<< | #480 ; Iom pli pri la kalkulaj metodoj de Sunsistemo |
>> |
Ni ja jam antaŭe pritraktis simplajn praktikajn kalkulajn metodojn de nia Suno, la Luno kaj de planedoj, ekster Tero - por ni la plej gravaj objektoj de Sunsistemo. Eblas tute mem kalkuli la rezultojn, jen la granda ideo. Ni estu sendependaj, ni komprenu mem, ni mem kalkulu. Ni ne bezonas la tiel nomitan "artefaritan intelekton". Ni ja posedas nian propran intelekton.
La apude fotita finna libreto (fakte de verdaj - ne bluaj - kovriloj) "Johdatus taivaanmekaniikkaan" (Esperante "Enkonduko al ĉiela mekaniko") de Hannu Karttunen el jaro 1980 certe estas plejparte solene teoria lernolibro de ĉiela mekaniko. Ĝi tamen enhavas ankaŭ simplan praktikan metodon por kalkuli la suncentrajn koordinatojn de planedoj kaj tial ĝi estas interesa. Nu, ĉiuokaze ĝi nepre estu parto de kalkula historio de astronomio por la amatoroj de Finnlando.
Unue mi prezentu el la libreto la kalkulan metodon de JD (por 12 horoj UT) kio uzas entjeran dividon (/), kiel ordinare. Ekzemple 7/2 = 3 kun divida restaĵo 1, kion ni tamen tute ignoras. Ĉar egalas ja 7 = 2*3 + 1. Uzu ĝin nur por modernaj datoj. La varianto Y estas la jaro, M estas la monato kaj D estas la tago de monato.
JD(Y,M,D) = 367*Y - 7*(Y + (M+9)/12)/4 - 3*((Y + (M-9)/7)/100 + 1)/4 + 275*M/9 + D + 1721029
La kalkula metodo de libro estas pli teoria kaj "fizika" ol ordinare, sed apenaŭ pli akurata, ĉar temas pri konstantaj orbitaj elementoj. Oni ignoras la gravitan influon kion la grandaj planedoj efektivigas unu al la aliaj.
Ni komencu la kalkulan metodon: Ni bezonas la sekvantan informon: "gamma" γ estas la gravita konstanto kaj m1 + m2
estas la sumo de masoj por la Suno kaj la planedo. Maso de Suno estas 1,989*1030 kg. Aldone ni bezonas la informon: "my" μ = γ * ( m1 + m2 )
.
Unue ni kalkulu la periodon de planedo el formulo P = 2*π * a3/2 * μ-1/2
kie la varianto a
estas la meza distanco de planedo el la Suno en Astronomiaj Unuoj [AU].
Sekve ni kalkulu (prefere uzante JD-valuoj) la tempon kio pasis je koncerna tempo t
post la perihelia tempo τ
de planedo. Tio intervalo estas: t - τ
kaj el tio ni kalkulu la mezanomalion M
:
t - τ M = 2*π * ------- P
Sekve ni solvu la ekvacion de Kepler ( E - sin E = M
) por la varianto E.
Ni solvu la naturan anomalion f
el la formulo:
f = arctan2 ( (1-e2)1/2 * sin E , cos E - e )
... kie ni uzas la funkcion α = arctan2( Y , X )
kio returnas la angulon α
rekte al la korekta kvadranto.
La distanco de planedo [en unuoj AU] el la Suno estas r:
a * ( 1-e2 ) r = --------------- 1 + e * cos f
La koordinatoj f
kaj r
jam esprimas la suncentran lokon de planedo en sia propra orbita ebeno. Ni tamen povas kalkuli la rektangulajn ξηζ -koordinatojn sur la orbita ebeno.
