Ruutuvihkon, liitutaulun ja piirtoheittimen uusi elämä

Edellinen Seuraava

Liitutaulu on aivan hyvä työkalu lähiopetuksessa. Kansakoulun alaluokilla meillä oli Jalasjärven Alavallissa 1960-luvulla omat sinänsä pienehköt mutta lapsen kannalta aika kookkaat (kooltaan ehkä noin 40 cm * 25 cm?) liitutaulut joilla voimme mm. harjoitella kirjainten ja numeroiden piirtämistä. Luokan edessä opettajan korokkeen ja opettajanpöydän suunnalla oli tietenkin iso tumma liitutaulu jolle piirteli lähinnä luokan opettaja (äitini Armi).

Helmitaulu oli myös keskeinen opin instrumentti kansakoulun alaluokilla, mutta sitä en sittemmin ole erityisemmin kaivannut. Keskikoulussa sain tutustua laskutikkuun ja se oli vielä silloin kova peli. Elektroniikka tunkeutui numeerisen matematiikan alueelle 1970-luvun lopulla ja kauniit sekä havainnolliset graafiset ratkaisut kuten laskutikku heitettiin surutta menemään kuin lapsi pesuveden mukana. Ymmärrys korvattiin koneilla. Ei tarvinnut enää osata mitään?

Hyvä päässälaskutaito on sekin monasti siunauksellinen valmius. Ihan yhden käden sormilla ei välttämättä pärjää muuten kuin Hitler-tervehdyksessä. Keskisormen kanssa täytyy muutenkin olla nykyisin varovainen koska se on avainelementti ns. eri kansojen ja rotujen välisessä globaalissa ja kulttuuriin sitoutumattomassa käsimerkissä joka yleisesti koetaan loukkaavaksi. Oheiset puiset [flying tiger] mallit symboloivat tässä peruslaskuvalmiuksien suurta merkitystä polkiessaan alleen korkeamman matematiikan alkeita käsittelevää koulun kirjastosta muuttovilinässä poistettua kirjaa. Eipä tosin ole kummoinenkaan opus, joten polkekoot vaan.

Ruutuvihko ja lyijykynä on myös aivan käypäinen opiskelijan henkilökohtainen työkalu ja mielestäni pätevä tänä päivänäkin. Tosin vaikuttaa ainakin Satakunnan ammattikorkeakoulussa (SAMK) siltä että nykyisin pyrkimyksenä on paperiton koulu. Digitalisoinnin kiimassa halutaan hyvät ja toimiviksi koetut menetelmät heittää romukoppaan. Kaikki tuntuu kelpaavan, kunhan se on digitaalista.

Liitutauluja olen ohimennen jonkin verran kuvannut edellä SAMK:in vanhalla Vähärauman kampuksella mm. jutuissa #378, #380, #383, #391 ja #394. Uudella kampuksella vähemmän taitaa olla edes tushilla piirrettäviä tauluja.

Piirtoheittimiä on epäilemättä paljon käytetty opetuksessa, mutta ne olivat esimerkiksi ammattikoulussa aika uusi asia 1970-luvulla ja ammattikorkeakoulussa 2010-luvulla jo pitkälti jääneet pois käytöstä, joten niistä minulla on suhteellisen vähän kokemuksia. Tietokoneavusteiset videoprojektorit korvasivat piirtoheittimet valkokankaan valaisussa ja nämä puolestaan on jo osittain syrjäyttänyt iso litteä näyttö.

Uudella kampuksella perinteisen videoprojektorin on luokkahuoneissa syrjäyttänyt langattomassa lähiverkossa toimiva, lähelle valaistavaa pintaa sijoitettava malli. Erilliset valkokankaat on syrjäytetty, käytetään seinäpintaa. Laitteen optiikka on varmaan aiempaa kehittyneempää, mutta tärinälle nuo uudet ihmeet ovat herkkiä. Uudella kampuksella luokissa esiintyy joskus melko erikoista tärinää "kuin ruotsinlaivalla".

