Olen takunnut elementtikuormituksen vaatimassa tasokehän solmujen ekvivalenttien solmuvoimien laskennassa, joten koetanpa selkiyttää tähän liittyvän JavaScript-ohjelman akuuttia tilannetta. Mielestäni ekvivalentit solmuvoimat kyllä kannattaa esim. Exceliä käyttäessään ratkaista erikseen kynällä ja paperilla, eikä osana laskentataulukkoa jossa ne helposti muodostavat hankalasti tarkistettavan ja hankalasti ylläpidettävän mystisen kaavarykelmän.
Lähde antaa palkin tukireaktioille sinänsä ihan selkeän näköisiä kaavoja joissa luetellaan eri tapauksille sopivat tasopalkin kuuden lokaalin vapausasteen mukaiset tukireaktion pystyvektorin komponentit. Tässä ylimmällä rivillä on eräänlainen taulukon käyttöohje joka osoittaa vektorin komponenttien tulkinnan ja sitten on käsitelty pistevoiman vaihtoehdot, voima palkin suuntaisena tai palkkia vasten kohtisuorassa. Kurssin paritehtävän kannalta olemme kiinnostuneita vain palkkia vasten kohtisuorasta kuormasta koska haluamme tulkita toimeksiannon tarkoittavan nimenomaan kohtisuoraa kuormaa (joka ei siten voisi olla pelkkä gravitaation aiheuttama kuorma).
Jos pistevoima olisi kulmassa palkkia vasten niin se varmaankin pitäisi ensin jakaa palkin suuntaiseen (X) ja palkkia vasten kohtisuoraan (Y) komponenttiin, laskea ekvivalentit solmuvoimat erikseen kummallekin tapaukselle ja summata sitten vektorit yhteen. Tällainen tapaus tulisi eteen esimerkiksi silloin jos palkki ei ole vaakasuora ja siinä on painovoiman eli gravitaation aiheuttama kuorma. Gravitaatio kohdistuu suoraan alaspäin ja muun kuin vaakasuoran palkin tapauksessa gravitaation aiheuttama kuorma siten ei olisi kohtisuorassa palkkia vasten. Ainoastaan globaalisti vaakasuorassa palkissa palkkia vasten kohtisuora voima voi olla lokaalisti pystysuorassa ja tässä juurikin on lähtökohtaisesti kyse palkin lokaalista tilanteesta.
Tasaiselle pintakuormalle ja pistemomentille löytyy myös omat kaavansa. Pistemomentti tarvitsee vain yhden kaavan, koska sen kannalta palkin suunnalla ei ole merkitystä lokaalisti. Elementtikuormitetun palkin kierto globaaliin asentoon tehdään aina erikseen (kiertomatriisi [B]) ja silloin palkin suunta saa todellisen merkityksensä koko rakennelman kannalta.
Ekvivalentteja solmuvoimiahan täytyy laskea silloin jos palkissa on kuormitusta solmujen välissä. Elementtimenetelmä sinänsä sallii kuormituksen ainoastaan solmuissa. Niinpä elementtikuorma täytyy laskennallisesti siirtää elementin solmuihin ennenkuin tapaukseen voi soveltaa varsinaista elementtimenetelmää. Elementtimenetelmä siis ymmärtää ainoastaan solmuissa olevia kuormia, joten elementin alueella oleville kuormille lasketaan sellaiset solmuissa sijaitseviksi ajatellut solmuvoimat joilla olisi rakenteessa sama vaikutus kuin ko. elementtikuormalla.
Tasopalkilla on lokaalisti kuusi vapausastetta, niistä kaksi ensimmäistä ovat alkusolmun X- ja Y-suuntaiset suoraviivaiset vapausasteet, kolmas on alkusolmuun kohdistuva momentti (tai kiertymä), seuraavat kolme ovat loppusolmun X- ja Y-suuntainen suoraviivainen vapausaste sekä viimeisenä palkin loppusolmuun kohdistuva momentti (tai kiertymä). Momentin (laatu esim. Nmm) ja sen aiheuttaman kiertymän (laatu radiaaneja) positiivinen suunta on vastapäivään joten myötäpäiväinen suunta lasketaan negatiiviseksi.