ξ = r * cos f η = r * sin f ζ = 0
La loko de planedo en rektangulaj ekliptikaj koordinatoj (x,y,z) kiel vektoro estas kiel multipliko de matrico kaj vektoro (ξ,η,ζ) jena:
| x | | ξ | | y | = T * | η | | z | | ζ |
Kaj la 9 elementoj de 3*3 matrico T estas kalkulitaj el la orbitaj elementoj de planedo:
| cosΩ * cosω - sinΩ * sinω * cosι -cosΩ * sinω - sinΩ * cosω * cosι 0 | T = | sinΩ * cosω + cosΩ * sinω * cosι -sinΩ * sinω + cosΩ * cosω * cosι 0 | | sinω * sinι cosω * sinι 0 |
Nature ni bezonas la orbitajn elementojn por la kalkulado. Ili estas por epoko (kaj kredeble ekvinokso) 07.05.1979, JD 2444000,5 (do por 0h UT)
Planedo | Maso, en masoj de Suno | Meza distanco el Suno | Elcentreco de orbito | Inklinacio de orbito | Longitudo de supreniranta nodo | Argumento de perihelio | Perihelia tempo |
m [mSuno] | a [AU] | e | ι [°] | Ω [°] | ω [°] | τ | |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Merkuro | 1 / 5873000 | 0,3871 | 0,2056 | 7,0044 | 48,0865 | 29,0476 | 31.05.1979 |
Venuso | 1 / 402600 | 0,7233 | 0,0068 | 3,3944 | 76,4939 | 54,7865 | 12.08.1979 |
Tero | 1 / 328900 | 1,0000 | 0,0167 | 0,0 | 0,0 | 102,5852 | 04.01.1979 |
Marso | 1 / 3045000 | 1,5237 | 0,0934 | 1,8498 | 49,3982 | 286,2806 | 18.03.1979 |
Jupitero | 1 / 1034 | 5,2032 | 0,0479 | 1,3056 | 100,2259 | 274,0738 | 12.08.1975 |
Saturno | 1 / 3455 | 9,5810 | 0,0569 | 2,4865 | 113,5021 | 341,7243 | 08.01.1974 |
Urano | 1 / 22530 | 19,2197 | 0,0495 | 0,7714 | 74,0087 | 96,7252 | 20.05.1966 |
Neptuno | 1 / 19010 | 30,0192 | 0,0092 | 1,7727 | 131,5283 | 290,3706 | 02.09.1876 |
Plutono | 1 / 164500000 ? | 39,7024 | 0,2523 | 17,1372 | 109,9111 | 113,0594 | 24.09.1741 |
La kalkula metodo ja produktas rekte nur la suncentrajn koordinatojn. Evidente la metodo kalkulas angulojn en radianoj, kvankam estas gradoj en la supra tabelo.
Estas ioma problemo por testi la metodon. Mi trovis suncentran informon ekzemple por Urano por JD 2445680,5 (12-a decembro 1983) en la libro "Planetay and Lunar Coordinates for the years 1984 - 2000", sed estas ekvatoraj rektangulaj koordinatoj. Ekliptikaj koordinatoj estas nur la ordinaraj ( l, b, r ) por la sama momento.
JD 2445680,5 (0h UT, 12.12.1983) Suncentraj ekvatoraj rektangulaj koordinatoj [AU] x y z Uranus -6,5818 -16,3432 -7,0644 Suncentraj ekliptikaj koordinatoj l b r Uranus 249,712° +0,059° 18,98226 AU
La libro ne donas valuon de gravita konstanto γ kion ni unue bezonas por kalkuli la periodon P :
μ = γ * ( m1 + m2 ) 2*π * (a3)1/2 P = -------------- μ1/2
Tiel ke eblus kalkuli la Mezanomaliangulon M por la tempo t
kun la perihelia tempo τ
:
t - τ M = 2*π * ------- P
Klare mi bezonas la gravitan konstanton γ
en konvenaj unuoj por uzi la formulojn. Devus esti kiel unuoj de gravita konstanto almenaŭ AU kaj la maso de Suno.