Voin hyvin kuvitella että oheisen kuvan mukaisia piirtoheitinkalvoja on ollut SAMK:issa käytössä piirtoheitinten aikakaudella. Ne lie skannattu piirtoheitinkalvoista pdf-dokumenteiksi kun on siirrytty videoprojektoreiden käyttöön.

Tämä teknisten opetusmenetelmien murros on jotenkin kiehtova aihe. Tekee mieli tuoda siitä esiin joitakin näkökohtia, lähinnä matematiikan opetuksen kannalta.

Matte eli matematiikka-moduuli

SAMK:in (vanhaan) Matematiikka-moduuliin pääsin ensimmäistä kertaa tutustumaan netin kautta syksyllä 2014. Minut oli ammattikorkeakouluopintojen ensimmäisen lukuvuoden jälkeen häädetty vuokra-asunnosta Raumalta ja ulosoton alaisena olin muuttanut sinne ainoaan paikkaan johon minulla oli lupa mennä, eli Etelä-Pohjanmaalle Seinäjoen kaupungin laitaosien haja-asutusalueelle isä-vainaan vanhaan torppaan Peräseinäjoen Kihniänkylään, postiosoite 61650 KALAKOSKI.

Lähiopiskelu ei ollut mahdollista Kalakoskelta käsin. Vain muutama kouluauto kulki siellä maaseudulla Seinäjoen keskustan suunnalle eli poispäin Porista. En saanut toisen vuoden syyslukukaudelle opiskelija-asuntoa Porista ja kulkuneuvon puutteessa liikkuminen haja-asutusalueelta oli vaikeaa. Tentteihinkään en pystynyt Porissa osallistumaan. Ulosottomies ja sosiaalitoimisto eivät välittäneet opiskelijan talousongelmista. Että sellainen hyvinvointiyhteiskunta ja lintukoto tämä Sulo-Suomemme on opiskelijan kannalta.

Tietokone ja Internet-yhteys ovat kuitenkin opiskelijalle välttämätön työkalu vaikka Rauman sosiaalitoimisto ei sellaista varmaan tule koskaan myöntämään. Tietotekniset apuvälineet ovat välttämättömiä jos aikoo opiskella tehokkaasti. Tietotekniikan varaan opetuksessa rakennetaan yhä enemmän ja se tokikin voi olla myös ongelma. Tietotekninen apuväline voi olla kuin kaksiteräinen miekka. Siitä voi olla hyötyä, mutta toisaalta siitä voi tulla riippuvaiseksi. Apuvälineestä tuleekin "pakkoväline" joka merkittävästi lisää opiskelun kustannuksia ja jota ilman on vaikea pärjätä.

Omien muistiinpanojen ja omaehtoisen ajattelun sekä toiminnan merkitystä ei silti pidä vähätellä. "Pännä-paperi-tekniikka" eli ruutupaperi ja kynä ovat edelleen toimivia aseita taistelussa tietämättömyyttä ja osaamattomuutta vastaan.

Langaton netti siellä Kalakoskella sentään toimi Soneran mokkulan avulla aika hyvin, paremmin kuin Raumalla. Niinpä urhoollisesti ilmoittauduin Porin kurssille Matematiikka 3 joka käsitteli differentiaali- ja integraalilaskentaa. Vaikeuksia aiheutti mm. kurssilla käytettävän oppikirjan puute. Kurssilla oli tosiaikainen Hill/Webex-yhteys ja ainakin joitakin pdf-muotoisia luentokalvoja oli saatavissa.

Kari Nummelinin Hill/Webex-tyyliä esittävät oheiset syksyn 2014 otteet pdf-luentokalvoista joissa esitellään implisiittista derivointia. Tässä tyylinä on piirtää teksti suoraan tietokoneen näytölle kuin piirto-ohjelmassa. Dokumenttikamera ei ole tässä käytössä ja videoyhteydellä kaistaa netistä tarvitaan melko vähän koska siirrettävä tieto on melko kompaktia.

