<<

#463 ; Nostalgia hobia mana kalkulado por la Luno

>>

Kelkaj hobiaj astronomoj ŝatis mem kalkuli mane informon por la ĉielaj korpoj ekzemple dum la 1980-aj jaroj, uzante sciencan kalkulilon. Malmultekosta scienca kalkulilo - ekzemple kun la trigonometriaj kaj inversaj trigonometriaj funkcioj - estis tiam ankoraŭ relative nova aparato. Personaj komputiloj kaj memfaritaj komputilaj programoj certe estis poste pli forta laborilo ankaŭ por la amatoro. En la moderna tempo la hobiistoj eble uzas nur pretajn komputilajn programojn?

Apude estas fotitaj la kovriloj de du pli novaj hobiaj kalkulaj astronomiaj libroj, kioj kredeble plej bone taŭgas por konstruistoj de komputila programo. "Astronomical Algorithms" de Jean Meeus el jaro 1991 kredeble estas la reĝo de ĉi tio genro. La germana "Astronomie mit dem Personal Computer" de Oliver Monterbruck & Thomas Pfleger, dua eldono el jaro 1994 estas klare skribita por komputiloj. La origina eldono aperis jam 1989. Por ĉi tioj relative novaj libroj estas la epoko ĝenerale la nova J2000.0 kio estas JD 2451545,0.

Nu, jam pasis proksimume 30 jaroj post la plej freŝe florantaj junularaj tagoj de ĉi tioj astronomie kalkulaj gigantoj de 1990-aj jaroj. Miaopinie surprize longa tempo. Mi tamen volas nun ekrigardi al la "pli primitivaj" libroj de 1980-aj jaroj, kioj estis kredeble origine intencitaj por sciencaj kalkuliloj kaj eĉ mana kalkulado. Povas ja esti ke la amatoroj iom-post-iom komencis uzi komputilojn dum la 1980-aj jaroj.

La celo estas trovi simplan, sed tamen sufiĉe precizan, metodon por kalkuli la tercentrajn ekliptikajn koordinatojn por la Luno. Celo estas por iom testi la metodojn mane. Pli bona testo certe bezonus komputilan programon. Luno ja ne estas facila por kalkuli akurate, sed proksimumaj rezultoj povas esti utilaj. Por navigacio la rezultoj tamen ne taŭgas, ĉar por navigisto estas precizeco de 0,1 minutoj de arko necesa. Ni jam testis unu bonan proksimuman metodon de "The Astronomical Almanac" por Luno en artikolo #459.

Iuj eble supozas ke oni povus atingi por Luno pli bonaj rezultoj facile uzante rekte la faman fizikan bazan regulon por la reciproka gravito de du masoj, eble inkluzive la Suno kaj aliaj planedoj? Aŭ eble bonaj rezultoj eĉ uzante la bazan analizan solvon por la problemo de du korpoj en cetere malplena universo? Mi tamen povas aserti ke tio ne pravas. La Luno estas kompleksa por kalkuli. La tiel nomitaj konfuzoj (kompleksaj gravitaj influoj) estas iom grandaj en la orbito de Luno. La vojo el pura fizika teorio al vera praktiko povas iam esti surprize longa kaj eĉ malutila. Praktiko pli signifas ol la "leĝoj" de baza fiziko.

Oni povas dubi kiel praktike estas por mane kalkuli informon, kion oni povus ie trovi preta kaj en multe pli bona kvalito. Nostalgio kaj scipovo tamen estas por mi valora temo. Miaopinie estas valore por kompreni kiel oni perlaboras la rezultojn. Ĉio preta produkto ne estas tre valora, sed bona scipovo povas levi homan spiriton al pli altaj sferoj.

Mi uzos decimalan komon (,) por decimalaj nombroj, laŭ la eŭropa normo, kvankam la fontoj ĝenerale uzas decimalan punkton (.). Mi ankaŭ uzas steleton (*) kiel multiplika signo, same kiel en programaj lingvoj. Kaj certe por la inversaj trigonometriaj funkcioj mi uzos la korektajn nomojn arcsin, arccos, arctan, prefere ol la ofte viditajn vulgarajn sin-1, cos-1, tan-1

Fakte la tempo devus esti laŭ la dinamika tempo ET ĉar la Luno movas relative rapide sur ĉielo kaj la diferenco al UT estas proksimume unu minuto de tempo. La rotacio de Tero ne estas tute konstanta. Nu, eble mi poste skribos iom pli pri ET kaj certe mi devas ankoraŭ diligente kontroli ĉi tion tekston.

Supre tamen estas informa diagramo pri ΔT = ET - UT el la libro de Peter Duffett-Smith por jaroj ek de 1620. Ni vidas ke ΔT estas pozitiva kaj la dinamika tempo ET do estas proksimume unu minuton (60 sekundoj) da tempo pli multe ol la norma UT. Kredeble eblas kalkuli la valuon de ΔT nur el observoj kaj estas malfacile por antaŭdiri akurate.

La belga pioniro ek de 1980-aj jaroj

Miaopinie la relative facile kompreneblaj sed utilaj kalkulilaj astronomiaj libroj por amatoroj komencis kun la verko de Jean Meeus, la famega "Astronomical Formulae for Calculators". Nu, kredeble la kalkulaj metodoj principe jam plejparte ekzistis ie en la scienca astronomia literaturo, sed malfacile troveblaj por la hobiistoj.