Ylläolevat kaavat ovat siis tukireaktioille, kuten pystyvektorin tunnuksen eli r-kirjaimen yläpuolella oleva viiva osoittaa. Koska olemme hakemassa solmuvoimia, on etumerkit käännettävä kaikissa alkioissa. Näin saadaan elementtien lokaalit solmuvoimat {r} (huomaa alapuolinen viivaus tunnuksessa). Tukireaktio ja solmuvoima ovat nimittäin vastakkaissuuntaisia. Solmuvoimavektori on tukivoimavektorin vastavektori.
Jos elementin pystyvektorissa on globaalit koordinaatit niin sen tunnus esitetään ilman viivoja {r}. Vapausasteet voivat kuitenkin olla lokaaleja eli elementin lokaalien vapausasteiden mukaisia vaikka komponentit ovatkin globaaleja eli pätevät rakenteen globaalissa koordinaatistossa.
Kainosti täytyy todeta että jokin minun ohjelmassani mättää vielä tässä vaiheessa kun tätä kirjoittelen. Tämä on hiukan takkuista laskuteknisesti. Puolen radiaanin suuruiset kiertymät solmuissa eivät lie mahdollisia ehjänä säilyvässä rakenteessa, nehän olisivat kymmeniä asteita. Selvästikin laaduissa on ollut jotakin häikkää. Solmusiirtymävektorissa kolmas ja kuudes vapausaste ovat kiertymiä ja niiden tulisi olla melko pieniä. Yritän tässä paikkallistaa ongelmaa.
Tämä on minun kannaltani myös eräänlaista ohjelman dokumentointia. Ja onhan tämä terapiaakin. Maailma muuttuu kauttaaltaan paremmaksi dokumentoimalla, tälle lujalle optimistiselle näkymykselliselle kalliolle vertauskuvallisen matalan majani (sekä porilaisen kansanedustaja Jalosen suositteleman puolijoukkueteltan hallitsematonta maahanmuuttoa edustavia pakolaisia, elintasoshoppailijoita, elämysmatkailijoita, maanpettureita ja sotilaskarkureita varten) pystytän ja perustan.
Otetaanpa ensin suurennuslasin alle aiemmin käsitelty turvallinen esimerkki FES12E2 jossa on toisessa, vaakasuorassa palkissa tasainen kohtisuora pintakuormitus 4 kN/m kahdeksan metrin matkalla. Sille on Excelilläkin laskettu seuraava lokaali ekvivalentti solmuvoimavektori:
| {r}2 | = |
| ( Lähteessä laadut ovat erilaiset, mutta lopputulos ei ole ristiriidassa ) ( Niissäkin komponenteissa periaatteessa etumerkki käännettäisiin |
Tämä tulos on siis laskettava lähtötiedoista L = 8 metriä ja pintakuorma qy = 4000 N/m (suuntautuu alaspäin lokaalikoordinaatistossa, mutta negatiivinen etumerkki seuraavassa ei johdu siitä) seuraavan kaltaisin kaavoin joissa tukireaktioista solmuvoimiin siirtyminen on huomioitu : -qy·L / 2 ja momentille -qy·L2 / 12
Laatuina olemme tottuneet Newtoneihin (N) ja Newtonmillimetreihin (Nmm), mutta tämä on ehkä mukavampi ensin ratkaista Newtoneilla ja metreillä : esimerkiksi -(4000N/m * 8m) / 2 = -16000N ja momentille -(4000N/m * (8m)2) / 12 = -(4000N/m * 64m2) / 12 = -21333,333Nm . Tulos ei kuitenkaan ole väärin jos laskee eri yksiköissä : -(4000 N/(1000mm) * 8000mm) / 2 = -4 N/mm * 8000mm / 2 = -16000N ja momentille -(4000 N/(1000mm) * (8000mm)2) / 12 = -4 N/mm * (8000mm)2 / 12 = -21333333Nmm
Luonnollisestikin pätee 1 Nm = 1000 Nmm koska 1 metri on 1000 millimetriä.
