi pensas pri la reflekto de lumo. Tial estas μs2 = 1. La metodo estas miaopinie iom tro kompleksa por reflekto de lumo, sed uzebla en komputila programo. La novaj koordinatoj de lumradio:

Xs = Xo - C · lo
Ys = Yo - C · mo
Zs = to - C · no

Kaj la novaj komponantoj de luma vektoro:

μs = n / n'           
#  por spegulo  n = -n'  kaj tial  μs = -1   
#  por spegulo  μs2 = (-1)2 = 1

Ci = (A + B2)1/2 / |r|
Cr = (μs2 · (Ci2 - 1) + 1)1/2 
#  por spegulo μs2 = 1  kaj tial  Cr = Ci

P = Cr - μs * Ci 
#  por spegulo  μs = -1  kaj tial P = 2 · Ci

ls = μs · lo - Xs · P / r
ms = μs · mo - Ys · P / r
ns = μs · no - P · (Zs - r) / r

Ni uzu la novajn valuojn kiel nova komenca punkto (Xo = Xs, Yo = Ys, Zo = Zs) kaj la direktojn (lo = ls, mo = ms, no = ns) por kalkulo de sekvanta optika lima surfaco.

Por spegulo oni tamen unue aliigu la signon de lumo en Z-direkto, ns al negativa, por reflektita lumo kio veturas maldekstren, al la negativa direkto.

Mi unue provis kalkuli ekzemplon mem mane, sed tio ideo ne estis tre sukcesa. Poste mi skribis programoj por la bona libere havebla komputila programo "GNU Octave" por solvi la geometrion de simpla sfera lenso. Tion saman metodon oni povas uzi ankaŭ por sfera spegulo.

Programo produktas rezultojn multe pli facile ol mana kalkulado! La sekvanta programo uzas funkciojn sagitta el artikolo #416 kaj sfera el artikolo #418


Jes, mi jam povis vidi la lumon ...

Jes, la manaj kalkuloj klare estis tute senesperaj kaj mi ilin forigis. La veron mi fine trovis per programo "GNU Octave" kion mi uzis samstile kiel por lenso en artikolo #418.

La programo bezonas 2 funkcioj kioj estas definitaj en alia teksto. Notu ke la radiuso r por funkcio sagitta devas esti pozitiva ( r > 0 ).

La programo:

% sferaspegulo.m
%
% Bezonas: 
%   function sfera
%   function sagitta

clc
clear all
format short

r = -1000;      % radiuso de kurbeco (maldekstren)
f = r/2;        % fokusa distanco 
d = abs(f);     % distanco (pozitiva)

% Komencaj punktoj de lumo 
X = cell(14, 1);
% ... en ZY-ebeno
for i = [1:7]
  y = 70 - i*10;
  X(i, 1) = [ 0 y 0 ];
endfor

% ... kaj en ZX-ebeno
for i = [8:14]
  x = 110 - i*10;
  X(i, 1) = [ x 30 0 ];
endfor

% Koordinatoj de lumradioj en komenco
z0 = 0;      
% en ZY-ebeno           
y0 = cell(14, 1);
for i = [1:14]
  y0{i} = X{i}(2);
endfor
% en ZX-ebeno
x0 = cell(7, 1);
for i = [1:7]
  x0{i} = X{i+7}(1);
endfor

% La lumradioj estu samdirektaj
l0 = 0;
% La meza lumradio de ZY-ebeno ( X{4}(2) ) 
% trafu la centron de spegulo
beta = atand( X{4}(2) / abs(f) );
m0 = cosd(90 + beta);

% Estas ja : v^2 = l0^2 + m0^2 + n0^2
% Kaj la longo v estu = 1
% Do : 1 - l0^2 - m0^2 = n0^2
% kaj sekve
n0 = sqrt(1 - l0^2 - m0^2);

% La direkto de lumo, origine la sama por chiuj
v = cell(14, 1);
for i = [1:14]
  v{i, 1} = [ l0 m0 n0 ];
endfor

mus = -1;     % por reflekto de lumo el spegulo

for i = [1:14]
  resulto = sfera (X{i}, v{i}, r, d, mus);  
  resulto(3) = d + resulto(3);   
  % Ni aldonu la distancon d al Z-koordinato
  X(i, 1) = [ resulto(1) resulto(2) resulto(3) ];
  v(i, 1) = [ resulto(4) resulto(5) resulto(6) ];
endfor

kpx = cell(14, 1);        % Por la reflektita lumo
for i = [1:14]
  v{i, 1} = -v{i, 1};     
  % Alia direkto por lumo en Z-koordinato post reflekto
  kpx{i, 1} = X{i} + 550 * v{i};
endfor

% Ni kalkulu la formon de spegulo
sagx = cell(13, 1);
sagy = cell(13, 1);
for i = [1:13]
  h = -70 + i*10;
  sagy(i) = h;
  sagx(i) = -sagitta (abs(r), h);
endfor
ys = [ sagy{1:13} ];
xs = abs(f) + [ sagx{1:13} ];


hold on
subplot (2, 1, 1)                        % ZY-ebeno
axis( [ -20, 510, -70, 70 ] );
grid on

text (50, 5, "optika akso", "fontsize", 14)
line ("xdata", [ -20 520 ], "ydata", [ 0 0 ] )
line ("xdata", xs, "ydata", ys, "color", "red", "linewidth", 2 )          % spegulo

for i = [1:7]
  line ("xdata", [ z0, X{i}(3) ], "ydata", [ y0{i}, X{i}(2) ], "color", "green" )
  line ("xdata", [ X{i}(3), kpx{i}(3) ], "ydata", [ X{i}(2), kpx{i}(2) ], "color", "blue" )
endfor