La unua angla eldono de libro aperis en Belgio en la jaro 1979. Apude estas fotitaj la dua angla eldono el jaro 1982 kaj la multe simila kvara eldono el jaro 1988. Ili ja estas presitaj en Usono. Mi uzis la libron jam pli frue.

Mi provas nun sekvi la ĉapitron 30, "POSITION OF THE MOON", sed laŭ la instrukcio por "Lower accuracy", tiel ke la metodo estus pli facila por kalkuli mane. Ekzistus dekoj da relative malgrandaj terminoj pli por la plej bona ebla precizeco, sed ili ŝajnas superfluaj por proksimuma mana kalkulado.

En la libro de Jean Meeus la celo estis precizeco de 10" (arkaj sekundoj) en longitudo kaj 3" en latitudo de Luno. En gradoj la celo de tuta precizeco do estis en longitudo proksimume 0,0027° kaj en latitudo 0,00083° ĉar 1° = 3600". Nu, miaopinie jam ekzemple precizeco 0,100° estas relative bona rezulto por la Luno. La al la distanco de Tero videbla angula diametro de Luno nome estas proksimume 5 foja, ½ gradoj. Eĉ direkto ±0,2° erara kredeble bone trafos la surfacon de Luno.

Mia prepara ideo estas por forlasi el la kalkulado la plej malgrandajn terminojn, kies suma efekto al la rezulto plej ofte estus nur kelkaj minutoj da arko kaj tial por la homa okulo sur la vastega ĉielo apenaŭ tre signifa.

Sed jes, la kalkula metodo:

Ni bezonas la valuon JD por la momento (fakte la tempo devus esti en dinamika tempo ET) kaj ni uzos la valuon T, kio estas en Juliaj jarcentoj el la malnova epoko 1900 januaro 0.5 (do fakte por 12 horoj de dato 31.12.1899, ĉar la unua tago de jaro 1900 ankoraŭ ne komencis) : T = ( JD - 2415020,0 ) / 36525

Nu fakte, iom da sana prudento, se la momento ne estas tre distanca el jaro 1900, oni povas por proksimumaj rezultoj en la sekvanta ignori la terminojn kun multiplikanto T2 kaj T3. Ekzemple la rezulto de 0,009192° * T2 ja ne povas esti pli ol 0,009192° se T estas nur unu aŭ pli malgranda kaj 0,01° estas jam iom malgranda angulo.

Ni kalkulu la sekvantajn angulojn por la norma intervalo 0 ... 360° (la angulo M estas por Suno)

L' = 270,434164° + 481267,8831° * T - 0,001133° * T2 + 0,0000019° * T3
M  = 358,475833° +  35999,0498° * T - 0,000150° * T2 - 0,0000033° * T3
M' = 296,104608° + 477198,8491° * T + 0,009192° * T2 + 0,0000144° * T3
D  = 350,737486° + 445267,1142° * T - 0,001436° * T2 + 0,0000019° * T3 
F  =  11,250889° + 483202,0251° * T - 0,003211° * T2 - 0,0000003° * T3
Ω =  259,183275° -   1934,1420° * T + 0,002078° * T2 + 0,0000022° * T3

La valuon de Ω oni tamen povas tute ignori por proksimumaj rezultoj.

Angla klarigo por la supraj valuoj:

L' ; "Moon's mean longitude"
M  ; "Sun's mean anomaly"
M' ; "Moon's mean anomaly"
D  ; "Moon's mean elongation"   (angula distanco el la Suno)
F  ; "Mean distance of Moon from its ascending node"
Ω  ; "Longitude of Moon's ascending node"

Ni kalkulu la ekliptikajn koordinatojn por la Luno:

e = 1 - 0,002495 * T - 0,00000752 * T2

λ  =  L' + 6,288750° * sin( M' ) 
         + 1,274018° * sin( 2*D - M' )
         + 0,658309° * sin( 2*D )
         + 0,213616° * sin( 2*M' )
     - e * 0,185596° * sin( M )
         - 0,114336° * sin( 2*F )
         + 0,058793° * sin( 2*D - 2*M' )
     + e * 0,057212° * sin( 2*D - M - M' )
         + 0,053320° * sin( 2*D + M' )
     + e * 0,045874° * sin( 2*D - M )
     + e * 0,041024° * sin( M' - M )
         - 0,034718° * sin( D )
     - e * 0,030465° * sin( M + M' )
         + 0,015326° * sin( 2*D - 2*F )
         - 0,012528° * sin( 2*F + M' )
         - 0,010980° * sin( 2*F - M' )
         + 0,010674° * sin( 4*D - M' )           // ĝis 0,090532°
         + 0,010034° * sin( 3*M' )
         + 0,008548° * sin( 4*D - 2*M' )
     - e * 0,007910° * sin( M - M' + 2*D )
     - e * 0,006783° * sin( 2*D + M )            // ĝis 0,057257°
         + 0,005162° * sin( M' - D )
     + e * 0,005000° * sin( M + D )
     + e * 0,004049° * sin( M' - M + 2*D )
         + 0,003996° * sin( 2*M' + 2*D )         // ĝis 0,039050°