Eble la metodo do ne estas tre praktika, sed nepre ĝi estu parto de historio de astronomiaj kalkuladoj por amatoroj. Mi tamen devas ankoraŭ pensi pli multe pri la problemoj kiojn mi renkontis en la praktika efektivigo de la metodo.
Mi ne plu kredas ke mi volus kalkuli planedan orbiton kun la metodo de ĉi tio libro. Temas ja nur pri du korpoj, la Suno kaj unu planedo en malplena universo. Oni tute ignoras la gravitan influon de aliaj planedoj. Oni supozas konstantaj orbitaj elementoj. Tia teoria metodo aldonas nenian praktikan valoron al la bone uzeblaj metodoj de amatoroj. La metodoj bone konitaj de amatoroj estas en praktiko pli bonaj ol la baza teorio de fiziko.
Certe mi jam antaŭe dum la 1980-aj kaj 1990-aj jaroj provis kalkuli la Sunsistemon kun ĉiuj la gravitaj influoj inter la planedoj. Estas tamen tre peza metodo por komputilo kaj mane praktike neebla.
Mi tamen volas lerni la bazan teorion bone. Temas pri centro de koordinatoj. Mi volas ĉi tie iom skribi pri la teorio de ĉiela mekaniko. Mi provu senŝarĝite sekvi la rakonton en la lernolibro.
Temas pri vektoroj. Vektoro esprimas la direkton aldone al la grando (kvanto). Forto estas vektoro, ĉar havas direkton. Maso tamen ne estas vektoro. Maso nome havas kvanton, sed tute ne direkton. Oni ne konfuzu la koncepton de maso kun la koncepto de pezo. Pezo estas ia forto, pezo dependas de gravito. Maso de objekto tamen restas konstanta, sendepende de gravito. Norme oni desegnas vektoron kiel sago en fiziko, kvankam laŭ matematiko tio fakte estas dubinde. Kun vektoroj mi nur singrade uzas la multiplikan signon (·) ĉar ĝi havas specialan signifon por vektoroj kaj tion specialan signifon mi nun ne intencas.
Unue ni lernu la duan leĝon de Newton, kio tamen ne rakontas pri gravito, sed pri forto kaj akcelo de maso. Forto F (kiel vektoro) kio influas al korpo estas proporcia al tempa derivaĵo de produto mv
, kie m estas la maso kaj v estas la rapideco kiel vektoro, la unua tempa derivaĵo de vektoro de loko ( v = ṙ
) kiam vektoro r esprimas la lokon de objekto.
d F = Ṗ = ---- ( m ṙ ) = m r̈ dt
La dua tempa derivaĵo de vektoro r̈ nome estas akcelo kiel vektoro. En plej simpla fiziko oni ofte - sen uzo de vektoroj - skribas la saman formulon: F = m·a
sed nun ni lernu por kompreni vektorojn.
La vektoro r esprimas la situon de korpo, el io origo de koordinatoj. La simbolo r̈ signifas la akcelon, la duan tempan derivaĵon de situo de korpo. La unua tempa derivaĵo ṙ ja estas la rapido kiel vektoro. Ni povus alternative skribi ekzemple:
d ṙ = ---- r = v dt d d2 r̈ = ----- ṙ = ----- r = a dt dt2
Kun vektoroj ni povas esprimi la forton kio influas al maso de korpo 2 (m2, ekzemple planedo) kiam ekzistas alia maso (m1, ekzemple la Suno) kun la gravita konstanto γ :
m1 m2 (r2 - r1 ) F = - γ ---------------- | r2 - r1 |3
Kie | r2 - r1 |
estas la distanco inter la du korpoj. La diferencon inter la vektoroj (r2 - r1)
ni eble pli bone komprenas kiel r2 + ( - r1 )
tiel ke ni komencas el vektoro r2 kaj ni aldonas al la fino de tio vektoro la alian vektoron en kontraŭa direkto (pro la negativa signo). Se la piednoto 1 aludas al la masiva Suno kaj la piednoto 2 aludas al planedo, estas la vektoro r2 multe pli longa ol la unua vektoro. Gravaj estas nur la direkto kaj la longo de suma vektoro. Por | r2 - r1 |
tamen gravas nur la longo kaj la direkto tute ne ekzistas ( Ekzemple | x |
signifas la absolutan valoron de x ).
