| << | #04 ; Preliminär numerik |
>> |
Så vitt jag har förstått, borde man i fysiken få den kraft FD luftmotståndet riktar till kulan genom formeln
FD = 1/2 · ρ · v2 · A · CD
Där olika förkortningar har följande betydelse:
ρ = luftens täthet, enhet kg/m3, normalt 1,225 kg/m3 v = kroppens hastighet i jämförelse med luften, enhet m/s A = kroppens vinkelrät frontal areal m2, i "pannan" CD = luftmotståndets koefficient
Fysiken berättar oss också det att den ballistiska koefficienten, som allmänt kallas för BC, och som jag här markerar litet kryptiskt med CBC_i_fysik, har följande relation till luftmotståndets koefficient CD
CBC_i_fysik = M / ( A · CD )
Där har jag använt förkortningen CBC_i_fysik för BC så som man förstår det inom fysiken och M för kroppens massa i kg. Det här betyder ju det att om man känner till BC, då kan man lösa CD genom att skriva formeln om så här
CD = M / ( A · CBC_i_fysik )
Nu kan vi använda CD i den första formeln för att få ett enklare uttryck för luftmotståndets kraft
FD = 1/2 · ρ · v2 · A · M / ( A · CBC_i_fysik )
Arealen A är den samma på båda sidorna av divisionsstrecket, så att vi får en enklare formel
FD = ρ · v2 · M / ( 2 · CBC_i_fysik )
Beroende på problematiken vi vet också på grund av Newtons kända lag F = m · a att skottets negativa acceleration (enhet m/s2) måste vara a = FD / M . Alltså vi får en förenklad formel för kulans negativa acceleration:
a = - FD / M = - ρ · v2 · M / ( 2 · CBC_i_fysik · M ) = - ρ · v2 / ( 2 · CBC_i_fysik )
Där har massan M och arealen A försvunnit totalt från formeln. Är det inte litet oroväckande! Borde inte kulans massa och arealen "i pannan" ha någon inverkan till accelerationen? Man skall ändå komma ihåg att både kulans massa och arealen är inkluderade i den ballistiska koefficienten CBC_i_fysik, eller BC som det bättre känns i fysiken. Enheten för BC är i fysiken kg/m2 som visar klart att både massan och arealen är beaktade.
Det skulle vara lätt att antaga att man menar samma sak när man talar om BC i fysiken och BC i ballistiken. Det finns emellertid ett problem här. Man talar om BC både i fysiken och i ballistiken, men de är inte samma.
Ett litet exempel kan åskådliggöra meningsskiljaktigheten. Vi vet ju att det valda skottets hastighet är i början 830 m/s och i 600 meters avstånd 604 m/s. Det tar alltså mindre än en sekund för kulan att röra sig 600 meter. Samtidigt minskar hastigheten 226 m/s. Men vi kommer troligen att få bättre resultat för en kortare sträcka, 300meter. Några enkla formler från kinematiken kan vara av hjälp:
v = s / t ; i jämn fart v = (medel)hastigheten i m/s s = sträckan i meter t = tiden i sekunder v = a · t ; i jämn acceleration a = ( v1 - v0 ) / t a = (medel)accelerationen i m/s2 v0 = hastigheten för tidpunkt t0, alltså i början v1 = hastigheten för en senare tidpunkt t1
I distansen 300 meter är hastigheten 711 m/s. Den genomsnittliga hastigheten från början till 300 m är ungefär 770 m/s, om vi antar att hastigheten minskar jämnt. Med den medelhastigheten flyger kulan 300 meter i ungefär 0,39 sekunder. Den genomsnittliga accelerationen måste alltså vara cirka ( 711 m/s - 830 m/s ) / 0,39 s = -305 m/s2. Också den negativa accelerationen i början borde vara ungefär -310 m/s2. Resultatet är nog grovt, med sanningen borde ändå vara av denna storleksordning.
