Ammattikorkeakoulun elementtimenetelmän perusteiden kurssin esimerkki FES09E1 oli ensimmäinen sauvarakennelmamme tasossa. Lähiopetuksessa käytetty ratkaisumetelmä jonkin verran poikkeaa opintomateriaalista ja opiskelijan mieltä voi jäädä kaihertamaan tunneilla käytetyn menetelmän matemaattiset perusteet. Tämän ongelman pelkistäminen kahteen globaaliin vapausasteeseen epäilemättä on perusteltua ja tunneilla esitetty yksinkertainen toimintasuunnitelma toimii, mutta siltikin tuntuu että aihetta sietää ruotia enemmänkin.
Voi ajatella yksinkertaisesti siten - kuten tähän liittyvässä ohjelmassa on pyritty havainnollisesti esittämään - että lokaali vapausaste otetaan mukaan järjestelmän jäykkyysmatriisiin jos ko. elementin ko. solmun lokaali vapausaste irrallisena omassa koordinaatistossaan (perusasennossaan X-akselin suuntaisena) on samansuuntainen kuin ko. solmua vastaava globaali vapausaste koko järjestelmää kuvaavassa globaalissa koordinaatistossa.
Esimerkin globaalit vapausasteet on ohessa oikealla kuvattu lähteen mukaan globaalissa koordinaatistossa. Niitä on kaikkiaan 6 kappaletta joten jäykkyysmatriisista syntyy lähteessä 6x6 matriisi. Oikeasti tuossa toteutuvat vain lähteen merkintöjen mukaiset vapausasteet numero 3 x-suunnassa solmussa 2 ja numero 6 y-suunnassa solmussa 3.
Jos tapaus pelkistettäisiin kahteen vapausasteeseen niin kyseiset globaalit vapausasteet numeroitaisiin 1 ja 2 ja niistä syntyisi helppo globaali 2x2 jäykkyysmatriisi. Onhan kuvaa tarkastellen selvää ettei solmulla 1 ole lainkaan vapausasteita x- ja y-suunnissa kun se on nivelöity kiinni kiinteään tukeen. Solmu 2 voi liikkua ainoastaan x-suunnassa. Solmu 3 voi liikkua ainoastaan y-suunnassa. Tukimomenttia ei tarvitse ajatella koska ristikkorakenne mallinnetaan sauvoilla eikä sauvoilla ole tukimomenttia. Sauvat liittyvät ristikossa toisiinsa kitkattomien nivelien kautta.
On pidettävä mielessä että lokaalisti jokaisella elementillä on periaatteessa 4 mahdollista vapausastetta. Ne ovat samat kuin mitä lähteessä on (tosin globaalisti) piirretty elementille numero 1. Elementin alkusolmussa on lokaalin X-akselin suuntainen lokaali vapausaste numero 1 ja lokaalin Y-akselin suuntainen lokaali vapausaste numero 2. Elementin loppusolmussa on lokaalin X-akselin suuntainen lokaali vapausaste numero 3 ja lokaalin Y-akselin suuntainen lokaali vapausaste numero 4. Elementille numero 1 nämä voidaan esittää lokaalissa koordinaatistossa vastaavasti kuin mitä ne tässä lähteessä on piirretty globaaliin koordinaatistoon. Elementtiä 1 ei nimittäin tarvitse kallistaa lainkaan (kulma on nolla) kun se siirretään lokaalista koordinaatistosta globaaliin koordinaatistoon, vaan se menee paikalleen ihan heittämällä.
On siis olemassa hyvä sääntö tarpeettomien vapausasteiden karsimiseen pois globaalista jäykkyysmatriisista. Esimerkiksi elementistä numero 1 toteutuu ainoastaan loppusolmun 2 lokaali X-suuntainen vapausaste 3 josta tulee järjestelmän globaali vapausaste numero 1. Alkusolmulla ei ole globaaleja vapausasteita (vaikka sillä irralliseksi ajateltuna onkin lokaalit vapausasteet 1 ja 2) koska se on tuettu molemmissa suunnissa. Loppusolmun 2 toinen lokaali vapausaste 4 ei toteudu globaalisti koska solmussa 2 ei ole globaalia Y-suuntaista vapausastetta tuennan vuoksi. Tukihan on solmun 2 kohdalla merkitty liukutueksi joka sallii ainoastaan X-suuntaisen liikkeen, mutta ei salli solmun liikettä Y-suunnassa.