Huomataan siis että tasaisen pintakuorman laatuna on [qy] = N/m tai [qy] = N/mm ja kuorman suuntautumista alaspäin ei huomioida kaavassa negatiivisella etumerkillä vaan miikka edessä johtuu siitä että lasketaan solmuvoimaa eikä taulukon suoraan antamia tukireaktiota. Ja tosiaankaan emme tässä lähteen kaavassa tarvitse elementille tulevaa kokonaiskuormaa (L·q), vaan kaavan edellyttämän kuorman pituusyksikköä kohti (q). Palkin pituus L huomioidaan kaavassa erikseen.
Tämän rohkeuden keräämiskampanjan jälkeen aion hyökätä kurssin paritehtävän kimppuun. Siinä on elementtikuormana pistevoima ja pistemomentti joita ei ole aiemmin tullut eteen tällaisessa yhteydessä. Näille tapauksille täytyy palkin pituuden L lisäksi tuntea myös kuorman paikka palkissa eli kuorman etäisyydet a ja b palkin tuista (tai tätä ajatusmallia varten väliaikaisesti tuetuiksi ajatelluista solmuista).
Hyökäätäänpä pistemomentin kimppuun. Esimerkkinä pistemomentti M = 200 kNm ja etäisyys tuesta L/4 ja otetaan palkin pituudeksi helppo arvo L = 8 metriä. Kaavat ovat muotoa -M·6·a·b / L3 ja momentille esim. -M·b·(2·a - b) / L2
Tuohon jos koettaa sijoittaa esimerkin arvot niin ensinnäkin a = L/4 = 8m/4 = 2m ja loput pituudesta saa b = 6m ja tuloksiksi saisi -200000Nm·6·2m·6m / (8m)3 = -200000Nm·12m·6m / (83m3) = -200000N·12·6 / 83 = -14400000N / 512 = -28125N ja momentille tulisi kolmanteen vapausasteeseen -200000Nm·6m·(2·2m - 6m) / (8m)2 = -200000Nm·6m·(4m - 6m) / (82m2) = -200000Nm·(-12m2) / (82m2) = 2400000Nm / 64 = 37500Nm
Momentti kuudennessa vapausasteessa lasketaan hiukan erilaisella kaavalla -M·a·(2·b - a) / L2 ja sille saataisiin siis tulokseksi -200000Nm·2m·(2·6m - 2m) / (8m)2 = -200000Nm·2m·(12m - 2m) / (82m2) = -200000Nm·2·10 / 82 = -4000000Nm / 64 = -62500 Nm eli alkusolmun positiivinen momentti vääntää vastapäivään ja loppusolmun negatiivinen momentti vääntää myötäpäivään.
Miten tätä pitäisi selittää? Lähempänä alkusolmua oleva vastapäivään vääntävä momentti aiheuttaa alkusolmuun lokaalisti Y-suunnassa negatiivisen solmuvoiman ja vastapäivään vääntävän momentin, joka tuntuu oikealta. Erilaisen etumerkin vuoksi loppusolmuun tulisi lokaalisti positiivinen Y-suuntainen voima joka tuntuu sekin ihan hyvältä. Loppusolmuun tulisi suurempi myötäpäivään vääntävä momentti, mutta sen syntyä en oikein ymmärrä. Onkohan tuo OK?
