Astrolabin mitoitus

Aiemmin olen demomielessä käsitellyt astrolabin suunnittelua piirtämällä. Rakentamista varten tarvitsemme kuitenkin tarkat mitat. Miten astrolabi mitoitetaan laskemalla Suomen oloihin? Suunnittelun lähtökohtia näkisin kolme:
- paikan maantieteellinen leveys
- levyn halkaisijan suuruus
- deklinaation ääriarvo

Deklinaation ääriarvona esim. -25° olisi riittävä. Tässä valitaan varmuuden vuoksi δmin = -30°.

Levyn halkaisija voisi olla esim. 200 mm. Tämä on materin aukon sisähalkaisija joka on suunnilleen sama kuin reten ulkohalkaisija. Mater on tietýsti hiukan suurempi koska lähes kaikki tulee sen sisään.

Paikan maantieteelliseen leveyteen tarvitsee ottaa kantaa vasta horisonttikoordinaatteja piirrettäessä. Minulle voisi sopia parhaiten φ = 62,5°N koska maatilani sijaitsee sillä leveydellä.


Piirroksessa näemme projisoitavan taivaanpallon ja sen päällä astrolabin tason sivulta. Pohjoinen on ylhäällä. Piste P on taivaanpallolla ja kulma D on sen positiivinen deklinaatio. Taivaanpallon säde on R ja halkaisija 2R

X on se matka keskipisteestä jolle deklinaatio D kuvautuu projektiotasolle.

Kulma A = 90° - D   ja kulma B on taivaanpallon etelänavalla josta taivaanpallo projisoidaan astrolabin tasolle.

On helppo todistaa että B = A / 2   eli   B = (90° - D) / 2
( Pienemmän kolmion kulmien summa   2B + 180° - A = 180°   eli   2B = A )

Piirroksesta voi päätellä että   tan B = X / 2R

Olen edellä päättänyt että astrolabin sisähalkaisija on 200 mm. Tämän mukaan matkan X suurin arvo on Xmax = 100 mm.

Kun   tan B = X / 2R   eli   2R = X / tan B, on deklinaation ääriarvo δmin = -30° ja Xmax = 100 mm niin voidaan ratkaista projisoitavan taivaanpallon suuruus myöhempiä tarpeita varten:

 2R = X / tan ((90° - D) / 2)
2R = Xmax / tan ((90° - δmin) / 2)
2R = Xmax / tan ((90° + 30°) / 2)
2R = Xmax / tan (60°)
2R = 100mm / tan 60°
2R = 57,735 mm

Kun apugrafiikan mittakaava on näin ratkaistu, voidaan mitan 2R avulla laskea deklinaatioympyröiden halkaisijoita astrolabille kaavalla X = 2R * tan B

  D      A     B       X mm
+75°    15°    7,5°    7,6
+60°    30°   15°     15,5
+45°    45°   22,5°   23,9
+30°    60°   30°     33,3
+15°    75°   37,5°   44,3
  0°    90°   45°     57,7
-15°   105°   52,5°   75,2
-30°   120°   60°    100,0

Lineaarisestihan tuo ei mene, mutta eiköhän millin kymmenesosan tarkkuus tässä riitä. Deklinaatio, rektaskensio ja tuntikulma ovat helppoja merkitä koska taivaannapa projisoidaan keskelle astrolabin tasoa.

Ekliptikan merkitsemiseen tarvitaan astrolabin tasolle kaksi pistettä sen kehältä. Ekliptika kuvautuu astrolabin tasolle ympyränä joka kulkee näiden kautta.

Kulma E = 23,44° on ekliptikan kaltevuus ekvaattorin suhteen.

Taivaanpallolta projisoidaan pisteet P ja R joissa ekliptika saavuttaa suurimman ja pienimmän deklinaationsa.

Pisteelle P ekvaattorin pohjoispuolella kulma A = 90° - E ja pisteelle R ekvaattorin eteläpuolella vastaavan tapainen kulma A = 90° + E

Pisteiden etäisyys keskipisteestä ratkaistaan tutulla kaavalla   X = 2R * tan B = tan B * 57,735mm

            D        A       B       X mm
Piste P  +23,44°   66,56°  33,28°  37,9 
Piste R  -23,44°  113,44°  56,72°  88,0

On tärkeää että pisteen R etäisyys keskipisteestä on pienempi kuin Xmax = 100 mm.