% Lumradioj de ZX-ebeno en ZY-ebeno
line ("xdata", [ z0, X{8}(3) ], "ydata", [ y0{8}, X{8}(2) ], "color", "cyan" )
line ("xdata", [ X{8}(3), kpx{8}(3) ], "ydata", [ X{8}(2), kpx{8}(2) ], "color", "magenta" )

text (300, 50, "envenanta samdirekta lumo", "color", "green", "fontsize", 14) 
text (200, -35, "refraktita lumo", "color", "blue", "fontsize", 14) 

xlabel ("Z (mm)");
ylabel ("Y (mm)");
title ( ["Sfera spegulo, ZY-ebeno"] )

subplot (2, 1, 2)                        % ZX-ebeno
axis( [ -20, 510, -70, 70 ] );
grid on

text (10, 8, "optika akso", "fontsize", 14)
line ("xdata", [ -20 520 ], "ydata", [ 0 0 ] )
line ("xdata", xs, "ydata", ys, "color", "red", "linewidth", 2 )         % spegulo

for i = [8:14]
  line ("xdata", [ z0, X{i}(3) ], "ydata", [ x0{i-7}, X{i}(1) ], "color", "green" )
  line ("xdata", [ X{i}(3), kpx{i}(3) ], "ydata", [ X{i}(1), kpx{i}(1) ], "color", "magenta" )
endfor

% Reflektitaj lumradioj de ZY-ebeno en ZX-ebeno
line ("xdata", [ X{1}(3), kpx{1}(3) ], "ydata", [ X{1}(1), kpx{1}(1) ], "color", "blue" )

xlabel ("Z (mm)");
ylabel ("X (mm)");
title ( ["Sfera spegulo, ZX-ebeno"] )
hold off

Ni do sendis kelkaj lumradioj en ZY- kaj ZX-ebenoj al la sfera spegulo kaj ni sekvis la veturadon de lumo en 3D-kalkulado. La lumradioj en ZY -ebeno veturas iom suben tiel ke la meza lumradio trafos la centron de spegulo. Aliaj envenantaj lumradioj estas samdirektaj.

Kaj la humilaj grafikaj rezultoj de la supra "GNU Octave" programo en ZY- kaj ZX-ebenoj:

Nu, miaopinie por kalkuloj la lumo devas komenci maldekstre el Z-koordinato nulo (0) kaj la centro de spegulo situu dekstren en distanco abs(f), kie f estas la fokusa distanco. La radiuso de kurbeco estas negativa, ĉar la centro de kurbeco situu maldekstre. Do estas r = -1000 kaj la fokusa distanco f = abs(r)/2 = 500 mm

Al la rezultoj de kalkulo oni devas en Z-direkto aldoni la pozitivan distancon d. La baza kalkulado nome produktas rezulton apud nulo. Post la reflekto de lumo, estas la direkto de reflektita lumo maldekstren kaj tial oni devas aparte aliigi la signon de Z-komponanto al negativa (-).


Reflekto kaj refrakto el ebena surfaco

Alia parto de problemo estas la loko kie la lumradio trafas la ebenan fotilan sensilon. Tion ni povas pensi kiel 2-dimensia problemo ĉar la sensilo estu orta al la optika akso kaj tial la Z -koordinato estas la sama por la tuta sensila surfaco ( Zs = 0 ). La libro prezentas sian solvon, sed ni devas ankaŭ pensi pri la distanco d se ni volas sekvi la veturadon de lumo en spaco.

μs = n / n'
to = Zo - d
μv = to / no

Xs = Xo - μv · lo
Ys = Yo - μv · mo

Kaj uzante la antaŭe kalkulitajn vektorojn (ls, ms, ns) kiel novaj komencaj vektoroj (lo, mo, no) ni principe povus kalkuli novaj valuoj:

ls = μs · lo
ms = μs · mo
ns = (μs2 · (no2 - 1) + 1 )1/2 

# por reflekto el spegulo  μs = -1  kaj  μs2 = (-1)·(-1) = 1
# kaj tial estas por spegulo simple  ns = no
# sed oni notu ke post reflekto estos direkto de lumo alia (maldekstren) 
# kaj tial oni aliigu la signon de  ns  al negativa (-)

La fotila sensilo ja estas por mi la fina celo de lumo kaj tial ni fakte ne bezonas la novajn valuojn (ls, ms, ns) ĉar ni tute ne pensas pri la reflekto el la sensilo.

Miaopinie ekzistas pli bona metodo por ebena surfaco, sed ĝenerale ni povus pensi pri refrakto kaj reflekto en ebena surfaco. Por refrekto el spegulo estas ja n = -n' kaj tial egalas μs = n / n' = -1

Mi denove havas malfacilaĵoj por kompreni la formulojn de libro, sed eble ankoraŭ ion belan tagon ...

Kaj certe fine .......... NI VENKOS!

La Ambasadoro en Finnlando
de sendependa nacio
Mueleja Insulo


Menuo
Ĉefa paĝo (finna lingvo)