B  =    + 5,128189° * sin( F )
        + 0,280606° * sin( M' + F ) 
        + 0,277693° * sin( M' - F )
        + 0,173238° * sin( 2*D - F )
        + 0,055413° * sin( 2*D + F - M' )
        + 0,046272° * sin( 2*D - F - M' )
        + 0,032573° * sin( 2*D + F )              // ĝis 0,087885°
        + 0,017198° * sin( 2*M' + F )
        + 0,009267° * sin( 2*D + M' - F )
        + 0,008823° * sin( 2*M' - F )
    + e * 0,008247° * sin( 2*D - M - F )
        + 0,004323° * sin( 2*D - F - 2*M' )         
        + 0,004200° * sin( 2*D + F + M' )         // ĝis 0,040027°
    + e * 0,003372° * sin( F - M - 2*D )
    + e * 0,002472° * sin( 2*D + F - M - M' )     // ĝis 0,029983°

Mi provis aldoni post kelkaj terminoj la plej grandan sumon de sekvantaj terminoj, se ili estus forlasitaj. La valuo de funkcio sino ja estas ĉiam inter -1 kaj +1, neniam ekster tio intervalo. La plej granda ebla sumo de forlasitaj terminoj okazus se ĉiuj la sekvantaj sinoj estus aŭ -1 aŭ +1, kredeble iom rare, sed ne tute neeble. Tiuj sumoj do donas ian komprenon pri la precizeco de rezulto se oni finas por kalkuli la terminojn en ĉi tio linio.

Proksimume egalas la ekliptika latitudo de Luno β = B


La ŝtorma refrapo el Germanio?

El la apudaj du libroj de germana sinjoro Oliver Montenbruck kredeble estas pli bone konata la angla vario "Practical Ephemeris Calculations" el jaro 1989.

La origino de tio teksto de Oliver Montenbruck tamen estis la germana "Grundlagen der Ephemeridenrechnung" kio aperis 1984. La fotita malgranda "Sterne und Weltraum" -libro estas la kvara eldono el jaro 1989.

La promesita precizeco de fina rezulto estas en arkaj minutoj 2' ... 5', do iom pli bona ol 0,1°.

Ankaŭ la iom malnova libro de Oliver Montenbruck uzas por la Luno la malnovan epokon 1900 januaro 0.5 (JD 2415020,0) kio en praktiko signifas la lastan tagon de jaro 1899 je 12 horoj. Ni komencu la kalkuladon el JD kaj T kaj ni kalkulu la mezajn longitudojn (la valuoj L kaj M estas por la Suno):

T = ( JD - 2415020,0 ) / 36525
l = 270,434164° + 481267,883142° * T - 0,001133° * T2
m = 296,104608° + 477198,849108° * T + 0,009192° * T2
Ω = 259,183275° -   1934,142008° * T + 0,002078° * T2
L = 279,696678° +  36000,768925° * T + 0,000303° * T2
M = 358,475833° +  35999,049750° * T - 0,000150° * T2

La valuo T ja prefere estu preciza, sed por la mezaj longitudoj kredeble fine sufiĉas eĉ 3 korektaj decimaloj. Kaj certe oni reduktu la angulojn al norma intervalo 0 ... 360°.

Klarigo por la supraj valuoj angle:

l ; "mean longitude of the moon"
m ; "mean anomaly of the moon"
Ω ; "mean longitude of the ascending node of the lunar orbit"
L ; "mean longitude of the sun"
M ; "mean anomaly of the sun"

Sekve ni kalkulu la ekliptikan longitudon kaj latitudon por la Luno. Notu ke la malgrandaj anguloj estas en arkaj sekundoj (signo "), 1° = 3600". Oni do dividu la sekundojn per 3600 por ricevu la valuon en gradoj. Oni ne aldonu sekundojn rekte al gradoj. La kvalitoj ĉiam estu la samaj en adicio.

La aŭtoro precipe informas ke la rezultoj estas por la ekvinokso de koncerna tago.

λ = l + 22640" * sin( m )
      +   769" * sin( 2*m )
      +    36" * sin( 3*m )
      -   125" * sin( l - L )
      +  2370" * sin( 2 * (l - L))
      -   668" * sin( M )
      -   412" * sin( 2 * (l - Ω))
      +   212" * sin( 2 * (l - L - m))
      +  4586" * sin( 2 * (l - L) - m )
      +   192" * sin( 2 * (l - L) + m )
      +   165" * sin( 2 * (l - L) - M )
      +   206" * sin( 2 * (l - L) - m - M )
      -   110" * sin( m + M )
      +   148" * sin( m - M )

β = 18520" * sin( λ - Ω + 0,114° * sin( 2 * (l - Ω)) + 0,150° * sin( M ))
    - 526" * sin( 2*L - l - Ω )
    +  44" * sin( 2*L - l - Ω + m )
    -  31" * sin( 2*L - l - Ω - m )
    -  23" * sin( 2*L - l - Ω + M )
    +  11" * sin( 2*L - l - Ω - M )
    -  25" * sin( l - Ω - 2*m )
    +  21" * sin( l - Ω - m )

En la angla vario de libro estis erara koeficiento -18520" por la unua termino de latitudo, sed en la germana vario de libro estas la korekta +18520"

Nature oni pli bone uzu en la kalkulilo - se eble - memorajn lokojn por valuoj kiel l, m, Ω, L, M por eviti fingrumi la samajn valuojn ĉiufoje denove.


La fama streĉita supra lipo el Britujo?

La angla lingvo klare estas la plej kutima kaj multaj libroj estas presitaj en Usono, sed pure brita hobia astronomia libro estas tamen miaopinie iom rara. Peter Duffett-Smith tamen skribis la facile legeblan kaj uzeblan libron "Practical Astronomy with your Calculator". La apude fotita tria eldono estas el jaro 1988, sed la origina eldono de libro aperis jam 1979.