Inerciaj koordinatoj estas principe gravaj, sed en praktiko ni volas la koordinatojn relative al la centro de Suno. La centro de Suno ne estas la akurata centro de maso por la sistemo (Suno + planedo), nek ĝi estas io centro de inerciaj koordinatoj.
En la apuda - pro klareco troigita - desegnaĵo estu la pli granda maso m1 la Suno kaj m2 estas io planedo en inerciaj koordinatoj r1 kaj r2 (vektoroj). Aliaj objektoj ne ekzistas en ĉi tio simpligita universo. La desegnaĵo estas nur 2-dimensia, sed la vektoraj formuloj validas ankaŭ en 3 dimensioj. La komuna maso de Suno kaj planedo estas M = m1 + m2.
La vektoro r = r2 - r1
montras al la planedo, la malpli masiva objekto ĉar la vektoro r2 estas multe pli longa. La distanco inter la korpoj estas r = | r | = | r2 - r1 |
kaj ni povas skribi la formulojn por movado por la du korpoj:
m2 r r̈1 = γ ------ r3 m1 r r̈2 = -γ ------ r3
La akceloj ja havas aliajn direktojn. Notu la negativan signon en la dua formulo. La relative malgranda akcelo de Suno r̈1 montras al la planedo (sama direkto kun la vektoro r) kaj la pli granda akcelo de planedo r̈2 estas direktita al la Suno pro la negativa signo. La maso de Suno m1
ja estas multe pli granda ol la maso de planedo m2
.
Ni volas kalkuli la movadon relative al la Suno, kaj tial ni subtrahas la akcelon de planedo el la akcelo de Suno.
m1 r m2 r r̈2 - r̈1 = -γ ------ - γ ------- r3 r3 -γ m1 r - γ m2 r = ------------------- r3 -γ · (m1 + m2) · r = -------------------- r3 m1 + m2 = -γ · -------- · r r3
Kaj jen ni havas la sumon de masoj, (m1 + m2). La vektoro r ja montras al la direkto de planedo kaj tial la akcelo de planedo estas direktita al la Suno, pro la negativa signo en la formulo.
Se ni skribas : μ = γ (m1 + m2)
, ni povas skribi la formulon por la akcelo relative al la centro de Suno r̈ = r̈2 - r̈1 plej simple:
r r̈ = - μ ---- r3
Jen estas la tre grava vektora formulo por la movado de planedo ĉirkaŭ la Suno. Por solvi la formulon oni bezonas integri du fojoj. Ĉi tie mi ne provas sekvi la fazojn de integrado. En la solvo de integraĵoj estas 6 valoroj, kiojn oni povas prezenti kiel du 3-dimensiaj vektoroj. Norme ni tamen parolas pri 6 orbitaj elementoj de planedo. Feliĉe la solvo por teoria orbito de planedo por la simpligita problemo de nur du korpoj estas 2-dimensia, konstanta elipso en ebeno. Nu, realo kaj praktiko tamen povas esti iom alia.
Nature oni bezonas kalkuli la valuojn de orbitaj elementoj el observado. Nenio fizika formulo povas sole rakonti kiaj la valoroj de orbitaj elementoj de planedo estas. Dum miloj da jaroj de observado oni povis ekzemple kalkuli akurataj valuoj por la mezaj orbitaj periodoj de planedoj. Eĉ se la direktoj de planedo el observado estas akurataj nur je la distinga kapablo de nuda homa okulo, eblas ekzemple dum 1000 jaroj kalkuli la proksimume 10-jaran suncentran periodon relative bone, ĉar temas pri 100 rondoj ĉirkaŭ la Suno.