Implisiittinen derivointi on aivan hyvä tekniikka osata. Implisiittisen funktion tapauksessa se on ainoa mahdollisuus. Tosin oheinen esimerkki x2 + y2 = 4 ei ole aidosti implisiittinen tapaus, koska sehän voitaisiin helposti esittää eksplisiittisessä muodossa y2 = 4 - x2 ja ratkaista derivaatta neliöjuuresta.

Joka tapauksessa ideana on derivoida muuttuja x normaaliin tapaan ja ajatella muuttujaa y muuttujan x funktiona sekä soveltaa tunnettua ketjukaavaa.

  d         dy    du
---- y  =  ----  ----
 dx         du    dx

Esimerkin termi x2 derivoidaan tavalliseen tapaan muotoon 2·x ja toinen termi y2 ymmärretään x:n funktioksi y jonka derivaatta muodostuu kahdesta osasta:

  d         d y2   dy             dy
---- y2  =  ----  ----  =  2·y · ----  =  2·y·y'
 dx          dy    dx             dx

Emme sinänsä tiedä mitä muuttujan y derivaatta dy/dx tai lyhyemmin merkittynä y' on (huomaa y' hipsu), mutta ei se haittaa kunhan vain muistamme kuljetella sitä mukana. Derivaatat ovat siis tässä nimenomaan muuttujan x suhteen. Derivaatan arvo selviää yksinkertaisesti siirtämällä derivaatan sisältämät termit yhdelle puolelle yhtäsuuruusmerkkiä, eristämällä derivaatta yhteiseksi tekijäksi ja jakamalla yhtälön toinen puoli derivaatan kertoimella.

Toinen implisiittisen derivaatan esimerkki on hiukan vaativampi koska siinä on yhtenä terminä derivoitava myös muuttujien tulo 2·x·y , mutta periaate on muuten sama. Tulon derivaatan voi helpoiten esittää muodossa (u·v)' = u'·v + u·v' joten implisiittisesti derivoiden D(2·x·y) = 2·1·y + 2·x·1·y' = 2·y + 2·x·y' kun tietenkin on dx/dx = x' = 1 ja dy/dx = dy/dy·dy/dx = 1·dy/dx = y' (muistaen että derivaatat ovat muuttujan x suhteen).

Olen muuten vuoden 2013 syksyllä kuvannut mekaniikan Hill-sessioita Porin vanhan Vähärauman kampuksen Hill-luokassa paikan päällä pienessä juttusarjassa tässä. Vaikka eihän kaikissa Hill-yhteyksissä suinkaan välttämättä ole tuollaista isoa piirtotaulua käytössä.

En ole käynyt lukiota, mutta olen kyllä vuosien varrella omatoimisesti koettanut perehtyä ns. korkeampaan matematiikkaan. Haluan ehdottomasti oppia kunnolla mm. Fourier-analyysin [furje] ja Laplace-transformaatiot sekä Maxwellin yhtälöiden soveltamisen eli vektorianalyysin roottoreiden ja divergenssien käytön käytännön tapauksiin.

Uudistuneessa matematiikka-moduulissa saimme kahdella kurssilla TTY:n Porin laitoksen avustuksella tehonannoksen lineaarialgebraa lukuvuonna 2016-2017. Etukäteen nauhoitetuilla videoluennoilla oli opetuksessa keskeinen rooli. Toki oli myös laskuharjoituksia ja tenttejä. Lineaarialgebraa tällä sivustolla käsitellee eniten vanha juttu #398 (PNS-sovite).