Nämä pisteet siis sijaitsevat sillä suoralla joka kulkee astrolabin tasolla ekvaattorin ja ekliptikan napojen kautta. Ekliptika-ympyrän keskipiste on kummastakin pisteestä yhtä kaukana, niiden keskivälillä. Ekliptika-ympyrän säteeksi siis tulee (88,0mm + 37,9mm) / 2 = 63mm

Ekliptika-ympyrän keskipisteen paikka on keskipisteestä 88 - 63 = 25 mm pisteen R suuntaan. Tarkistuksen vuoksi toteamme että tuosta on pisteeseen P sama säteen suuruinen matka 25 + 38 = 63 mm.

Ekliptikan navan paikkaa emme välttämättä tarvitse. Huomautettakoon kuitenkin että astrolabin tason ekliptika-ympyrän keskipiste ei ole sama kuin ekliptikan navan paikka.

Ekliptikalle täytyy merkitä longitudit esim. 10° välein. Niitä ei saa ihan näin yksinkertaisesta pirroksesta. Eräs tapa on tehdä erillinen koordinaatistomuunnos ekliptika- ja ekvaattorijärjestelmien välillä. Aloitetaan vaikkapa koordinaateilla λ = 10° (ja aina β = 0°), lasketaan näitä vastaavat ekvaattorikoordinaatit sekä ratkaistaan ko. pisteen paikka astrolabin tasolla. Pisteen pitäisi osua ekliptikaympyrälle koska β = 0°



Astrolabin tason horisonttiympyrän laskenta on samantapainen kuin ekliptikaympyrän, mutta nyt tarvitaan paikan maantieteellinen leveys.

Ei ole mikään katastrofi jos horisonttiympyrä ei kokonaan mahdu astrolabin sisään, mutta piirtämistä se voi hankaloittaa. Meidän tapauksessame koko horisontti mahtuu astrolabin sisään koska δmin = -30° ja φ = 62,5°N eli 90° + δmin < φ.

Kuvassa F on paikan maantieteellinen leveys φ ja pisteet horisontissa ovat H ja I. Kahden tärkeän pisteen koordinaatti voidaan laskea samalla kaavalla jota edellä käytettiin eli X = 2R * tan B = tan B * 57,735mm

Kulmien suuruudet ovat pisteelle I : A = F ja pisteelle H : A = 90° + 90° - F

            A       B      X mm
Piste I   62,5°   31,25°   35,0
Piste H  117,5°   58,75°   95,1

Horisonttiympyrän säteeksi tulee (35 + 95) / 2 = 65 mm joten sen keskipiste on 30 mm keskipisteestä pisteen H projektion suuntaan.

Korkeusympyrät voidaan konstruoida vastaavalla tavalla kuin horisontti, mutta atsimuuttien merkintä on jälleen hiukan mutkikkaampaa.

Ratkaistaan joitakin altitudiympyröitä (altitudi 0 laskettiin jo edellä)

alt   kulmat A      kulmat B       mitat X mm   säde mm   kp mm
  0°  62,5° 117,5°  31,25° 58,75°  35,0  95,1     65      30
+15°  47,5° 102,5°  23,75° 51,25°  25,4  71,9     48,7    23,2
+30°  32,5°  87,5°  16,25° 43,75°  16,8  55,3     36,1    19,2
+45°  17,5°  72,5°   8,75° 36,25°   8,9  42,3     25,6    16,7 
+60°   2,5°  57,5°   1,25° 28,75°   1,3  31,7     16,5    15,2
+75° -12,5°  42,5°  -6,25° 21,25°  -6,3  22,5      8,1    14,4

Altitudin +75° eka piste siirtyy zeniitin toiselle puolelle jota tässä korostetaan nagatiivisella etumerkillä.