Muihin elementteihin samaa ajattelua soveltaen on helpointa ajatella kukin elementti irrallisena perusasennossaan X-akselin suuntaisena eli vaakasuorassa suunnassa. Mikä on elementin alkusolmun globaali numero? Mikä on elementin loppusolmun globaali numero? Millaiset globaalit X- ja Y-suuntaiset vapausasteet on elementin alkusolmulla jolla lokaalisti on vapausasteet 1 ja 2? Millaiset globaalit X- ja Y-suuntaiset vapausasteet on elementin loppusolmulla jolla lokaalisti on vapausasteet 3 ja 4? Elementin alku- ja loppusolmut sekä kulmat, joissa elementti ikäänkuin kallistetaan vaakasuuntaisesta perusasennostaan siihen asentoon jossa se on rakennelman kokonaisuudessa, voi sinänsä vapaasti valita, mutta tehtyyn valintaan on jatkossa sitouduttava, sitä on noudatettava johdonmukaisesti. Elementin alkua ja loppua ei saa lennossa vaihtaa, vaan eletään sen mukaan mitä alussa valittiin. Kannattaa ehkä valita kunkin elementin alku- ja loppusolmu siten että kallistuksen kulmasta muodostuu helposti hahmotettava.
Mutta tässä on siis varsinaisesti tarkoitus keskittyä lähteen mukaisen menettelyn kuvaamiseen ja loogisen yhteyden muodostamiseen siitä koulun tunneilla esitettyyn hiukan erilaiseen ratkaisumenetelmään. Lähteen menettely on tavallaan helpompi alussa, koska lokaalit vapausasteet ladotaan globaaliin jäykkyysmatriisiin yksinkertaisemmalla tavalla ja miettimistä on siinä vähemmän. Tuloksena sýntyy kuitenkin huomattavasti suurempi matriisi. Eihän tuollainen 6x6 matriisi vielä ole ylettömän paha, mutta tämä on erittäin yksinkertainen tapaus. Monimutkaisemmissa rakenteissa käsilaskun mielekkyys käy kyseenalaiseksi jos globaaleja vapausasteita ei alisteta minkäänlaiseen tarveharkintaan. Esimerkiksi useita kymmeniä globaaleja vapausasteita sisältävä systeemi on jo käsilaskuna huomattavan hankala.
Nimetäänpä elementit numeroin 1, 2, 3 ja niitä järjestyksessä vastaavat jäykkyysvakiot k1, k2, k3 sekä kulmat α1, α2, α3 (paljonko elementtiä on alkusolmun ympäri kierrettävä vastapäivään vaaka-asennosta että loppusolmu sattuu rakenteessa oikeaan paikkaansa). Jäykkyysvakio k lasketaan lujuusopista tutulla kaavalla k = E·A / L , jossa E on materiaalin kimmomoduuli, A elementin poikkipinta-ala ja L on elementin pituus. Laatujen tulisi olla yhteensopivat eli periaatteessa [E] = N/mm2, pinta-alat neliömillimetrejä ja pituudet millimetrejä, mutta ei nyt niuhoteta tästä erikseen.