Oheisena on Tampereen teknillisen yliopiston (TTY) Porin laitoksen Frank Cameronin tyylinäyte kuvankaappauksena kurssin Matematiikka 1 mp4-tyyppisellä opetusvideolla. Videot olivat mielestäni varsin tehokas opiskelun tapa, vaikka interaktiivisuus niistä puuttuukin. Oppikirjat ovat monasti hyvään opetusvideoon verrattuna tylsiä ja vähemmän motivoivia. Inhimilllinen elementti on hyödyllinen.

Näissä opetusvideoissa opettaja kirjoittelee paljon vapaalla kädellä, mutta hyödyntää myös taukoja ja valmiiksi kirjoitettua tekstiä. Video ei siis etene aivan tosiaikaisesti. Toisinaan video näyttää MATLAB-ohjelman tuloksia.

Erään pedagogisen tyylisuunnan mukaan opettajan ei edes pitäisi paljoakaan selitellä opetettavaa asiaa, vaan jättää yksityiskohdat opiskelijoiden itse oivallettaviksi. Voi ehkä ajatella että parhaiten oppii jos itse löytää vastaukset ja joutuu tekemään työtä niiden eteen. Mutta enpä tiedä onko se aivan noinkaan.

Koko totuus on mutkallisempi. Vanhan kansanviisauden mukaan "kannettu vesi ei kaivossa pysy", mutta kyllä kaivoon kannetusta vedestäkin voi joskus olla hyötyä. Oma panos on opiskelussa tärkeä mutta apujakin on hyvä olla tarjolla.

Mielestäni on erittäin hyvä asia että opetuksessa on persoonallinen ote. On hyvä että opettaja pyrkii havainnollisuuteen ja monisanaisuuteen. Ei ole pahitteeksi vaikka sama asia esitetään eri tavoin. Tiukka muodollisuus ja kieli keskellä suuta kulkeminen ei välttämättä ole ainoa oikea ja autuaaksitekevä tie. Elämä on likaista eikä sitä faktaa pidä salailla tai piilotella. Opiskelijan on hyvä saada myös oheistietoa, eräänlaista "hiljaista tietoa", seikkoja joita ei välttämättä kirjoissa kehdata kirjoittaa auki ja lausua suoraan.

Yleensä matematiikan opettajat näköjään kirjoittavat tietokoneavusteisessakin opetuksessa käsin. Matemaattisten symboleiden esittämisessä tietotekniikan avulla toki on omat ongelmansa jos ohjelmaa pitää käyttää kuin kirjoituskonetta. Käsin kirjoittaminen on vapaampaa ja intuitiivisempaa.

Käsiala saattaa joskus vaatia hiukan tulkintaa, mutta on vaikea uskoa että tosiaikainen matemaattisten symboleiden valitseminen jostakin valikkorakenteesta tai työkalulaatikosta olisi yhtä sujuvaa kuin käsin kirjoittaminen. Tai noh, kyllähän esimerkiksi Casion CAS-laskimen graafinen käyttöliittymä on melko luonteva. Arvaan kuitenkin että editoinnissa tulisi vaikeuksia. Virheitä kuitenkin aina tulee ja niitä joutuu korjailemaan. Lisäksi opettaja monasti haluaa tehdä esitykseen ex tempore myöskin vapaamuotoisia epästandardeja mutta havainnollistavia merkintöjä sekä vapaalla kädellä piirrettyjä kuvioita. Esityksen rytmi ja sujuvuus voivat nekin olla oppitunnissa merkityksellisiä piirteitä. Valmiin tekstin lukeminen ääneen ei omaa samaa "impetusta" kuin omakohtainen tekeminen tosiajassa.

Olen koettanut tehdä matematiikan kotitehtäviä Wordillä ja toistaiseksi se on onnistunut. Lopputulos täytyyy joka tapauksessa saada pdf-muotoon. Yleinen tapa koulussa kuitenkin on että tehtävät tehdään kynällä paperille ja skannataan pdf-tiedostoksi sähköpostin liitteeksi tai kenties omalle muistitikulle.