La stilo estas iom alia ol por aliaj libroj de ĉi tio klaso. Iom originale la libro de Peter Duffett-Smith uzas epokon 1990, kio tute ne estas norma. La valuo de JD por la epoko 1990 januaro 0.0 estas 2447891,5 kio do estas por tempo 0 horoj. Nu kredeble fakte temas pri la komenco de lasta tago de jaro 1989 ĉar la jaro 1990 komencas nur 01.01.1990.

La valuo de D estas la decimala numero de tagoj kun horoj kaj minutoj de tempo post la epoko, "la komenco de jaro 1990". Oni povus kalkuli la gravan valuon D el la koncerna decimala JD kun formulo: D = JD - 2447891,5

Eblas tamen kalkuli ankaŭ sen la JD -valuo. Ekzemple por 1979 la 26-a tago februaro 16 h UT estas D = -3960,332755 (negativa, do antaŭ la komenco de jaro 1990). La 26-a februaro estis la 57-a tago de jaro. Estis 11 jaroj inter la komenco de jaro 1979 kaj la komenco de jaro 1990 kaj tri el ili estis superjaroj (1980, 1984, 1988), do 11*365 tagoj + 3 supertagoj = 4018 tagoj. Tiel ni kalkulas por D : -4018 + 57 = -3961 kaj la diferencon klarigas la 16,013889 ET horoj, ĉar 16,013889 / 24 = 0,667245 tagoj.

Gravaj Lunaj konstantoj por la epoko 1990.0:

Elementoj de Luna orbito, 1990.0
l0 = 318,351648°     // "Moon's mean longitude at epoch"
P0 =  36,340410°     // "mean longitude of the perigee"
N0 = 318,510107°     // "mean longitude of the node"
i  =   5,145396°       // "inclination of the orbit"
e  =      0,054900     // "eccentricity of the orbit"
a  = 384401 km         // "semi-major axis of the orbit"

Kiam ni jam scias la valuon D, decimalaj tagoj post la epoko 1990.0 (negativa se antaŭ la epoko), eblas kalkuli la angulojn:

l  = 13,1763966° * D + l0          // "Moon's mean longitude"
Mm =  l - 0,1114041° * D - P0      // "Moon's mean anomaly"
N  = N0 - 0,0529539° * D           // "ascending node's mean longitude"

Pli bone oni reduktu la rezultoj al la norma intervalo 0 .... 360°

Fakte ni tamen bezonas ankaŭ iom da informo por la Suno por la sama tempo, nome la valuojn λs kaj Ms

Iom da informo por la Suno

Estu por la epoko 1990 la valuo perigeum = 282,768422°

Ni uzos la saman valuon D, kion ni jam renkontis, la decimalaj diurnoj el la komenco de jaro 1990 por kalkuli

      360°
Ms = ----------- * D + 279,403303° - perigeum 
      365,242191

Sekve ni solvu la "ekvacion de centro", uzante la faman konstanton π = 3,1415927 :

          360°
ν = Ms + ------ * 0,016713 * sin(Ms)
           π

Kaj nun ni povas kalkuli la alian angulon kion ni bezonas por la Luno, la ekliptika longitudo por la Suno: λs = ν + perigeum

Oni kalkulu la valuon C = l - λs uzante informon de Suno. Sekve ni kalkulu kelkaj korektigoj:

Ev = 1,2739° * sin ( 2*C - Mm )       // "evection"
Ae = 0,1858° * sin( Ms )              // "annual equation"
A3 = 0,37° * sin( Ms )

Sekve eblas kalkuli:

M'm = Mm + Ev - Ae - A3         // "Moon's corrected anomaly"
Ec  = 6,2886° * sin( M'm )      // "correction for the equation of the centre"

Pli da korektigo:

A4 = 0,214° * sin( 2 * M'm )
l' = l + Ev + Ec - Ae + A4      

Kaj la lasta korektigo por la orbita longitudo de Luno:

V = 0,6583° * sin( 2 * (l' - λs))         // "variation"
l'' = l' + V                              // "Moon's true orbital longitude"

Tamen estas la orbito de Luno oblikva al la ekliptiko kaj tial ni kalkulu la ekliptikan longitudon. Unue ni kalkulu korektigon N' = N - 0,16° * sin( Ms ) kaj sekve eblas kalkuli la ekliptikan longitudon de luno λm ("lambda") kaj la ekliptikan latitudon βm ("beta"):

angulo = l'' - N'

Y = sin( angulo ) * cos( i )
X = cos( angulo )
λm = N' + arctan( Y / X ) 

sin βm = sin( angulo ) * sin( i )

Mia formo de formuloj estas iom alia, sed espereble pli klara. Certe oni pensu pri kvadranto kun la inversa tangento. Se estas X negativa, malpli ol 0, oni aldonu 180° al la angulo kion la inversa tangento returnas, por la korekta kvadranto.

Ĉi tioj ja ne estas veraj tutaj lernolibroj de tradicia astronomio kaj ne enhavas la tutan teorion de fako. Ili estas hobiaj libroj por praktika kalkulado. La libro de Peter Duffett-Smith tamen donas iom pli multe da baza informo ol la aliaj.


