<< | #481 ; La iom ĝena fiziko de Sunsistemo |
>> |
La antaŭa artikolo pri la kalkula metodo en la lernolibro de ĉiela mekaniko kaŭzis por mi grandan intelektan krizon. Klare la popularaj kalkulaj metodoj de amatoroj estas pli facilaj por uzi ol la fizike pravigitaj metodoj de lernolibroj. Mi lernu pensi pli fizike?
Mi devas regresi al mia malnova inĝeniera fizika lernolibro por pli bone kompreni la situacion. Tie mi trovas la valoron por la gravita konstanto G.
G = 6,67259·10-11 N·m2 / kg2
Uzante la gravitan konstanton G oni povas esprimi la gravitan forton Fg inter du masoj m1
kaj m2
kies reciproka distanco estas r
jene:
m1 · m2 Fg = G · ---------- r2
En fiziko la unuoj por la masoj estas kilogramoj (kg) ; tio produktas por la numeratoro kg2. La unuo por distanco estas metro (m) kaj la kvadrato r2 produktas por la denominatoro m2. Sekve estas la unuo de forto N, aŭ Newton, kio restas el la gravita konstanto. Ĉio do en ordo.
La tria leĝo de Kepler temas pri rondiro de planedo ĉirkaŭ la Suno. En inĝeniera fiziko oni simple supozas ke la orbitoj estas cirkloj kaj tial oni uzas kiel distanco la radiuson de cirklo r
. Estu mSuno la maso de Suno kaj mplanedo la maso de planedo, kaj r
la (meza) distanco inter ili.
Ni ja scias la bazan formulon ke egalas F = m · a
, forto egalas maso multiplikita kun akcelo. En rondiro oni tamen uzas radian akcelon. La radia akcelo estas ar = v2 / r
kie v
estas la rapido en orbito. Do estas dua forto F = m · ar = m · v2 / r
kaj ni povas skribi la du fortoj egalaj ĉar temas pri ekvilibro de la gravito kaj la inercio de maso:
mSuno · mplanedo v2 G · ---------------- = mplanedo · ---- r2 r
Ĉi tion formulon eblas simpligi tiel ke la maso de planedo malaperas.
G · mSuno v2 ---------- = ---- r2 r
La rapido de planedo en orbito estas v = 2·π·r / P
, kie P estas la periodo, la rondira ciklo kaj 2·π·r
estas la ĉirkaŭmezuro de cirklo en radianoj. Tial ni povas skribi la saman formulon jene (post ioma eraro kaj plia pensado):
G · mSuno (2·π·r / P)2 ---------- = ------------ r2 r
Kaj ankaŭ jene:
G · mSuno 22 · π2 · r2---------- = ------------ r2r ·P2
Kaj pli simple:
G · mSuno 22 · π2 · r ---------- = ------------ r2 P2
Ni volas solvi la formulon por la periodo P. Ni do aranĝas la variantojn denove.
22 · π2 · r3 P2 = -------------- G · mSuno
Kaj tial ni povas skribi:
2 · π · r3/2 P = --------------- ( G · mSuno )1/2
Ĉi tio certe ne estas tute alia ol la formulo en la lernolibro de Karttunen, kio tamen uzas la mezan distancon a
anstataŭ r
kaj por la gravita konstanto simbolon γ anstataŭ G.
μ = γ · ( m1 + m2 ) 2*π * a3/2 2*π * a3/2 P = ----------- = ------------------ μ1/2 (γ · ( m1 + m2 ))1/2
La lernolibro tamen uzas sumon de masoj anstataŭ la mason de Suno sole. Nu, klare la masoj de planedoj estas relative malgrandaj.
Mi volas pensi pri la unuoj en la formulo por P2. La unuo de G ja estas N·m2 / kg2
kaj forton de Newton ni povas skribi 1 N = 1 kg·m / s2
. Tial ni povas skribi la unuon de G jene:
kg · m · m2 m3 ------------- = --------- s2 · kg2 s2 · kg
En la formulo por P2 oni multiplikas G kaj maso kaj tial la unuo 1/kg
malaperas. La m3
en la denominatoro detruas la unuon de r3 en la numeratoro. Nur restas la unuo 1 / s2
kio estos la unuo sekundo por la varianto P. Bone, ĉio en ordo. Periodo P estas en sekundoj.
Mia malnova lernolibro de inĝeniera fiziko donas tabelon pri masoj, distancoj kaj periodoj de planedoj. La libro tamen kalkulas sen la maso de planedo kaj kun nur tri signifaj numeroj. Do eble ne tre utila tabelo. Nu, mi volas ĝin tamen iom testi.