Elementtien jäykkyysmatriisit tulevat olemaan:
| k1 · cos2α1 | k1 · cos α1 · sin α1 | - k1 · cos2α1 | - k1 · cos α1 · sin α1 |
| k1 · cos α1 · sin α1 | k1 · sin2α1 | - k1 · cos α1 · sin α1 | - k1 · sin2α1 |
| - k1 · cos2α1 | - k1 · cos α1 · sin α1 | k1 · cos2α1 | k1 · cos α1 · sin α1 |
| - k1 · cos α1 · sin α1 | - k1 · sin2α1 | k1 · cos α1 · sin α1 | k1 · sin2α1 |
| k2 · cos2α2 | k2 · cos α2 · sin α2 | - k2 · cos2α2 | - k2 · cos α2 · sin α2 |
| k2 · cos α2 · sin α2 | k2 · sin2α2 | - k2 · cos α2 · sin α2 | - k2 · sin2α2 |
| - k2 · cos2α2 | - k2 · cos α2 · sin α2 | k2 · cos2α2 | k2 · cos α2 · sin α2 |
| - k2 · cos α2 · sin α2 | - k2 · sin2α2 | k2 · cos α2 · sin α2 | k2 · sin2α2 |
| k3 · cos2α3 | k3 · cos α3 · sin α3 | - k3 · cos2α3 | - k3 · cos α3 · sin α3 |
| k3 · cos α3 · sin α3 | k3 · sin2α3 | - k3 · cos α3 · sin α3 | - k3 · sin2α3 |
| - k3 · cos2α3 | - k3 · cos α3 · sin α3 | k3 · cos2α3 | k3 · cos α3 · sin α3 |
| - k3 · cos α3 · sin α3 | - k3 · sin2α3 | k3 · cos α3 · sin α3 | k3 · sin2α3 |
Yksinkertaisuuden vuoksi kutsutaan näitä alkioita jatkossa seuraavalla (täysin epästandardilla) notaatiolla jossa matriisin rivi ja sarake ovat sulkumerkkien sisällä tyyliin (rivi, sarake). Lisään rivien ja sarakkeiden loppuun mihin kohtaan niiden risteyksessä oleva solu lisätään globaalissa matriisissa. Jos rivin lopussa on vaikkapa numero 2 niin sen rivin solut menevät globaalin jäykkyysmatriisin toiselle riville. Jos sarakkaan alla lukee numero 3 niin sen sarakkaan alkiot menevät globaalin jäykkyysmatriisin kolmanteen sarakkeeseen.
| k1(1,1) | k1(1,2) | k1(1,3) | k1(1,4) | 1 |
| k1(2,1) | k1(2,2) | k1(2,3) | k1(2,4) | 2 |
| k1(3,1) | k1(3,2) | k1(3,3) | k1(3,4) | 3 |
| k1(4,1) | k1(4,2) | k1(4,3) | k1(4,4) | 4 |
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| k2(1,1) | k2(1,2) | k2(1,3) | k2(1,4) | 1 |
| k2(2,1) | k2(2,2) | k2(2,3) | k2(2,4) | 2 |
| k2(3,1) | k2(3,2) | k2(3,3) | k2(3,4) | 5 |
| k2(4,1) | k2(4,2) | k2(4,3) | k2(4,4) | 6 |
| 1 | 2 | 5 | 6 |
| k3(1,1) | k3(1,2) | k3(1,3) | k3(1,4) | 3 |
| k3(2,1) | k3(2,2) | k3(2,3) | k3(2,4) | 4 |
| k3(3,1) | k3(3,2) | k3(3,3) | k3(3,4) | 5 |
| k3(4,1) | k3(4,2) | k3(4,3) | k3(4,4) | 6 |
| 3 | 4 | 5 | 6 |
Miksi elementtien alkiot ohjataan juuri näihin globaaleihin soluihin? No tuota, ekan elementin osalta asia lie helpointa hahmottaa koska se kuuluu rakenteessa vaakasuoraan asentoon. Kun ekan elementin lokaali alkusolmu (1) on sama kuin globaali solmu 1 ja elementin lokaali loppusolmu (2) on sama kuin globaali solmu 2, niin lokaalin jäykkyysmatriisin alkiot menevät globaaliin matriisiin samoille riveille ja sarakkeille kuin mitä ne ovat lokaalissakin matriisissa.
Toisessa elementissä alkusolmuna on globaali solmu 1 ja loppusolmuna globaali solmu 3 koska elementti on rakenteessa pystysuorassa. Globaalisti rakenteen globaalilla solmulla 1 on vapausasteet 1 ja 2, globaalilla solmulla 2 vapausasteet 3 ja 4 sekä globaalilla solmulla 3 globaalit vapausasteet 5 ja 6. Toinen elementti ei kuitenkaan tarvitse globaalia solmua numero 2, joten se ei tarvitse myöskään sen globaaleja vapausasteita. Niinpä toisen elementin alkusolmulla 1 on globaalit vapausasteet 1 ja 2 ja elementin loppusolmulla 3 on globaalit vapausasteet 5 ja 6. Globaalin matriisin riveille ja sarakkeille 3 ja 4 ei mene toisesta lokaalista matriisista mitään.