Kalevalassakaan ei ole tasopalkille annetttu pistemomentin aiheuttamien lokaalien ekvivalenttien solmuvoimien syntysanoja, ainakaan siinä painoksessa jota olen lukenut. (Tämä ei suinkaan sulje pois mahdollisuutta sitä että josko ne olisi jo lisätty Kalevalan uudempaan painokseen?)
Hyökätään lopuksi pistevoiman kimppuun. Se on tehtävänannon mukaan aina keskellä palkkia, joten a = b = L/2. Esimerkkinä olkoon pistevoima Fy = 50 kN ja palkin pituus mukavasti L = 8 metriä.
Kohtisuoralle pistekuormalle solmuvoiman toisen vapausasteen komponentin kaavaksi tulee -Fy·b2·(3·a + b)/ L3 ja kolmannen vapausasteen momentiksi tulee -Fy·a·b2 / L2 . Viidennen ja kuudennen alkion kaavat hiukan poikkeavat, mutta hyödynnämpä tässä silmittömän röyhkeästi sitä että meidän nimenomaisessa tehtävässämme on poikkeuksetta aina a = b = L/2
Toisen komponentin kaava : -Fy·b2·(3·a + b)/ L3 pelkistyy muotoon -Fy·(L/2)2·(3·L/2 + L/2)/ L3 = -Fy·(L2/4)·(4·L/2)/ L3 = -Fy·(L2/4)·(2·L)/ L3 = -Fy·(L3/2) / L3 = -Fy / 2 joten esimerkin solmuvoimaksi tulee -50000N / 2 = -25000N
Huomataan että lokaalisti alaspäin osoittavasta pistevoimasta tuli oikeaoppisesti tulokseksi negatiivinen solmuvoima vaikka tuo kaavan negatiivinen etumerkki johtuu tukireaktion muuntamisesta solmuvoimaksi eikä voiman etumerkistä. Pistevoimaan ei siis merkitä negatiivista etumerkkiä vaikka se suuntautuu lokaalisti negatiivisen Y-akselin suuntaan.
Kolmannen komponentin kaava : -Fy·a·b2 / L2 pelkistyy muotoon -Fy·(L/2)·(L/2)2 / L2 = -Fy·(L/2)·(L2/4) / L2 = -Fy·(L3/8) / L2 = -Fy·L / 8 joten esimerkissä solmun momentiksi tulee -50000N · 8m / 8 = -50000 Nm joka siis negatiivisena vääntää myötäpäivään kuten luonnolliselta tuntuukin kun vaikuttava voima on siitä oikealle.
Viidennen komponentin kaava : -Fy·a2·(a + 3·b)/ L3 pelkistyy tapauksessa a = b = L/2 samaksi kuin toisenkin komponentin kaava eli muotoon -Fy / 2 joten esimerkin solmuvoimaksi tulee sama -25000 N joka siis kohdistuu lokaalisti negatiiviseen Y-suuntaan. Keskellä tasavahvaa palkkia oleva kuorma siis aiheuttaa samansuuruiset lokaalisti Y-suuntaiset solmusiirtymät kumpaankin solmuun, kuten luonnolliselta tuntuukin.
Kuudennen komponentin kaava : +Fy·a2·b / L2 pelkistyy etumerkkiä lukuunottamatta samaan muotoon kuin kolmannen komponentin kaava eli +Fy·L / 8 eli esimerkissä 50000N · 8m / 8 = 50000 Nm joka on siis vastapäivään vääntävä momentti.
Alkusolmuun tuli siis keskellä palkkia olevasta kohtisuorasta voimasta myötäpäivään vääntävä momentti ja loppusolmuun samansuuruinen mutta vastapäivään vääntävä momentti, joka tuntuu minusta aivan uskottavalta. Nämäkin ovat tosin lokaaleja tietoja, mutta momentin (eli "väännön") tapauksessa ne pätevät globaalistikin, koska momentti (toisin kuin X- ja Y-suuntaiset komponentit) ei riipu palkin asennosta.