Voisimme ratkaista myös zeniitin projektion paikan koska sitä voisi tarvita atsimuuttien piirrossa. Kulma A = F = 62,5° ja B = 31,25° joten X = 35 mm ja zeniitin suunta piirroksessa oikealle.


Oikealla oleva piirros näyttää miltä ekvaattori ja ekliptika periaatteessa näyttävät astrolabin tasossa.

Suunnat astrolabissa vaativat jonkin verran huomiota. Astrolabi esittää taivaanpallon pohjoisesta ylhäältä päin, eli tavallaan päinvastaisesta suunnasta siihen nähden kuin jos katselemme taivasta maan pinnalta.

Rektaskensio ja longitudi kuitenkin kasvavat vastapäivään. Nollasuunta on kevättasauspisteessä, eli siinä missä ekliptika nousee ekvaattorin pohjoispuolelle eli "yläpuolelle".

Tuntikulma kasvaa myötäpäivään, nollasuunta on etelässä.

Astrolabin tason ekliptikaympyrä on symmetrinen seisauspisteitä yhdistävän suoran suhteen. Niinpä riittää ratkaista siitä puolet. Tasaväliset longitudien koordinaatit ekliptikalla saadaan SolidWorks-ohjelman 3D-mallista lähtien kevättasauspisteestä:

Kulmat lisätty ekliptikalle koska helpompi piirtää niiden avulla
Ekliptika-ympyrän säde piirroksessa 62,9 mm ja keskipisteen x=25,0mm

Ekliptika

lon°    x      y    kulma

  0    0,0   57,8
 10   -8,6   53,2    9,2°
 20  -15,9   47,8   18,5°
 30  -22,1   41,7   27,9°
 40  -27,1   35,2   37,6°
 45  -29,2   31,9   42,5°
 50  -31,1   28,4   47,6°
 60  -34,1   21,5   57,8°
 70  -36,2   14,4   68,4°
 80  -37,5    7,2   79,1°
 90  -37,9    0,0   90

-10    9,9   61,1    9,2°
-20   21,0   62,8   18,5°
-30   33,1   62,4   27,9°
-40   45,7   59,4   37,6°
-45   52,1   56,8   42,5°
-50   58,4   53,4   47,6°
-60   70,0   44,0   57,8°
-70   79,5   31,5   68,4°
-80   85,8   16,5   79,1°
-90   88,0    0,0   90

Tasauspisteet ovat Right -tasossa ja seisauspisteet Front -tasossa.

Koordinaattien ratkaisu SolidWorks-mallin avulla tapahtuu yksinkertaisesti mitoittamalla kulma apugrafiikan ekliptikalle. Tässä kulma on 45° ennen kevätpäivänseisausta, eli longitudi on -45° ja latitudi nolla.

Sitten mallissa vaihdetaan sketsiä 3D-sketsin jälkeiseen sketsiin ja projisoidun pisteen koordinaatit ovat välittömästi luettavissa. Apugrafiiikka ja 3D-mallin relaatiot pitävät huolta siitä että projisoitu piste siirtyy uutta longitudia vastaavaan paikkaan tasolla.

Horisonttikoordinaattien ratkaisu on työläämpää, sillä atsimuutit täytyy laskea kaikille altitudeille.

Horisonttikoordinaateissa vertailusuuntana on etelä-pohjoinen. Tämän suunnan suhteen koordinaatisto on symmetrinen. Olkoot SolidWorks -mallissa Right -taso etelä-pohjoinen-suunnassa.

Tässä ei erikoisesti kiinnitetä huomiota etumerkkeihin koska merkit täytyy valita tilanteen mukaan.

