Yksinkertainen tasoristikko elementtimenetelmällä

Tässä pyrin ratkaisemaan koulun elementtimenetelmän perusteiden kurssin esimerkin FES09E1 mahdollisimman havainnollisesti. Luentomonisteen ratkaisumenetelmä tuntuu tarpeettoman monimutkaiselta koska tässä ongelmassa on oikeasti vain kaksi vapausastetta (eikä 6 vapausastetta kuten luentomonisteessa). Niinpä en seuraa luentomonistetta, vaan koetan noudattaa tunneilla esitettyä kompaktimpaa ratkaisua.

Ratkaisu tapahtuu tässä kuitenkin omalla JavaScript-koodilla eikä Excel-taulukkolaskennalla kuten koulussa. Excel:ille täytyy antaa sen verran tunnustusta että se on kylläkin hämmästyttävän etevä kääntämään matriiseja (Hyvä Bill Gates!). Tässä erittäin pelkistetyssä tapauksessa tarvitsee kuitenkin kääntää vain 2x2 matriisi koska vapausasteita on oikeasti vain kaksi ja koko systeemin jäykkyysmatriisi on siten kiltti 2x2 matriisi (eikä häijy 6x6 kuten luentomonisteessa).

Probleeman perusluonteesta huomattakoon että solmu 1 on tuettu kiinteäksi eikä liiku mihinkään suuntaan, solmu 2 voi liikkua ainoastaan globaalissa X-suunnassa ja solmu 3 voi liikkua ainoastaan globaalissa Y-suunnassa. Elementit 1 ja 2 muodostavat solmun 1 kohdalla suoran kulman. Solmuja kuormittavat voimat ovat globaalien X- ja Y-akseleiden suuntaisia.

On kai fiksua huomata että rakenne on staattisesti määräämätön, eli sitä ei pysty ratkaisemaan pelkästään staattisten tasapainoehtojen avulla.

Lähtötiedot
Kulmat solmujen 2 ja 3 kohdalla β ja γ     (ja solmun 1 kohdalla on suora kulma 90°)
Solmuja kuormittavat voimat X-suuuntainen kuormitus
solmun 2 kohdalla
F2 =
Y-suuntainen kuormitus
solmun 3 kohdalla
F3 =
elementti 1 elementti 2 elementti 3
Poikkipinta-ala A A1 = mm2 A2 = mm2 A3 = mm2
Materiaalin kimmomoduli E E1 = E2 = E3 =
Elementin pituus L L1 = mm ( L2 ja L3 lasketaan muista tiedoista )
Piirroksen otsikko :  

Dynaamista tekstiä

Merkinnät elementtimenetelmässä ovat matematiikan kannalta hiukan originelleja. Pystyvektori merkitään aaltosulkuihin kuten esim. {F} ja matriisi hakasulkuihin kuten esim. [K]. Globaaleille tiedoille yleensä käytetään isoja kirjaimia ja lokaaleille tiedoille pieniä kirjaimia joten [K] on globaali matriisi ja {u} on lokaali siirtymävektori. Tässä käytetään taulukon alkiolle epästandardia notaatiota (rivi, sarake) joten esim. (1, 2) tarkoittaa taulukon ensimmäisen rivin toisen sarakkeen sisältöä.

Olen ollut hiukan hukassa sen suhteen että miten elementtien lokaalit vapausasteet tulkitaan globaalisti eli koko järjestelmän kannalta. Tässä pyrin selventämään asiaa. Jokaisella sauvaelementillähän on periaatteessa 4 vapausastetta (kun se on irrallaan), mutta kytkennästä muihin elementteihin ja tukiin riippuu mitkä noista vapausasteista pääsevät toteutumaan. Varsinaista perustelua en osaa esittää, vaan tukeudun kuvion intuitiiviseen hahmottamiseen...

Mielestäni elementin toteutuvat vapausasteet on helpointa ajatella siten että se on perusasennossaan X-akselin suuntaisena ja sitä vertaillaan järjestelmän todellisiin globaaleihin vapausasteisiin jotka voi päätellä tuennan perusteella ja tietysti myös miettien että mikä on elementin alkusolmu globaalisti, eli minne se sijoittuu kokonaisuudessa sekä mikä on elementin globaali loppusolmu. Millaiset globaalit vapausasteet on alkusolmulla ja loppusolmulla? Alkusolmulla tulisi kyseeseen elementin alkusolmun lokaalit vapausasteet 1 ja 2 ja elementin loppusolmulla lokaalit vapausasteet 3 ja 4, mutta onko sellaisia todellisuudessa olemassa? En ole vaivautunut tähän merkitsemään edes nollalla sellaisia vapausasteita jotka eivät todellisuudessa ole käytettävissä.

Luentomonisteessa lokaalit vapausasteet mappautuvat tavallaan yksinkertaisemmin globaaleihin vapausasteisiin, mutta se johtaa tarpeettoman suuriin matriiseihin.

Noista tukivoimien etumerkeistä en oikein tiedä pitäisikö ne merkitä piirroksessa näkyviin. Standardimenettely olisi ehkä se että piirroksessa voimat ja tukireaktiot ovat etumerkittömiä ja numeerisessa tuloksessa etumerkillisiä?


Takaisin