Sed iom pli pri inerciaj koordinatoj: Por la centro de masoj R por la sistemo (Suno + planedo) validas la vektora formulo: MR = m1r1 + m2r2
Relative al la komuna centro de masoj estas la vektoro por la Suno R1 kaj por la planedo R2 kaj aldone ni povas diri ke la vektoro de planedo relative al la Suno estas r = r2 - r1
Relative al la centro de maso validas: m1R1 + m2R2 = 0
kaj sekve ni povas el tio skribi la formulon:
m1 R2 = - ---- R1 m2
Nun egalas la vektoro de planedo relative al la Suno r = R2 - R1
kaj tial estas R2 = r + R1
kaj sekve estas:
m1R1 + m2R2 = 0 - m1R1 = m2R2 - m1R1 = m2(r + R1) - m1R1 = m2r + m2R1
Sekve ni havas por la vektoro de planedo relative al la Suno la formulon:
m1 + m2 r = - -------- · R1 m2
Kaj uzante la antaŭajn formulojn ni povas kalkuli la vektorojn R1 kaj R2 relative al la centro de maso:
m2 R1 = - -------- · r m1 + m2 m1 R2 = -------- · r m1 + m2
Nun ni tamen pritraktu la idealan orbitan elipson de planedo. La centro estas en punkto C kaj la Suno situas en unu el la fokusaj punktoj de elipso, en punkto F. La verda elipso estas same larĝa kiel la blua cirklo, sed la alto de elipso estas pli malgranda. Planedo estas en punkto P.
Grandon de elipso indikas la du valoroj: a kaj b. La valoro a estas la longo de duona granda akso de elipso kaj la valoro b estas la longo de duona malgranda akso de elipso. La valoro a estas ankaŭ en praktiko la meza distanco de planedo el Suno.
Elcentrecon de orbito esprimas la valuo e. La distanco de Suno el la centro de elipso estas a·e
. Matematiko rakontas pri elipso:
b = a · (1 - e2)1/2 b2 = a2 · (1 - e2) b2 1 - e2 = ---- a2 b2 e2 = 1 - ---- a2
Fakte la orbitoj de planedoj ne estas tre elcentraj. En praktiko ili estas preskaŭ cirkloj. La apuda bildo estas multe troigita pro klareco. Estas iom malfacile por desegni elipson akurate. Eblas tamen relative bone desegni la orbiton de planedo kun cirklo, se oni metas la centran punkton de cirklo iom preter el Suno. La distanco el Suno en perihelio estas a - a·e
kaj sur la alia flanko a + a·e
kaj tial relative bona loko por la centro de cirklo estus en distanco a·e/2
el la Suno kaj el la centro de elipso, kiam la elcentreco de elipso estas malgranda.
La distanco de planedo el la Suno estas r
kaj la formulo por la elipso estas jena:
a · (1 - e2) r = -------------- 1 + e · cos f
La nova valoro f
estas la natura anomalio. Ĝi estas la angulo inter la direkto de perihelio kaj la direkto de planedo.
La angulo E (angle nomita eccentric anomaly) estas grava por solvi la angulon f. Ni rigardu la distancojn inter punktoj kaj ni pensu pri trigonometrio:
|CF| + |FQ| = |CQ| |CF| = a · e |CQ| = a · cos E |FQ| = r · cos f
El tioj eblas kalkuli la longon FQ per du aliaj metodoj:
|FQ| = r · cos f |FQ| = |CQ| - |CF| = a·cos E - a·e
Kaj kiam ni scias la supran formulon de elipso por r, ni povas skribi:
a · (1 - e2) -------------- · cos f = a·cos E - a·e 1 + e · cos f
El la supra formulo eblas solvi aŭ cos f
aŭ cos E
:
cos E - e cos f = -------------- 1 - e · cos E cos f + e cos E = -------------- 1 + e · cos f
Ni tamen bezonas ankaŭ la sinojn por solvi la angulojn al la korekta kvadranto.