Satakunnan ammattikorkeakoulun uudistuneen matematiikka-moduulin kolmella ensimmäisellä kurssilla Rauma oli ehkä hiukan eri linjoilla kuin Pori, vaikka molemmilla oli periaatteessa runkona sama TTY:n Porin laitoksen materiaali.

Ohessa on ote nuorempaa polvea edustavan TTY:n Timo Rannan lineaarialgebran videoluennosta. Tämä on kuvankaappaus mp4-videosta. Tyyli on tässä hyvin oppikirjamainen. Timo Ranta toimi vanhalla kampuksella ansiokkaasti lineaarialgebran laskuharjoitusten vetäjänä ja johdatteli meitä sen taiteen lajin saloihin. Ja olihan meillä aluksi logiikkaakin.

Uudistuneen matematiikka-moduulin kolmannella kurssilla saimme tutustua todennäköisyyslaskentaan syyslukukaudella 2017. Tämän tiimoilta olen edellä hiukan raportoinut mm. jutussa #414. Minulle uutuus olivat TTY:n Echo-videot jotka olivat "on-line"-tyyppisiä, niin että nauhoitteita ei pystynyt tallentamaan omalle koneelle. Echo-videot ovat nauhoitteita pidetyistä luennoista ja yleisökin on niissä hiukan mukana. Luennon yleisö ilmeisesti seuraa dokumenttikameran kuvaa jonkinlaisen projektorin avulla. En tiedä tarkemmin koska en ole ollut paikalla. Onneksi aiempia off-line videoita oli myös saatavissa TTY:n Moodlesta. Ymmärsin niin että Echo -videoita ei voi editoida. Nauhoituksen voi sentään välillä keskeyttää. Tavallisia mp4-videoita voinee editoida.

Persoonallisimpiin matematiikan opettajiin epäilemättä lukeutuu TTY:n J.T.Tanttu johon olen saanut tutustua TTY:n todennäköisyyslaskennan on-line-videoiden välityksellä. Hänen tyyliään voisi ehkä kuvailla rempseäksi, positiivisessa mielessä. "Vanhan liiton miehiä." En koe ongelmaksi sitä että ihmiset ovat erilaisia, olkoot vaan minun puolestani.

Echo-videoita, sitä TTY:n on-line-systeemiä vastaan minulla sensijaan on jotakin hampaankolossa. On-line videoita ei voi tallentaa omalle koneelle (vaikka eipä voi tallentaa myöskään Hill-videoita) ja ne vaativat melkoisesti kaistaa. Hill-videoiden kanssa ei yleensä ole ollut ongelmia nettiyhteydessä, kunhan Java-versio on ajan tasalla eikä käyttöjärjestelmää päivitetä juuri silloin yhteyden aikana. Tekunkorven 2 Mbit/s talolaajakaista riittää yleensä hyvin Hill-yhteydelle, mutta Echo-systeemin on-line-videoiden kanssa on ollut pientä hankaluutta. Hill-systeemin videon päivitystaajuus on varsin maltillinen ja kuvan laatu ehkä nauhoitteessa erilainen kuin tosiaikaisessa yhteydessä.

Echo-systeemi lähettää kahta videokameran kuvaa. Dokumenttikamera kuvaa pöytää jossa voidaan esitellä mm. papereita ja toinen kamera kuvaa esitelmöijää jonka takana näkyy per se (latinaa: itsessään, sinänsä!) tyhjä valkea tushitaulu. Huulisynkka ei toteudu täydellisesti, eli luennoitsijan huulet liikkuvat hiukan eri tahtiin kuin kuuluva puhe, mutta informaation välittämisen kannalta ääni tulee riittävän oikea-aikaisesti kuvan kanssa. Dokumenttikameran kuva on kyllä melkoisen terävä, mutta ei se sentään kaikkein pienimpiä paperille kirjoitettuja symboleita toista aivan kunnialla. Todennäköisyyslaskennassa käytettiin "nuotteja" joissa oli luentojen perusteksti koneella kirjoitettuna. Näitä luennoitsija sitten täydenteli käsin. Toteutus oli sikäli eräänlainen hybridi koneella kirjoitetun tekstin ja luentomuistiinpanojen välillä.