Kolmas elementti ei tarvitse solmua 1 ja sen globaaleja vapausasteita 1 ja 2 koska elementin alkusolmuna on globaali solmu 2 ja loppusolmuna globaali solmu 3. Niinpä kolmannen elementin riveiksi ja sarakkeiksi on merkittävä järjestyksessä alkusolmun 2 globaalit vapausasteet 3 ja 4 sekä loppusolmun 3 globaalit vapausasteet 5 ja 6. Globaalin matriisin riveille ja sarakkeille 1 ja 2 ei mene kolmannesta elementistä mitään.
Miten näistä elementtien lokaaleista jäykkyysmatriiseista siis muodostuu globaali jäykkyysmatriisi [K] jos siihen otetaan kaikki mahdolliset 6 globaalia vapausastetta? Koetanpa koostaa sen seuraavaksi ... ei se kylläkään käsin tehtynä ole kovin yksinkertaista, mutta tietokoneohjelma tekisi sen helpostikin :
| k1(1,1) + k2(1,1) | k1(1,2) + k2(1,2) | k1(1,3) | k1(1,4) | k2(1,3) | k2(1,4) | 1 |
| k1(2,1) + k2(2,1) | k1(2,2) + k2(2,2) | k1(2,3) | k1(2,4) | k2(2,3) | k2(2,4) | 2 |
| k1(3,1) | k1(3,2) | k1(3,3) + k3(1,1) | k1(3,4) + k3(1,2) | k3(1,3) | k3(1,4) | 3 |
| k1(4,1) | k1(4,2) | k1(4,3) + k3(2,1) | k1(4,4) + k3(2,2) | k3(2,3) | k3(2,4) | 4 |
| k2(3,1) | k2(3,2) | k3(3,1) | k3(3,2) | k2(3,3) + k3(3,3) | k2(3,4) + k3(3,4) | 5 |
| k2(4,1) | k2(4,2) | k3(4,1) | k3(4,2) | k2(4,3) + k3(4,3) | k2(4,4) + k3(4,4) | 6 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Tässä ei ole huomioitu sitä että esim. monet summattavat alkiot ovat tässä nimenomaisessa tapauksessa arvoltaan nollia. Nolliksi on merkitty vain ne alkiot jotka jäävät joka tapauksessa nolliksi koska niihin ei lisätä mitään (mutta sellaisiapa periaatteessa ei lopulta ole).
Verrataanpa tätä lähteen esittämään globaaliin numeeriseen jäykkyysmatriisiin. Matriisi on symmetrinen kuten lineaarisessa tapauksessa kuuluukin olla ja kaikki päälävistäjän (vasemmalta ylhäältä oikealle alas) luvut ovat positiivisia. Yksiköt ovat lähteessä hiukan erikoisia ja pyöristelen tässä lukuja hiukan. Esitän sellaisen hurjan väitteen että tässä oranssilla pohjavärillä korostetut rivien ja sarakkeiden 3 ja 6 arvot ovat oleellisesti samoja kuin tiivimmän 2x2 matriisin arvot olisivat sen omilla riveillä ja sarakkeilla 1 ja 2:
| 168 | 0 | -168 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 121,2 | 0 | 0 | 0 | -121,2 |
| -168 | 0 | 199,5 | 54,6 | -31,5 | 54,6 |
| 0 | 0 | -54,6 | 94,5 | 54,6 | -94,5 |
| 0 | 0 | -31,5 | 54,6 | 31,5 | -54,6 |
| 0 | -121,2 | 54,6 | -94,5 | -54,6 | 215,7 |
Sikäli minusta vaikuttaa siltä että tästä lähteen 6x6 globaalista jäykkyysmatriisista saisi muodostettua saman ongelman oleellisia piirteitä kuvaavan pienemmän globaalin 2x2 jäykkyysmatriisin poistamalla kylmästi "ylimääräiset" rivit ja sarakkeet (1, 2, 4 ja 5) joiden mukaisia globaaleja vapausasteita systeemissä ei oikeasti ole olemassa.
Mutta että miten selittäisi tämän pohjalta sen yksinkertaisen säännön joka lie jo syöpynyt selkäytimeemme lähiopetuksen tunneilla ... se varmaankin vaatisi matriisilaskennan syvällisempää ymmärtämistä?