La absoluta vero

Jen iom da informo el la fidinda jarlibro "The Astronomical Almanac" por la jaro 1996. El la sama fonto ni ricevas rekte la scion ke la dato 01.01.1996 je 0 horoj estas JD 2450083,5.

Do ni povas diri ke por la dato 01.01.1996 je 0 horoj ET estis la ekliptika longitudo de Luno 46,68° kaj latitudo -1,99°. Nur du decimaloj por la ekliptikaj koordinatoj, sed ili sufiĉas por nia testo. Certe precizeco 0,01° estas en praktiko bona. Tamen la precizeco de principe sama informo en ekvatoraj koordinatoj estas en klaso de arka sekundo, do multe pli bona.

Mi certe intencas testi la tri aliajn metodojn, sed por tio mi bezonas pli da tempo ...

Testo por "Practical Astronomy with your Calculator"

Ni testu la metodon de Peter Duffett-Smith por la Luno. Testa dato estu 01.01.1996 je 0 horoj (ET), kio estas JD 2450083,5

Valuo por la tempa varianto el la epoko 1990.0 do estas : D = JD - 2447891,5 = 2450083,5 - 2447891,5 = 2192 ... kaj ni ja povus alternative kalkuli rekte ke estis unu superjaro (1992) kaj tial estis 6*365 + 1 + 1 = 2192 tagoj inter la datoj. La alian aldonitan tagon ni bezonas ĉar la epoko 1990.0 fakte komencis el la lasta tago de jaro 1989, el la dato 31.12.1989.

Unue ni kalkulu por la Suno la informon (en intervalo 0 ... 360°) kion la kalkuloj por la Luno bezonas:

Ms = 357,1739°
λs = 279,8479°

Sekve ni kalkulu la mezajn longitudojn por la Luno, reduktitaj por la norma intervalo 0 ... 360°:

l =   41,0130°
Mm = 120,4748°
N =  202,4352°

Estas C = l - λs = 121,1651° en la korekta intervalo kaj sekve ni kalkulu la korektigojn por la orbita longitudo:

Ev =   1,0820°
Ae =  -0,00916°
A3 =  -0,01824°
M'm = Mm + Ev - Ae - A3 = 121,5842°
EC =   5,3571°
A4 =  -0,1910°
l' =  47,2703°
V  =  -0,6354°
l'' = 46,6349°

Jen estas la fina longitudo de Luno en sia orbito kaj sekve ni kalkulu la ekvatorajn koordinatojn. Sed unue mi kalkulas:

N' = N - 0,16° * sin( Ms ) = 202,443°
angulo = l'' - N' = 204,1919°

La ekliptikan latitudon βm ("beta") de Luno ni povas solvi rekte:

sin βm = sin( angulo ) * sin( i ) = -0,03675
βm = arcsin( -0,03675 ) = -2,106°

Pri la ekliptika longitudo λm ("lambda") ni tamen iom pensu pri la inversa tangento.

Y = sin( angulo ) * cos( i ) = -0,408143
X = cos( angulo )            = -0,912178

Estas ja la tria kvadranto kie kaj Y kaj X estas negativaj. Pro la negativa X ni aldonu 180° al la rezulto de inversa tangento.

λm = N' + arctan( Y / X ) + 180°

La reduktita rezulto por longitudo estas λm = 46,549°

Eblas konstati ke la kalkulitaj koordinatoj ( 46,55° kaj -2,11° ) estas relative proksimaj al la je 0,01° akurataj el AA ( 46,68° kaj -1,99° ) ; la eraroj estas nur proksimume 0,13° kaj 0,12°, kio tute ne estas malbona rezulto el relative simpla kalkula metodo.

La supra bildo indikas la erarojn en ekliptika longitudo λ kiojn la aŭtoro kalkulis por la Luno por komenco de jaro 1979, kompare al "Astronomical Ephemeris" (antaŭaĵo de "The Astronomical Almanac"). Kredeble eraro en la rezultoj estis ĝenerale pli malgranda ol ±0,15° kaj miaopinie akceptebla por proksimuma rezulto. Pli bona kompreno pri la precizeco de metodo postulus multe pli da kalkulado.

Mi tamen ne estas tute certa ĉu la rezultoj validas por la ekvinokso de dato, aŭ eble ekzemple por la ekvinokso de la epoko 1990.0? Ĉu la eraro kompare al la ekvinokso de dato estus signife pli granda por ekzemple 50 jaroj antaŭ aŭ post la epoko 1990.0? Mi ankoraŭ ne scias. Mi nur esperas ke la rezultoj estus por la ekvinokso de koncerna dato, tiel ke ne bezonus korektigi ilin por alia ekvinokso.

La supra kalkulado estis relative facila eĉ sen uzo de memoraj lokoj de kalkulilo. Tamen la metodoj en la du aliaj libroj estas iom aliaj. Por ili oni bezonas almenaŭ 5 libere uzeblaj memoraj lokoj por kalkuli mane komforte, eĉ se estas unika nostalgia tradicia mana kalkulado. La provizore uzebla kalkulilo ne ofertis tian luksaĵon.

En la foto dekstre estas pli ol 10 jaroj aĝa TI-30X Pro kio kostis 30€. Ŝajnis relative malmultekosta kaj iom multflanka moderna ordinara scienca kalkulilo tiam. Memoraj lokoj tamen mankas. La nova Canon F-715SG kostis hodiaŭ 20€, estas iom bona kaj enhavas almenaŭ 12 libere uzeblaj memoraj lokoj. Luksaĵo! Nu, ne programebla, sed kiel ordinara scienca kalkulilo certe moderna luksaĵo.