Om man dumt och obetänksamt utgår från att den BC som ballistiken anger till kulan betyder just det samma BC som fysiken syftar i formeln, vad får man då? Man inbillar sig oeftertänksamt att
CBC_i_fysik = CBC_i_ballistik ; BC samma både i fysik och i ballistik? ( Å nej nej! )
Hur mycket får man då för kulans acceleration i början? Vi kan räkna den originala accelerationen a0 när vi har valt den ovannämda kulan från Lapua. Vi kommer ihåg att enheten för BC är kg/m2. Lapua ger BC = 0,785 och vi skall (felt!) antaga att det är den BC som fysikens formel menar.
a0 = - ρ · v02 / ( 2 · CBC_i_fysik ) = - 1,225 kg/m3 · ( 830 m/s )2 / ( 2 · 0,785 kg/m2 ) = - 1,225 · 8302 / 1,570 m/s2 a0 blir omkring -537500 m/s2
Resultatet är ju helt absurdt. Kulan flyger flera hundratals meter i en sekund, men med den här accelerationen skulle kulan efter några millisekunder redan flyga snabbt baklänges. Kulan skulle byta riktningen i flyget och göra ett hål i skyttarens egen panna. Men det gör det ju inte. Hålet skall ju uppstå i någon annans än skyttarens panna.
Vad den noggranna relationen mellan fysikens och ballistikens BC faktiskt är, det vet jag tills vidare inte. Baserad på skottets acceleration i början kan jag bara grovt värdera att
CBC_i_fysik = 1700 · CBC_i_ballistik ; Antagligen ett grovt värde!
Det ser ut så att vi kan få kulans negativa acceleration från kända uppgifter ρ, v och BC. Accelerationen är hastighetens första tidsderivata och positionens andra tidsderivata. Vi har följande uppgifter att starta med:
CBC_i_fysik = omkring 1700 gånger det BC som ballistiken anger, enhet kg/m2 v0 = kulans hastighet i början i m/s ρ = luftens täthet, kan normalt antas vara konstant 1,225 kg/m3
I början är sträckan s0 = 0 och tiden t0 = 0. Vi kan använda tidsteget tex. Δt = 10 ms, alltså tusendedels sekunder.
För att räkna accelerationen behöver vi egentligen enbart den variabla hastigheten v, samt BC och ρ som vi antar hålla sig konstanta. Som resultat får vi kulans hastighet i tidsintervaller samt sträckan som kulan har flugit till dess. Vi kommer alltså inte att få direkt kulans hastighet för vissa jämna sträckor som 10 meter, 20 meter, 30 meter osv. Vi ignorerar tyngdkraftens verkan på kulan tills vidare.
Vi startar Runge-Kutta med följande information
x0 = t0 = 0 s h = Δt = 0,01 s y0 = s0 = 0 m y'0 = v0 = 830 m/s
Accelerationen kan vi räkna vid behov y´´(x, y, y') = a(t, s, v) där vi i praktiken inte kommer att behöva tiden t eller sträckan s, för de har ingen fysikalisk inverkan till accelerationen. BC och ρ kan vi tills vidare hålla konstanta. Först n=0 och från y'n, yn får vi stegvis nya resultat y'n+1, yn+1
I RK är xn här stegets tid, som växer med konstant h eller Δt för varje steg.
Då när vi har tillräckligt med resultat, kan vi från dessa interpolera kulans hastighet tex. i 100m, 200m, 300m osv. och jämföra med fabrikens uppgifter.
Vi måste tills vidare antaga att ungefärligt gäller CBC_i_fysik = 1700 · CBC_i_ballistik
Lapua Scenar GB528, cal .338 (8,59mm), vikt 19,44 gramm, v0 = 830 m/s Ballistisk BC = 0,785 ; alltså i fysiken gäller ungefär BC = 1335 kg/m2
Till slut önskar vi uppnå ungefär följande resultat:
sträcka farten ------- ------- 300 m 711 m/s 600 m 604 m/s 900 m 507 m/s 1200 m 422 m/s
Vi skall emellertid minnas att det kan alltid vara fel ±0,5 m/s i värden som dessa.
Nästa steg i vår kära lilla projekt kommer att bli att bygga JavaScript-programmet för att förverkliga allt detta.