Horisontti etelästä myötäpäivään (Toinen puoli symmetrinen)

 Az°   x      y
  0   95,1    0,0
 10   92,5  -18,4   11,2°
 20   85,0  -34,9   22,3°
 30   73,9  -48,1   33,1°
 40   60,7  -57,4   43,4°
 45   53,8  -60,6   48,4°
 50   46,8  -62,9   53,3°
 60   33,3  -65,0   62,9°
 70   20,8  -64,4   72,1°
 80    9,7  -61,8   81,1°
 90    0,0  -57,7   90

100   -8,2  -52,6   98,9°
110  -15,1  -46,9  107,9°
120  -20,8  -40,6  117,1°
130  -25,4  -34,1  126,7°
135  -27,3  -30,8  131,6°
140  -29,0  -27,4  136,6°
150  -31,7  -20,6  146,9°
160  -33,6  -13,8  157,7°
170  -34,7   -6,9  168,8°
180  -35,0    0,0  180

Horisonttiympyrän säde 65,1
Keskipiste x = 30,05 y = 0

Ekvaattoriympyrän halkaisijaksi tulee 115,5 mm ja latitudin φ = 62,5° horisonttiympyrän halkaisijaksi 130,2 mm


Miten luodaan piirros jolla astrolabin horisonttikoordinaatisto mitoitetaan?

Lähtökohtana on se että astrolabin sisäosa on tietyn mittainen ja tietyn minimideklinaation täytyy näkyä siinä. Tässä 200mm levyllä täytyy näkyä δ = -30°.

Niinpä Top -tason alla olevan apupiirroksen taivaanpallon ympyrän koko mitoitetaan niin että deklinaatio -30° projisoituu halkaisijaltaan 200 mm levyn reunaan.

Horisonttikoordinaattien symmetriatasona on pohjoisen taivaannavan ja paikan zeniitin kautta kulkeva taso, piirroksessa Front -taso. Paikan maantieteellinen leveys on tässä 62,5°N

Apupiirroksen avulla tehdään horisonttitaso niin että ympyrän sisään piirretään sopivaan kulmaan akseli ja ainakin yksi piste sitä vasten kohtisuorasta viivasta. Uusi taso luodaan akselia vasten kohtisuorana tasona joka kulkee horisonttia vastaavan pisteen kautta.

Horisonttitasoon tehdään ympyrä joka sivuaa apuympyrän ja keskipisteet yhtyvät. Horisonttitasoon mitoitetaan haluttu kulma (atsimuutti) etelän suunnasta ja piste ympyrän kehälle.

3D-sketsissä luodaan viiva joka lähtee taivaanpallon etelänavasta ja kulkee horisonttitason ympyrän kehällä olevan pisteen kautta Top -tasolle. Näin horisontin piste projisoidaan astrolabin tasolle stereograafisella projektiolla.

Horisonttitason ympyrän kulmaa voidaan muuttaa askeleittain. Relaatioiden ansiosta suoran ja tason leikkauspiste astrolabin tasolla siirtyy tällöin vastaavasti ja sen koordinaatit voidaan lukea.

Muita altitudeja varten voidaan luoda uusia tasoja. Apupiirrokseen luodaan viiva akselia vasten kohtisuoraan siten että viivan ja apuympyrän leikkauspiste näkyy apuympyrän keskipisteeseen sopivassa kulmassa (altitudi). Tämän mukaan luodaan uusi taso kohtisuorassa akselia vasten ja tasolle apuympyrä jonka kehän pisteet näkyvät Front -tason apuympyrän keskipisteeseen halutun altitudin suuruisessa kulmassa.


Edellä laskettu altitudijako (15-30-45-50-75) on erilainen. Kuvassa oli 30 ja tässä 20

20° altitudin pisteet, kulma etelästä myötäpäivään

         x      y   
  0°   65,8    0,0   
 10°   64,5  -10,8    9,5°
 20°   60,7  -20,7   18,9°
 30°   54,8  -29,2   28,1°
 40°   47,4  -35,9   37,2°
 45    43,3  -38,5   41,6°
 50°   39,1  -40,6   46,1°
 60°   30,5  -43,2   54,8°
 70°   22,1  -44,1   63,4°
 80°   14,2  -43,5   71,9°
 90°    7,0  -41,6   80,5°
100°    0,6  -38,8   89,2°
110°   -5,1  -35,1   98,2°
120°   -9,8  -30,9  107,6°
130°  -13,8  -26,3  117,7°
135   -15,5  -23,8  123,0
140°  -17,0  -21,3  128,5°
150°  -19,4  -16,2  140,2°
160°  -21,1  -10,8  152,8°
170°  -22,1   -5,4  166,2°
180°  -22,5    0,0  180