Cetere la nova kalkulilo havas la funkcion Pol(X, Y) (notu la inversan ordon X, Y) kion oni povas uzi por solvi la angulon el inversa tangento rekte en la korekta kvadranto. La funkcio donas por ekrano la longon de vektoro kion ni ne bezonas, sed la vere interesan valuon de angulo oni trovas post la kalkulo en la memora loko Y. Ekzemple en la supra kalkulado ni ricevis la valuojn:

Y = sin( angulo ) * cos( i ) = -0,408143
X = cos( angulo )            = -0,912178

Kun la nova kalkulilo ni povas kalkuli Pol(X, Y) = Pol(-0.912178, -0.408143) kaj en la memora loko Y ni trovas la valuon -155,894449° kio estas la solvo de inversa tangento rekte en la korekta kvadranto. Nu, certe ni povas aldoni unu tutan rondon 360° por redukti la angulon al la norma pozitiva intervalo : 204,105551°. Norma inversa tangento arctan(Y/X) ja donus la nekorektan solvon 24,10555° por kio oni devas aldoni 180° pro la negativa valuo de X.

Cetere ni povas kun la nova kalkulilo fari entjeran dividon. Ekzemple la rezulto de Q...r(365, 7) rakontas rekte sur la ekrano ke estas 52 tutaj semajnoj en jaro kaj el memora loko D ni trovas la superfluan tagon por norma jaro: 1. Do estas 52 * 7 + 1 = 365. Kaj eĉ GCD(365, 7) = 1 rakontas ke 7 ne dividas la numeron 365 tiel ke la rezulto estus entjero en decimala divido.

Nun mi fine kuraĝas ataki la Lunajn metodojn de aliaj libroj kaj kalkuli rezultojn por la testa dato.

Testo por la metodo de "Grundlagen der Ephemeridenrechnung"

La testa dato estu la sama kiel antaŭe 01.01.1996 je 0 horoj (ET), JD = 2450083,5 kaj do estas la tempa varianto T = ( 2450083,5 - 2415020,0 ) / 36525 = 0,95998631 da Juliaj jarcentoj post la dato 0. januaro 1900 je 12 horoj (ET).

La germana libro fakte prezentas la terminojn en iom alia stilo, ekzemple en la angla libro estas simple:

l = 270,434164° + 481267,883142° * T - 0,001133° * T2

Sed en la germana libro la termino por T estas en du partoj tiel ke en unu el ili estas la koeficiento en tutaj turnoj:

l = 270,434164° + 480960,0° * T + 307,883142° * T - 0,001133° * T2

Nu, estas ja nur 9 numeroj en la pli malgranda angulo, sed 480960,0° * T + 307,883142° * T estas preskaŭ la sama kiel 481267,883142° * T kaj mi ne scias kian decidan utilon la termino de T en du partoj produktus. Mi do kalkulas en la stilo de angla vario de libro. Do mi kalkulas la angulojn por la norma intervalo 0 ... 360°

			  memora loko
l =  41,0127379°		1
m = 120,4757266°		2
Ω = 202,4353393°		3
L = 279,9423016°		4
M = 357,0706546°		5

La korektigoj, kiojn ni aldonu al la meza longitudo por ricevi la ekliptikan longitudon, estas en arkaj sekundoj. Tial mi kalkulas ilin unue aparte en tutaj sekundoj kaj kalkulos la al meza longitudo l aldonantan angulon al gradoj nur poste.

+ 22640" * sin( m )		= + 19512"
+   769" * sin( 2*m )		= -   672"
+    36" * sin( 3*m )		= +     1"
-   125" * sin( l - L )		= -   107"
+  2370" * sin( 2 * (l - L))	= -  2095"
-   668" * sin( M )		= +    34"
-   412" * sin( 2 * (l - Ω))	= -   249"
+   212" * sin( 2 * (l-L-m))	= +     4"
+  4586" * sin( 2*(l-L) - m )	= +  3903"
+   192" * sin( 2*(l-L) + m )	= +     9"
+   165" * sin( 2*(l-L) - M )	= -   150"
+   206" * sin( 2*(l-L) -m-M )	= +   170"
-   110" * sin( m + M )		= -    98"
+   148" * sin( m - M )		= +   124"
                                -----------  
                                    20386"  =  5,6628°

Kaj nun eblas kalkuli la ekliptikan longitudon de Luno λ = l + 5,6628° = 46,68° kio ja estas la sama kiel la korekta valuo 46,68° el "The Astronomical Almanac".

La unua termino por la ekliptika latitudo estas iom originala kaj mi prefere kalkulas ĝin aparte:

   18520" * sin( λ - Ω + 0,114°*sin(2*(l-Ω)) + 0,150°*sin(M))
=  18520" * sin( λ - Ω + 0,06885° - 0,00767°)
=  -7623"

Kaj sekve iom da al tio aldonotaj korektigoj:

- 526" * sin( 2*L - l - Ω )	= + 362"
+  44" * sin( 2*L - l - Ω + m )	= +  43"
-  31" * sin( 2*L - l - Ω - m )	= +   9"
-  23" * sin( 2*L - l - Ω + M )	= +  17"
+  11" * sin( 2*L - l - Ω - M )	= -   7"
-  25" * sin( l - Ω - 2*m )	= +  17"
+  21" * sin( l - Ω - m )	= +  21"
				---------
				  + 462"

La kalkulita ekliptika latitudo do estas β = (-7623" + 462") / ( 3600"/1°) = -1,99° kio ja estas tre bone.