Planedo | Maso [kg] en kilogramoj | Meza distanco el Suno [m] en metroj | Periodo [s] en sekundoj |
Merkuro | 3,18 · 1023 | 5,79 · 1010 | 7,60 · 106 |
Venuso | 4,88 · 1024 | 1,08 · 1011 | 1,94 · 107 |
Tero | 5,97 · 1024 | 1,50 · 1011 | 3,16 · 107 |
Marso | 6,42 · 1023 | 2,28 · 1011 | 5,94 · 107 |
Jupitero | 1,90 · 1027 | 7,78 · 1011 | 3,74 · 108 |
Saturno | 5,68 · 1026 | 1,43 · 1012 | 9,35 · 108 |
Urano | 8,68 · 1025 | 2,87 · 1012 | 2,64 · 109 |
Neptuno | 1,03 · 1026 | 4,50 · 1012 | 5,22 · 109 |
La inĝeniera fizika libro tamen ne uzas la masojn de planedoj por kalkulado, nur la mason de Suno. Ili uzas la "konstanton de Kepler" KA :
4 · π2 P2 = ---------- · r3 = KA · r3 G · mSuno
Ili kredeble uzas por la maso de Suno la valuon mSuno = 1,99 · 1030 kg
kaj ili kalkulas la valuon de KA jene:
4 · π2 KA = ---------- = 2,97 · 10-19 · s2 / m3 G · mSuno
Kaj tial eblas kalkuli la periodon de planedo kun la valuo KA simple el la distanco (metroj):
P2 = KA · r3
Aŭ pli simple uzante kvadratan radikon:
P = (KA · r3)1/2
La lernolibro de Karttunen donas iom pli akuratan mason por la Suno mSuno = 1,989 · 1030 kg
kaj se ni uzas la provizore plej bonan valuon de gravita konstanto G = 6,67259 · 10-11 · N·m2/kg2
ni eble povus kalkuli iom pli akurate.
4 · π2 4 · π2 KA = ---------- = ------------------------------------ G · mSuno 6,67259·10-11·N·m2/kg2 * 1,989·1030kg 4 · π2 = ------------------------------- 1,327178·1020·(kg·m/s2)·m2/kg 4 · π2 = --------------------- 1,327178·1020·m3/s2 = 2,9746·10-19 · s2/m3
La praktika signifo tamen ne estas granda. Certe mi kontrolis la periodojn en la tabelo. La rezultoj estas proksimume la samaj, kvankam mi kalkulis la periodojn iom aliaj: por Tero 3,17·107s, por Saturno 9,33·108s, por Urano 2,65·109s kaj por Neptuno 5,21·109s, kun 3 signifaj numeroj.
Tamen oni ne rajtas ignori la masojn de grandaj planedoj, kiel Jupitero kaj Saturno, se oni volas kalkuli pli akurate.
Evidente estas iom tedie por kalkuli kun la bazaj unuoj de fiziko. Ĉu ni vere volas scii la distancon de planedo en metroj kaj la periodon de planedo en sekundoj? Klare ni volas kalkuli kun pli bonaj unuoj kaj pli akurataj valuoj.
La inĝeniera fiziko tamen estas tro multe simpligita por la tasko. Fakte temas pri vektoroj, kaj ne odinaraj numeroj. La fortoj de gravito kaj inercio kiel vektoroj efikas al kontraŭaj direktoj. Fakte la distanco r
estas longo de vektoro r ; r = |r|
.
Ni rajtas ankaŭ pensi pri la centro de koordinatoj. Ordinare ni eble pensas ke la centro de Suno estas la centro de tuta Sunsistemo. Tamen ankaŭ la planedoj iom influas al la loko de Suno per sia gravito. La centro de maso de Sunsistemo ne estas precize en la centro de Suno. Ni tamen apenaŭ povas pensi pri la influo de aliaj planedoj al la situo de Suno kiam ni pensas nur la Sunon kaj unu el la planedoj.
Fizika kalkulado por Sunsistemo estas iom malprudente. Prefere ni returnu al la bonaj astronomiaj metodoj kioj estas plej konvenaj por amatoroj.
Certe estas pli racie por kalkuli kiel Oliver Montenbruck, kiu donas la kun 10 numeroj akuratan gravitan konstanton en pli bonaj kaj uzeblaj unuoj, distancon en astronomiaj unuoj, mason en masoj de Suno kaj la daŭron de periodo en teraj diurnoj (d):
(AU)3 G = 2,959122083 · 10-4 · ------------ mSuno · d2
Li ankaŭ donas la bonan astronomian formulon kio estas pli facila por kalkuli, kun konvenaj unuoj:
a3 (mSuno + mplanedo) ---- = G · ------------------ P2 4 · π2
El tio formulo ni povas solvi la kvadraton de periodo de planedo:
a3 · 4·π2 P2 = ---------------------- G · (mSuno + mplanedo)
Ekzemple por Jupitero la libro de Karttunen donas la mason 1/1034 da masoj de Suno. La sumo de masoj mSuno + mplanedo
do estas proksimume 1,000967 masoj de Suno. Se egalas la meza distanco de Jupitero el Suno a = 5,2032 AU
ni povas kalkuli la kvadraton de periodo:
a3 · 4·π2 P2 = ---------------------- G · (mSuno + mplanedo) 4·π2 · (5,2032 AU)3 = ------------------------------------------------ 2,959122083·10-4·(AU)3/(mSuno·d2) * 1,000967·mSuno 4·π2 · 5,20323 = ----------------------------- 2,959122083·10-4/d2 * 1,000967 = 18775376 d2
Kaj la rezulto por la periodo de Jupitero estas proksimume P = 4333 diurnoj, kio korespondas al proksimume 11,863 jaroj.
Kaj certe fine ..........
NI VENKOS!
La Ambasadoro en Finnlando de sendependa nacio Mueleja Insulo |