Altitudiympyrän säde 44,1
keskipiste x=21,7 y=0,0
40° altitudin pisteet, kulma etelästä myötäpäivään

kulma
altitudissa            astrolabin tasolla
          x      y
  0°    46,3    0,0     0,0°
 10°    45,6   -6,3     7,8°
 20°    43,6  -12,2    15,7°
 30°    40,4  -17,5    23,4°
 40°    36,3  -21,9    31,1°
 45     34,0  -23,7    34,9
 50°    31,5  -25,2    38,7°
 60°    26,4  -27,5    46,2°
 70°    21,1  -28,7    53,7°
 80°    15,9  -28,9    61,2°
 90°    10,9  -28,2    68,8°
100°     6,3  -26,7    76,7°
110°     2,2  -24,6    84,9°
120°    -1,4  -21,9    93,7°
130°    -4,5  -18,8   103,4°
135     -5,8  -17,2   108,7
140°    -7,0  -15,4   114,4°
150°    -9,0  -11,8   127,3°
160°   -10,4   -8,0   142,5°
170°   -11,2   -4.0   160,3°
180°   -11,5    0,0   180,0°

Altitudiympyrän keskipiste x=17,4 y=0,0
ympyrän säde 28,9 halkaisja 57,82
60° altitudin pisteet, kulma etelästä myötäpäivään

kulma
altitudissa            astrolabin tasolla
          x      y
  0°    31,7    0,0     0
 10°    31,3   -3,3    11,4°
 20°    30,4   -6,4    22,7°
 30°    28,9   -9,2    34,0°
 40°    26,8   -11,7   45,1°
 45     25,7   -12,7   50,6°
 50°    24,4   -13,7   56,0°
 60°    21,7   -15,1   66,7°
 70°    18,9   -16,1   77,2°
 80°    15,9   -16,5   87,5°
 90°    13,1   -16,3   97,5°
100°    10,3   -15,7  107,3°
110°     7,8   -14,7  116,9°
120°     5,5   -13,3  126,3°
130°     3,5   -11,5  135,5
135      2,6   -10,6  140,1°
140°     1,8    -9,5  144,6°
150°     0,5    -7,3  153,6°
160°    -0,5    -5,0  162,4°
170°    -1,1    -2,5  171,2°
180°    -1,3     0,0  180

Altitudiympyrän keskipiste x=15,2 y=0,0
ympyrän säde 16,5


Valitettavasti konseptit ovat nyt hiukan sekaisin kun työtä on tehty useassa osassa. Toivottavasti tilanne tästä vielä selkiintyy ...


Astrolabin mitoitus on parasta tehdä niin että tärkeisiin pistesiin mitataaan kulmat isonympyrän keskipisteestä. Horisonttiympyröiden keskipisteet ja säteet merkittävä ylös, ehkä säteetkin. Koordinaateilla toimiminen olisi ehkä hankalaa, vaatisi millimetripaperin?

Piirros tuotti horisonttiympyrän säteeksi 65,1mm ja keskipisteen x=30,1mm
Piirroksessa altitudi 60° säde 16,5 ja keskipisteen x=15,2 Korkeampia altitudeja ehkä turha piirtää

alt   kulmat A      kulmat B       mitat X mm   säde mm   kp mm
  0°  62,5° 117,5°  31,25° 58,75°  35,0  95,1     65      30
+20°  42,5   97,5   21,25  48,75°  22,5  65,8     44,1    21,7
+40°  22,5   77,5   11,25  38,75°  11,5  46,3     28,9    17,4
+60°   2,5°  57,5°   1,25° 28,75°   1,3  31,7     16,5    15,2