Kredeble estus utile por memorteni ekzemple la angulon 2*L - l - Ω en io libera memora loko de kalkulilo, tiel ke oni ne bezonas fingrumi la valuon denove.

Certe la teorie sana metodo de Peter Duffett-Smith estas tre perobjekta (unue kalkulado en la orbita ebeno, poste transigo al la ekliptika ebeno), sed la formuloj de Oliver Montenbruck produktis tre bonan rezulton, almenaŭ en ĉi tio kazo.

Testo por "Astronomical Formulae for Calculators"

Nu, la iom longa metodo de Jean Meeus kredeble enhavas multe da potencialo por precizeco, sed ni ja volas nur simplan, leĝeran, proksimuman metodon. Mi do devas decidi kiom da terminoj mi forlasu el kalkulado por atingi sufiĉan precizecon de eble ion en la klaso ±0,1 gradoj ... kio ja estas distanca el la tuta ebla precizeco de metodo.

La testa dato ja estas la sama kaj estas ankaŭ la sama epoko kaj la sama valuo de tempa varianto T = ( 2450083,5 - 2415020,0 ) / 36525 = 0,95998631 kiel por la metodo de sinjoro Oliver Montenbruck.

Por proksimumaj rezultoj instigas sinjoro Jean Meeus por ignori ekzemple la terminojn por la dua kaj tria potenco de tempa varianto T ( T2 kaj T3 ) en la sekvantaj valuoj. Kaj mi sekvos la admonon, same kiel ŝarko ŝipon.

                                                                          memora loko
L' = 270,434164° + 481267,8831° * T  ... reduktita ...   41,0137417°		1
M  = 358,475833° +  35999,0498° * T  ... reduktita ...  357,0708409°            2
M' = 296,104608° + 477198,8491° * T  ... reduktita ...  120,4672478°            3
D  = 350,737486° + 445267,1142° * T  ... reduktita ...  121,0717434°		4
F  =  11,250889° + 483202,0251° * T  ... reduktita ...  198,5803098°		5

Ni iom bezonas la valuon e kio estas pura rilatumo kaj tial tute sen kvalito.

e = 1 - 0,002495 * T - 0,00000752 * T2 = 0,9975979

Sekve mi kalkulu la terminojn kiojn mi aldonu al L' por fine atingi la rezulton λ - la ekliptika longitudo de Luno. Mi intencas ignori tiom da plej malgrandaj terminoj el kalkulado, ke la valuoj de forlasitaj estus sume malpli ol 0,05° (proksimume duono de terminoj por la korektigo de longitudo). Kredeble 4 decimaloj jam estas pli ol sufiĉe en la sekvantaj internaj rezultoj ĉar en la fina rezulto ni povas atendi maksimume du korektaj decimaloj.

    + 6,288750° * sin( M' )		= +5,4204°
    + 1,274018° * sin( 2*D - M' ) 	= +1,0842°
    + 0,658309° * sin( 2*D ) 		= -0,5820°
    + 0,213616° * sin( 2*M' ) 		= -0,1867°
- e * 0,185596° * sin( M ) 		= +0,0095°
    - 0,114336° * sin( 2*F ) 		= -0,0691°
    + 0,058793° * sin( 2*D - 2*M' )	= +0,0012°   
+ e * 0,057212° * sin( 2*D - M - M' ) 	= +0,0470°
    + 0,053320° * sin( 2*D + M' ) 	= +0,0024°
+ e * 0,045874° * sin( 2*D - M ) 	= -0,0415°
+ e * 0,041024° * sin( M' - M ) 	= +0,0342° 
    - 0,034718° * sin( D )		= -0,0297°
- e * 0,030465° * sin( M + M' ) 	= -0,0269°
    + 0,015326° * sin( 2*D - 2*F ) 	= -0,0065°
    - 0,012528° * sin( 2*F + M' ) 	= -0,0048°
    - 0,010980° * sin( 2*F - M' ) 	= +0,0109°
    + 0,010674° * sin( 4*D - M' ) 	= +0,0007° 
    + 0,010034° * sin( 3*M' ) 		= +0,0002°
    + 0,008548° * sin( 4*D - 2*M' ) 	= -0,0076°
- e * 0,007910° * sin( M - M' + 2*D ) 	= -0,0069°
- e * 0,006783° * sin( 2*D + M ) 	= +0,0058° 
    + 0,005162° * sin( M' - D )		= -0,0001°
+ e * 0,005000° * sin( M + D ) 		= +0,0044°     // ĝis 0,047097°
                                        ----------
                                          +5,7006°

La kalkulita ekliptika longitudo por la Luno do estas λ = L' + 5,7006° = 41,0137417° + 5,7006° = 46,71° kio ja estas nur 0,03° el la korekta valuo 46,68° kaj la eraro do estas malpli ol 0,05° kion mi celumis.

Por latitudo β mi forlasos la malgrandajn terminojn kies sumo estas malpli ol 0,04° kaj ĉi tio do estas la precizeco, la plej granda eraro, kion mi atendas eĉ en la plej malbona kazo.