Oikealla Tanttu todistaa todennäköisyyslaskennan kurssilla että standardin normaalijakauman integraali koko alueellaan on tasan yksi. Apuna kaksinkertaisessa integraalissa käytetään erittäin ovelaa koordinaatistomuunnosta. Tämä lie vaativimpia todennäköisyyslaskennan kurssin todistuksia. Integraalilaskentaa on sikäli hyvä ymmärtää jos aikoo oppia todennäköisyyslaskentaa. Vaikka eihän tuollaisia todistuksia tarvitse itse tehdä, kunhan vaan sujuvasti kuuntelee ja seuraa niitä.

Ammattikorkeakoulun Matematiikka-moduulin idea on tarjota insinööriopiskelijalle ne matematiikan perustiedot joita yliopistossa insinööriopiskelijalta odotetaan. Moduuli on suunnattu lähinnä niille opiskelijoille jotka aikovat pyrkiä Tampereen teknilliseen yliopistoon, joka Porissa sijaitsee entisen Porin Puuvillan tiloissa. Maisterihaku on luullakseni maaliskuussa ja sen kautta Puuvillaan voi pyrkiä. Puuvillassa insinööri voisi opiskella diplomi-insinööriksi eli DI:ksi.

Ei voi kiistää etteikö minulla tuo maisterihaku ja Puuvilla ole ollut mielessä, mutta ei se ole minulle mikään sine qua non. Jään henkiin vaikka en pääsekään sinne ja korkeat tavoitteeni matematiikassa pysyvät voimassa siitä huolimatta. Puuvillassa olisi vain johtamispainotteinen linja, enkä voi sanoa johtamisen opiskelusta erityisemmin nauttineeni. Mitä ihmeen pikku-Hitlereitä nuo oppilaitokset kuvittelevat meidän olevan! Johtamista tuskin tarvitsevat muut kuin herrat johtajat itse.

Tärkeitä asioita voi opiskella koulujen ulkopuolellakin. Kauhavalaisen insinööri Toivo Karjanlahden Kurikassa ammattikoulussa minulle yli 40 vuotta sitten kylvämä matematiikan himo on ja pysyy. Juuri häneltä muuten on minun käyttööni periytynyt normaalijakauman tiheysfunktion graafista esitystä kuvaava nimitys "Gaussin kellokäyrä". TTY:n todennäköisyyslaskennan kurssilla puhuttiin pelkästään "Gaussin käyrästä", ei kellokäyrästä. Sellaista se maallistuminen ja kirkollisista asioista erkaantuminen teettää! Vaikka eihän se käyrä kuulemma ole edes Gaussin oma keksintö, vaan todellinen keksijä lie herra nimeltään De Moivre.

Alkuvuodesta 2018 ympyrä sulkeutuu. Palaan jälleen kerran diffiksen pariin.

Matematiikka-moduulissa lineaarialgebra ja todennäköisyyslaskenta lähtevät perusteista, mutta diffiksessä lähtökohtana on vankasti se että ammattikorkeakoulun insinöörin matikan peruskurssit antavat tarvittavat pohjatiedot.

Tänä kevätlukukautena 2018 matematiikka-moduulissa on neljännellä kurssilla jälleen vuorossa differentiaali- ja integraalilaskenta. Palaan siis samaan aiheeseen, diffikseen jota syksyllä 2014 yritin seurata Kalakoskella. Olosuhteet ovat nyt huomattavasti paremmat. Oikeat oppikirjat ovat käytettävissä. Kotitehtävien suorittaminen on paljon helpompaa. Tentteihinkin pystyn luultavasti osallistumaan paikan päällä normaalisti.