Juu-uh. Näillä eväillä pitäisi tehtävän suuruusluokkien ongelmien ohjelmassa ratketa. Hitto soikoon, jos solmuvoimat tulevat oikein niin täytyyhän solmusiirtymienkin tulla OK. Radiaaneja tai ei, ei kai se mitään voi ratkaista.
No joo, pintakuorman muunnos oli mennyt virheellisesti. En vaan ollut snaijannut kaikkien laatumuunnosten keskellä että 1 kN/m on ihan suoraan 1 N/mm eli 1000 N / 1000 mm = 1 N / 1 mm eikä se vaadi mitään tuhannella kertomista .. Huoh ... Täytyy kyllä vielä tarkistaa että jos elementtikuormitus ei ole keskellä palkkia niin miten mitat a ja b annetaan, mistä päästä aloitetaan.
Nimitysten "pistevoima" ja "pistemomentti" suhteen on oltava liberaali ja tulkittava ne suvaitsevaisen vapaamielisesti, ei sananmukaisesti. Tarkoitetaan suhteellisen pienellä alalla ja suhteellisen pienessä tilavuudessa vaikuttavaa kuormitusta. Nämä ovat normaaleja statiikan ja lujuusopin käytäntöjä ja nimeämistapoja joista ei pidä vetää hernettä nenäänsä.
Terveen fysikaalisen maailmankuvan kannalta on toki silti pidettävä mielessä että aidosti pistemäistä kuormitusta - jos sellainen jollakin ihmeen keinolla olisi mahdollista saada aikaan - ei kestäisi mikään todellinen materiaali. Pisteen koko geometrisesti ajatellen on infinitesimaalinen. Jos materiaalin pisteessä todella vaikuttaisi nollaa selvästi suurempi kuorma - vaikkapa lujuusopissa tavanomainen 10 kN eli 10000 Newtonia (Dementsprechend "tonnin eli tuhannen kilopondin" voima) - niin se materiaalihan hajoaisi ilman muuta, koska lähes olematonta infinitesimaalista pinta-alaa kohti kuormitus (jännitys σ = f/A) tulisi olemaan jokseenkin ääretön.
Tarkemmassa tarkastelussa kuormien ykstyiskohtainen kohdistuminen esim. palkkiin tulee varmaankin tutkia erikseen. Tässä karkeassa elementtimenetelmässä on kyseessä enemmänkin niinkuin suuret linjat, keskimääräiset jännitykset palkeissa ja sen sellainen. Paikalliset kuormitukset esim. liitoskohdissa ovat riippuvaisia mm. palkkien täsmällisestä liitäntätavasta, detaljeista joita ei tällä tasolla käsitellä eikä ehkä edes tiedetä. Palkkien liitoksethan voivat käytännön toteutuksessa olla esim. pulttien tai hitsisaumojen varassa, jolloin rakenteen kokonaisuutta ei ole järkevää tarkastella sillä tasolla joka vaadittaisiin esim. jonkin suhteellisen pienen pultin suhteen.
Tässä koetetaan pärjätä vain muutamalla elementillä ja nähdä metsä puilta. Se on oman laatuistaan viisautta joka täytyy oppia tulkitsemaan oikein. Se ei kerro koko tarinaa, eikä se ole ehdotonta tietoa joka pätisi kaikilla mahdollisilla toteutuksen tavoilla. Se on vain osatotuus, mutta hyvin oleellinen osa totuutta erittäin taloudellisesti esitettynä. Tämä ei vapauta ketään vastuusta asian jatkokäsittelyssä, mutta jos tässä vaiheessa menee pieleen, niin aija-paija, ei näytä hyvältä. Veteen piirretyt viivat eivät pysy. Älä rakenna taloasi lentohiekalle, uudisraivaaja. (Noh, sen puolijoukkueteltan voisi ehkä perustaakin lentohiekalle, ainakin väliaikaisesti?)