Longitudit ekliptikalla lähtien kevättasauspisteestä

lon   kulma    x     y
  0°   0      0,0  57,7
 10°   9,2°  -8,6  53,2
 20°  18,5° -15,9  47,8
 30°  27,9° -22,1  41,7
 40°  37,6° -27,1  35,2
 45   42,5° -29,2  31,9
 50°  47,6° -31,1  28,4
 60°  57,8° -34,1  21,5
 70°  68,4° -36,2  14,4
 80°  79,1° -37,5   7,2
 90°  90°   -37,9   0,0
100° 100,9° -37,5  -7,2
110° 111,6° -36,2 -14,4
120° 122,2° -34,1 -21,5
130° 132,5° -31,1 -28,4
135  137,5° -29,2 -31,9
140° 142,4° -27,1 -35,2
150° 152,1° -22,1 -41,7
160° 161,5° -15,9 -47,8
170° 170,8°  -8,6 -53,2
180° 180      0,0 -57,7


Horisonttikoordinaatit ekvaattorikoordinaateissa ; käytännössä lienee helpointa määrittää altitudiympyrän keskipiste, säde ja atsimuutin kulma ympyrän kehällä.

Maantieteellinen leveys φ = 62,5°

Uloin ympyrä halk. 200mm

Kulmat etelästä (tässä ei ole pisteiden koordinaatteja)

ympyrä   65,1mm   44,1mm   28,9mm   16,5mm    5,4mm
keskix   30,1mm   21,7mm   17,4mm   15,2mm   14,2mm
altitudi  0       20°      40°      60°      80°
Az
  0°      0        0        0        0        0
 10°     11,2°     9,5°     7,8°    11,4°    10,4°
 20°     22,3°    18,9°    15,7°    22,7°    20,9°
 30°     33,1°    28,1°    23,4°    34,0°    31,3°
 40°     43,4°    37,2°    31,1°    45,1°    41,6°
 45      48,4°    41,6°    34,9     50,6     46,8
 50°     53,3°    46,1°    38,7°    56,0°    51,9°
 60°     62,9°    54,8°    46,2°    66,7°    62,2°
 70°     72,1°    63,4°    53,7°    77,2°    72,3°
 80°     81,1°    71,9°    61,2°    87,5°    82,4°
 90°     90       80,5°    68,8°    97,5°    92,5°
100°     98,9°    89,2°    76,7°   107,3°   102,4°
110°    107,9°    98,2°    84,9°   116,9°   112,3°
120°    117,1°   107,6°    93,7°   126,3°   122,1°
130°    126,7°   117,7°   103,4°   135,5°   131,9°
135     131,6    123      108,7    140,1    136,7
140°    136,6°   128,5°   114,4°   144,6°   141,6°
150°    146,9°   140,2°   127,3°   153,6°   151,2°
160°    157,7°   152,8°   142,5°   162,4°   160,8°
170°    168,8°   166,2°   160,3°   171,2°   170,4°
180°    180      180      180      180      180

Taulukossa on mukana myös kulmat 45° ja 135° koska koordinaatit ehkä halutaan piirtää 45° välein, eikä 10° tai 30° välein.


Näissä kokeiluissa ei ole muodostettu mitään piirteitä vaan kaikki on "apugrafiikkaa". Apugrafiikan avulla tehdään koordinaatistomuunnos ja ratkaistaan mm. horisonttikoodinaattien piirrossa tarvittavat arvot. Horisonttikoordinaatit on helpompi piirtää sillä tavalla että piirretään astrolabin tasolle ympyrät ja kulmamitan avulla merkitään tärkeät pisteet ympyrän kehälle. Tällöin ei tarvita pisteiden x- ja y-koordinaatteja. Kulmat mitataan kunkin altitudiympyrän keskipisteestä, ei astrolabin keskipisteestä. Horisonttikoordinaattien hila on symmetrinen joten vain puolet tarvitsee laskea ; toinen puoli on peilikuva symmetria-akselin suhteen.

Front-tasossa on apupiirros, ympyrä joka sivuaa Top-tasossa olevaa astrolabin tasopintaa pohjoisnavallaan. Projisointipiste on ympyrän etelänavalla. Tällaisena apuympyrä sopii ekvaattorikoordinaattien projisointiin. Horisonttijärjestelmään liittyvä lisäys tehdään Front-tason apuympyrään tavallaan kallistamalla horisonttitasoa ekvaattoriin nähden 90° - paikan maantieteellinen leveys, tässä kulmalla 90° - 62,5° = 27,5°

Astrolabi
Projekteja
PÄÄSIVU