Oppikirja Calculus - A Complete Course, Robert A. Adams (& Christopher Essex [uudemmassa laitoksessa]) on edelleen käytössä. Sehän on melko laaja opus. Kurssilla siitä käytetään lähinnä painoksia 6. ja 7., mutta kirjasta on olemassa myös 8.painos (jollaisen hankin kesällä omaksi) ja taitaa olla jo yhdeksäskin editio. Kiusalliseksi nuo eri editiot tekee se että tehtävien numerointi ei ole aivan sama kautta linjan. Niinpä kotitehtävien numeroinnin kanssa täytyy olla tarkkana. Varmuuden vuoksi lainasin koulun kirjastosta oppikirjan 6. painoksen niin että voin varmistaa tekeväni oikeita kotitehtäviä.

Matematiikka 4 toimii Hill/Webex-yhteydellä Raumalta. Tällä kurssilla ei enää ole yhteyttä Puuvillaan. Siellä Raumalla opiskelijat voivat osallistua luentoon paikan päällä lähiopetuksena, mutta erillisen porilaisen toteutuksen puutteessa Porista käsin on opiskeltava etänä. Meitä on kurssille ilmoittautuneita 13 opiskelijaa Raumalta ja Porista yhteensä. Nyt on tutustuttava sikäläisen matematiikan opettajan Esa Karjalaisen tyyliin.

Tällä kurssilla luentomuistiinpanot täytyy kirjoittaa itse. Netistä näkee tosiajassa dokumenttikameran kuvan paperista johon opettaja kirjoittaa. Kuvan laatu ei ole aivan superhyvä ja hypertarkka, mutta käyttökelpoinen.

Tavalliset Hill:in pdf-dokut olisivat terävämpiä, mutta paperille kynällä kirjoittaminen varmaan on luonnollisempaa. Ja jäähän niistä opettajalle ilman tietotekniikkaa luettavissa oleva paperidokumentti josta näkee mitä tunnilla on tehty. Toki videoista on Moodle-oppimisjärjestelmässä myöhemmin saatavissa myös nauhoitteita jotka on nimetty aiheittain. Ihan koko oppitunti ei ole nauhoitteissa mukana.

Videotallenteiden kuvakaappausten käyttö kompakteiksi muistiinpanoiksi olisi aika hankalaa ja vaatisi joka tapauksessa katselemiseen tietokoneen käyttöä, ellei tulosta paperille. Omat muistiinpanot ovat joka tapauksessa tarpeellisia, joten eihän haitta ole suuren suuri.

Opettajan kuuluvuus sieltä Raumalta ei ole Hill:issä kovin hyvä. Omalla koneella joutuu kuulokkeitakin käyttäessään ns. kääntämään nupit kaakkoon eli säätämään äänen täysille että kuulisi mitä ope puhelee. Minne lie mikrofoni sijoitettu ja onko varsinainen opettajan mikki edes auki tai (en tiedä mitä Raumalla käyttävät) onko mahdollisessa opettajan langattomassa mikrofonissa akku/paristo voimissaan, mutta opiskelijoiden ääntely kuuluu toisinaan paremmin kuin opettajan ääni.

Istunnon nauhoitus keskeytetään 15 minuutin tauon ajaksi, mutta mikrofoni on päällä ja ääniyhteys toimii. Onhan se sikäli hyvä, että joskus on ehkä mahdollista tauon aikana yleisen turvallisuuden nimissä kontrolloida etteivät raumalaiset opiskelijat vaan siellä Hill-luokassa puhu pahaa porilaisista! Voivathan he siellä tosin puhella keskenään Hill-yhteyden ulkopuolella, sillä Hill-yhteyden käynnistämiseen menee aikaa eikä se aina ole aivan ongelmatonta.

