<<

#436 ; Vektoroj, unu el la plej grandaj ĝojoj de vivo

>>

Mi longe miris kiel pruvi la formulon de vektora produto. La en la komputila reto libere havebla PDF-forma libro "Essential Mechanic - Statics and Strength of Materials with MATLAB and Octave" tamen fine lernigis por mi ke la tasko estas facila.

Ni havu du vektoroj V1 kaj V2 kaj estu la angulo θ inter ili. Estu la tria vektoro V3 = V1 x V2 kiel en la apuda desegnaĵo. Estu la du unuaj vektoroj en ( î, ĵ, ) komponantoj jenaj:

V1 = V1x î + V1y ĵ + V1z 
V2 = V2x î + V2y ĵ + V2z 

Matematiko ja donas pretan formulon por la vektora produto kiel determinanto:

           |    î    ĵ         |
V1 x V2  = |   V1x   V1y   V1z   |
           |   V2x   V2y   V2z   |

Sed kiel pruvi ĉi tion formulon?

Certe ni scias ke la nura grando de vektora produto (sen informo pri la direkto) estas |V1 x V2| = |V1| |V2| sin θ ... kie θ estas la angulo inter la vektoroj.

Ni ankaŭ bone scias el ecoj de vektora produto ke egalas î x î = ĵ x ĵ = x = 0 ĉar la angulo θ inter la vektoroj egalas 0° kaj sin(0°) = 0 kaj nature multipliko kun nulo ĉiam produktas nur nulon kiel rezulto. Ni ankaŭ scias:

î x ĵ =         ĵ x î = -
ĵ x  = î         x ĵ = -î
 x î = ĵ        î x  = -ĵ

... Ĉar la anguloj inter diversaj aksoj estas 90° kaj sin(90°) = 1. Ni do kalkulu la vektoran produton kun la komponantoj de vektoroj:

V1 x V2 = (V1x î + V1y ĵ + V1z ) x (V2x î + V2y ĵ + V2z )

V1 x V2 = ( V1x î ) x ( V2x î ) + ( V1x î ) x ( V2y ĵ ) + ( V1x î ) x ( V2z  )
        + ( V1y ĵ ) x ( V2x î ) + ( V1y ĵ ) x ( V2y ĵ ) + ( V1y ĵ ) x ( V2z  )
        + ( V1z  ) x ( V2x î ) + ( V1z  ) x ( V2y ĵ ) + ( V1z  ) x ( V2z  )

Ĉi tion ni povas skribi same bone ankaŭ ĉi tiel:

V1 x V2 = ( V1x V2x ) ( î x î ) + ( V1x  V2y ) ( î x ĵ ) + ( V1x V2z ) ( î x  )
        + ( V1y V2x ) ( ĵ x î ) + ( V1y V2y ) ( ĵ x ĵ ) + ( V1y V2z ) ( ĵ x  )
        + ( V1z V2x ) (  x î ) + ( V1z V2y ) (  x ĵ ) + ( V1z V2z ) (  x  )

Kiam ni scias ke egalas î x î = ĵ x ĵ = x = 0 , estos la sama formulo jam iom pli simpla ĉar 3 terminoj egalas nur nulon kaj ilin ni do ne plu bezonas pensi:

V1 x V2 =  ( V1x V2x ) ( î x î )  + ( V1x  V2y ) ( î x ĵ ) + ( V1x V2z ) ( î x  )
        + ( V1y V2x ) ( ĵ x î ) +  ( V1y V2y ) ( ĵ x ĵ )  + ( V1y V2z ) ( ĵ x  )
        + ( V1z V2x ) (  x î ) + ( V1z V2y ) (  x ĵ ) +  ( V1z V2z ) ( k̂ x k̂ ) 

Kaj kiam ni memoras ekzemple î x ĵ = , ĵ x î = -, ... kaj tiel plu, eblas simpligi la formulon plue:

V1 x V2 = ( V1x  V2y ) (  ) + ( V1x V2z ) ( -ĵ )
        + ( V1y V2x ) ( - ) + ( V1y V2z ) ( î )
        + ( V1z V2x ) ( ĵ ) + ( V1z V2y ) ( -î ) 

Ĉi tion ni povas skribi ankaŭ ĉi tiel ĉar puran simplan multiplikon oni rajtas fari en kio ajn ordo:

V1 x V2 =  ( V1x V2y ) - ĵ ( V1x V2z )
        -  ( V1y V2x ) + î ( V1y V2z ) 
        + ĵ ( V1z V2x ) - î ( V1z V2y ) 

Kaj plue, kolektante la ( î, ĵ, ) terminojn kune:

V1 x V2 = î ( V1y V2z - V1z V2y ) - ĵ ( V1x V2z - V1z V2x ) +  ( V1x V2y - V1y V2x )

La saman oni povas skribi ankaŭ ĉi tiel uzante determinantojn:

            |  V1y  V1z  |      |  V1x  V1z |     | V1x  V1y |
V1 x V2 = î |            | - ĵ  |          | +  |         |
            |  V2y  V2z  |      |  V2x  V2z |     | V2x  V2y |

Kio estas fakte praktike la sama formulo el kio ni komencis. Do ni jam pruvis la formulon. Iom longa kalkulo, sed relative simpla.


Poemoj por la printempo en urbo Pori

Relative proksime al la ankoraŭ malvarmeta printempa maro la temperaturoj ne estis tre altaj, sed klare la nova printempo jam alvenis al la okcidenta marbordo de Finnlando. La unuan burdon ĉijare mi jam vidis, sed ankoraŭ ne sukcesis por foti.

La printempa vetero instigis min provi Hajko -poemojn de 5-7-5 silaboj. Nu, mi tamen ne scias ĉu ili estas tute laŭ la reguloj de poezio...

Ĉu nomb-ro gran-da
eb-le hel-pus pro-tek-ti
la tu-tan gru-pon?

U-nu-a bur-do
prin-tem-pa sig-na-lis-to
ig-no-ris la 5G

Mul-taj akv-bir-doj
kre-deb-le tre mal-se-kaj
es-tas tro gra-saj

Mal-gran-da flo-ro
ta-men po-ten-ca vi-vo
eĉ ŝto-non ven-kis

La lon-ga ko-lo
a-pe-naŭ hel-pis bir-don
dum lon-ga flu-go

Mal-al-ta ak-vo
en la lo-ka ri-ve-ro
spi-tas var-mi-gon

Jes, la plivarmigo de monda klimato apenaŭ ĉi tie plialtigos la surfacon de akvo tro multe.

Kaj certe fine .......... NI VENKOS!

La Ambasadoro en Finnlando
de sendependa nacio
Mueleja Insulo


Menuo
Ĉefa paĝo (finna lingvo)