b b |QP| = --- · |OP'| = --- · (a · sin E) a a = a · (1 - e2)1/2 · sin E = r · sin f a · (1 - e2) = --------------- · sin f 1 + e · cos f
El la supraj formuloj eblas solvi la sinojn de la gravaj anguloj:
sin f sin E = (1 - e2)1/2 · -------------- 1 + e · cos f sin E sin f = (1 - e2)1/2 · -------------- 1 + e · cos E
Se ni povas uzi la bonegan funkcion α = arctan2( Y, X )
kio returnas la angulon α
("alfa") rekte en la korekta kvadranto, ni povas solvi la angulojn plej simple:
f = arctan2( (1 - e2)1/2 · sin E , cos E - e ) E = arctan2( (1 - e2)1/2 · sin f , cos f - e )
Notu ke oni ne plenumas la dividon Y/X kun ĉi tio funkcio. La unua valoro Y prezentas la ordinaton kaj la dua valoro X prezentas la abscison. Se la absciso X estas negativa, returnus simpla funkcio α = arctan( Y/X )
la angulon en erara kvadranto kaj tiam ni devas aldoni al la rezulto la angulon 180° aŭ π
radianoj se ni kalkulas per radianoj, kion ni principe faras en la metodo de libro.
Por praktika kalkulado ni tamen unue bezonas la Mezanomaliangulon, kio estus la angulo inter la direkto de perihelio kaj la direkto de planedo, se la planedo movus en konstanta rapideco laŭ cirklo. Apuda desegnaĵo espereble klarigas la aferon.
Ni povas kalkuli la Mezanomaliangulon M
el la orbita periodo P
, la meza angula rapido n
, la koncerna momento t
kaj la perihelia tempo τ
. La anguloj estu en radianoj.
t - τ M = 2 · π · ------- = n · (t - τ) P
Laŭ la dua leĝo de Kepler estas la area rapido de planedo sur orbita elipso konstanta. Ni pensu pri la kolorigita areo A de orbita elipso, la sektoro FPX. La areo de A estas:
t - τ A = π · a · b · ------- P
Ankaŭ la areo A estas egala al:
b A = --- · (la areo de figuro FP'X) a b = --- · (la areo de sektoro CP'X - la areo de triangulo CP'F) a b = --- · ( ½·a·a·E - ½·a·e·a·sin E ) a b = ½ · --- · ( a2·E - a2·e·sin E ) a b · a2= ½ · ------- · ( E - e·sin E )a= ½·a·b · ( E - e · sin E )
Ni povas egali la du formulojn por A:
t - τ ½·a·b·(E - e·sin E) = π·a·b · ------- = ½·a·b · n·(t - τ) = ½·a·b · M P
Ĉar egalas ja la meza orbita movo n
de planedo en radianoj por unu diurno:
2·π n = ----- P
Kaj tial estas:
t - τ π · ------- = ½·n·(t - τ) P
Do egalas : ½·a·b · (E - e·sin E) = ½·a·b · M
. Kaj el tio ni jam ricevas la famegan ekvacion de Kepler : E - e · sin E = M
El tio ekvacio eblas solvi la angulon E (esperante nomita eble "elcentreca anomalio"?) kiam ni scias la mezanomaliangulon M. La problemo ja estas por trovi valuon de E en radianoj tiel ke la ekvacio efektivigas kun la trigonometria funkcio sin E
; Rekta simpla solvo ne ekzistas. Mi tamen ne provas nun por solvi la ekvacion de Kepler. Eble ion alian fojon.
Klare ankoraŭ por mi restas multe por batali kun la ĉiela mekaniko. Batalo tamen estas la vera vivo.
Kaj certe fine ..........
NI VENKOS!
La Ambasadoro en Finnlando de sendependa nacio Mueleja Insulo |