Polynomien jako tekijöihin on diffiksessä erittäin tärkeä perustaito. Oheisessa kuvassa opettaja esittelee omaperäistä menetelmäänsä jota ei taida aivan hevin tuollaisena löytää kirjoista.

Tehtävänä on jakaa tekijöihinsä y = x4 - 1 ja arvaamme tietenkin että neljännen asteen yhtälöllä täytyy olla 4 nollakohtaa. Helposti löytyy x4 = 1 eli x = 1 ja muiden kolmen täytyy ehkä siten olla kompleksisia?

Tätä on hiukan hankalaa selittää yksityiskohtaisesti, mutta ideana on laskea osoittaja termeiksi joissa on kertoimena se helposti löytyvä polynomin tekijä, tässä ( x - 1 ). Voinee sanoa että tässä tehdään polynomien jakolaskua askeleittain ilman jakokulmaa.

 x3·(x - 1) + x2·(x - 1) + x·(x - 1) + 1·(x - 1)
------------------------------------------------
                         (x - 1)
Jatkossa sitten jaetaan osoittajan kukin termi nimittäjällä. Tästähän tulee x3 + x2 + x + 1 joten lopulta voidaan vetää seuraava johtopäätös : y = (x - 1)·(x3 + x2 + x + 1) = (x - 1)·[x2·(x + 1) + 1·(x + 1)] = (x - 1)·(x2 + 1)·(x + 1)

Polynomin nollakohta x = 1 esitetään tulontekijänä ( x - 1) . Lopulta polynomin reaalisiksi nollakohdiksi löytyvät +1 ja -1.

Hiukan hämäävä voi olla jos luulee että raumalaisen logiikan mukaan olisi x2·(x + 1) = (x2 + 1) kun se oikeasti on x3 + x2 mutta on huomattava että tuo hakasuluissa oleva lauseke ei ole tulomuodossa ja siinä (x + 1) on yhteinen tekijä, joten [x2·(x + 1) + 1·(x + 1)] = (x + 1)·(x2 + 1)

Kompleksisia juuria tässä ei tosin ratkaista lainkaan. Tuo polynomin tekijä (x2 + 1) kuitenkin voidaan tulkita niin että kun se on nolla niin ... voi voi täytyy taaskin korjailla omia virheitään ... täytyy olla (x2 + 1) = 0 eli x2 = -1 joka tarkoittaa että eräs juuri on kompleksiluku 0 ± i sillä määritelmän mukaan imaginaariyksikön toinen potenssi i2 = -1 .

Raumalaisen opettajan erikoinen tyyli ilmenee myös trigonometristen funktioiden todistuksessa käytettävästä Euler:in [oiler] kaavasta ei·x = cos x + i · sin x . Taka-ajatuksena tässä on siis todistaa mm. kulmien summien trigonometristen funktioiden - kuten sin(u+v) - ja kaksinkertaisten kulmien - kuten cos(2x) - trigonometristen funktioiden kaavoja Eulerin yhtälöä käyttäen. Tällainen originelli ajatus luullakseni ei välttämättä ensimmäisenä tule opiskelijan mieleen, mutta ajatuksen sisäistäminen saattaa myöhemmin osoittautua hyödylliseksi investoinniksi.

Opettajan erikoinen tyyli ei välttämättä paljoa haittaa, kunhan sen tietää. Erilaisiin tyyleihin tutustuminen on rikkaus koska se avartaa ajattelua. Pieni aivovoimistelu ei koskaan ole ketään tappanut ja omakohtaisen ponnistelun kautta se matematiikan oppi joka tapauksessa on omaksuttava.

Matematiikkaan ei edelleenkään ole olemassa mitään kuninkaantietä. Fiksuista laskimista, tietokoneista, projektoreista, videoista ja tosiaikaisista sähköisistä audiovisuaalisista sessioista huolimatta.



Galleria