    + 5,128189° * sin( F ) 			= -1,6340°
    + 0,280606° * sin( M' + F ) 		= -0,1839°
    + 0,277693° * sin( M' - F ) 		= -0,2717°
    + 0,173238° * sin( 2*D - F )  		= +0,1194°
    + 0,055413° * sin( 2*D + F - M' ) 		= -0,0354°
    + 0,046272° * sin( 2*D - F - M' ) 		= -0,0451°
    + 0,032573° * sin( 2*D + F )    		= +0,0321°
    + 0,017198° * sin( 2*M' + F )		= +0,0169°
    + 0,009267° * sin( 2*D + M' - F )		= +0,0025°
    + 0,008823° * sin( 2*M' - F )		= +0,0059°
+ e * 0,008247° * sin( 2*D - M - F )		= +0,0060°
    + 0,004323° * sin( 2*D - F - 2*M' ) 	= +0,0029°
    + 0,004200° * sin( 2*D + F + M' ) 		= -0,0015°
+ e * 0,003372° * sin( F - M - 2*D ) 		= -0,0022°        // ĝis 0,036655°
                                                ----------
                                                  -1,9881°

La kalkulita rezulto por ekliptika latitudo de Luno do estas β = -1,99° kio ja estas tre bona, multe pli bona ol la atendita maksimuma eraro 0,04°.

La Luna metodo de sinjoro Meeus - eĉ se ni uzas malpli ol duonon de terminoj kiojn li proponas - estas iom longa kaj teda por mana kalkulado. Eraroj facile okazas dum fingrumado kaj ili povas katastrofe difekti la rezulton. Certe la longa metodo de sinjoro Meeus estas pli bone taŭga por komputila programo, kie oni bezonas fingrumi la valuojn principe nur unu fojon kaj fingrumaj eraroj estas facilaj por kontroli.

Kaj jes, multe da kalkuloj ankoraŭ restas por kontroli kaj certigi ... neniam ĉesa laboro.

Ekzistas ja ankaŭ la leĝera kalkula metodo por Luno por la nova epoko J2000.0 kion ni renkontis en artikolo #459 ; Ĝi ja promesas precizecon de 0,3° en ekliptika longitudo kaj 0,2° en ekliptika latitudo. Nu, ĝi ja povus esti la plej facila kaj praktika solvo por proksimumaj rezultoj kun mana kalkulado.


La perfekta (komputila) solvo por amatoro?

Nature nur unu kalkulo ne povas doni ian bonan kaj ĉie rekonatan komprenon pri la precizeco de metodo. Oni bezonus multe pli da provoj kaj komparoj de rezultoj al fidinda informo, dum longa tempo, por formi kompetentan verdikton pri precizeco de kalkula metodo. Tia estus tute senespere kiel mana kalkulado kun kalkulilo.

Certe nur forta komputila programo povus testi sufiĉe da rezultoj kontraŭ fidinda akurata informo. Sed kiel amatoro akiru la fidindajn rezultojn el longa tempo por kompari al la mem kalkulitaj rezultoj?

La metodo de apude fotita libro estus interesa alternativo kiel sufiĉe akurata kaj fidinda fonto de informo por la Luno por iom longa tempo, eble eĉ el antikva tempo de piramidoj al la modernaj tagoj de "Concorde".

Estas la libro "Lunar Tables and Programs from 4000 B.C. to A.D. 8000" de Michelle Chapront-Touzé & Jean Chapront el jaro 1991.

La epoko de libro estas la nova J2000.0 kaj eblas kalkuli ±6000 jaroj el tio tempo. Nu, la jaro +8000 ŝajnas iom tro malproksima futuro por mi, sed eble estus iam interese por kalkuli informon por la Luno eĉ por la antikva jaro -4000 (angle 4000 B.C.). La promesita precizeco estas nur 0.8° en longitudo por tiaj tre malproksimaj tempoj, sed kredeble la rezultoj tamen povus esti utilaj.

Realisme la iom peza metodo taŭgas nur por komputiloj kaj programaj lingvoj, por aŭtomata kalkulado. Estus tute senespere nepraktike por provi kalkuli mane per kalkulilo.

La metodo de ĉi tio libro baziĝas al moderna Luna teorio ELP 2000-85. Apude estas informo pri la precizeco kion la aŭtoroj promesas.

Ekzemple por la jaroj 1500 ... 2500 la precizeco de ĉi tio metodo en tercentra longitudo de Luno estas 0,0054°. Tio signifas ke la eraro ne estos pli granda. Certe la eraro povas esti pli malgranda. Kredeble la maksimuma eraro en latitudo estas pli malgranda ol la eraro en longitudo.

Tian eraron ni povas taksi preskaŭ sensignife malgranda eraro, se ni volas testi pli modestan kalkulan metodon, kies precizeco kredeble estus ekzemple proksimume ses minutoj de arko, aŭ 0,1°.

Nu, mi provizore ne intencas komenci tian gigantan projekton. Miaj planoj estas pli modestaj.

La Luno ja aperas iom granda sur la ĉielo. Se ne temas pri astronomia navigacio, mi estas kontenta al precizeco de ekzemple 0,1° por la tercentra direkto de centro de Luno. Tia direkto ja trafas la surfacon de Luno.

Jes, tre multe por batali, sed ...

Kaj certe fine .......... NI VENKOS!

La Ambasadoro en Finnlando
de sendependa nacio
Mueleja Insulo


Menuo
Ĉefa paĝo (finna lingvo)