Todennäköisesti läpi loppuelämän permutoiden ja kombinoiden

Edellinen Seuraava

Syntymäpäivä lähenee, 59 vuotta tulee tälle henkilölle täyteen 30.09.2017 klo 19:30 Itä-Euroopan vyöhykeaikaa (UTC+2h) eli kesäaikaa klo 20:30 (UTC+3h). Tänne Porin Vähärauman kaupunginosaan on tie tähän mennessä vienyt sieltä Seinäjoen vanhasta synnytyssairaalasta josta se alkoi. Mutta eteenpäin täytyy tsempata silti, päivä kerrallaan, täysin häikäilemättömästi ja mitään keinoja kaihtamatta.

TTY:n toteuttama todennäköisyyslaskennan kurssi etenee tasaisen tappavasti. Uutuutena SAMK matematiikka-moduulin aiempiin kursseihin on "Echo"-videot joita voi katsella ainoastaan on-line eli tosiajassa toimivalla palvelinyhteydellä. Niitä videoita ei voi tallentaa levylle ja katsella myöhemmin. Niitä suljetun järjestelmän videoita siis katsellaan selaimella etäpalvelimella olevan nettikilkkeen kautta. En pidä tuota systeemiä erikoisen hyvänä, enkä voi sitä suositella, mutta onneksi on vaihtoehtona myös perinteisiä samaa aihepiiriä käsitteleviä vanhempia tavallisia mp4-videoita joita voi tallentaa omalle koneelle ja katsella myös off-line, ilman tosiaikaista yhteyttä palvelimeen.

Mielestäni julkisesti rahoitetun tiedon tulevaisuuden tulisi olla avoin eikä suljettu. Kyllä ne suljetun systeeminkin videot on silti hyvä katsoa koska tehtävät oletettavasti perustuvat niihin ja kieltämättä niihin sisältyy myös jonkinlaista yleistä viisautta ja ainakin osittain erilainen virkistävä näkökulma aiheeseen.

Ne "Echo"-systeemin videot ovat olleet hiukan ongelmallisia Tekunkorven 2Mbit/s talolaajakaistalla. Jotkut videot eivät toimi oikein niin hitaalla yhteydellä. Onneksi mobiililaajakaista pelastaa tilanteen. Minun Elisa-mobiililaajakaistani pystyy ajoittain ainakin noin 32Mbit/s nopeuteen ja ne järjettömän paljon kaistaa kuluttavat "Echo"-videot ovat sen kautta toistaiseksi toistuneet ongelmitta.

Kurssin ongelma MATLAB-ohjelman käytössä ei ole aivan toivoton vaikka meillä ei omassa koneessa sellaista olekaan. Pari tietokoneluokkaa on kuulemma käytettävissä iltaisin ja ehkä tuntivarausten väliaikoinakin ja siellä ilmeisesti on MATLAB asennettuna.

Juuri nyt on tärkeää teroittaa mieleen kombinatoriikan perusteita, täysin brutaalisti ja alhaisimpiakaan keinoja kaihtamatta. Niinpä esitän tässä erilaisten permutaatioiden ja kombinaatioiden tyypit, opiksi itselleni ja muille. Tätä voi pitää eräänlaisena laiskanläksynä. Todennäköisyyslaskenta on matematiikka-moduulissa uutuus ja se vaatii hiukan totuttelua.

Permutaatio

Permutaatio on joukon alkioiden jokin tietty järjestys. Joukossahan alkioiden järjestyksellä ei joukko-opin mukaan ole merkitystä, mutta permutaatiossa järjestys siis on merkitsevä. Tapaamme 4 erilaista permutaatiota.

I permutaatio

Tavallisessa permutaatiossa joukon kaikki n alkiota voidaan järjestää kaikkiin mahdollisiin erilaisiin järjestyksiin. Alkioita ei kuitenkaan toisteta, vaan kutakin käytetään vain kerran. Permutaation pituus on siis yhtä suuri kuin joukon alkioiden määrä. Permutaatioiden lukumäärä PI:

PI = n (n-1) (n-2) ... (2) (1) = n!

Tämän voi selittää siten että eka alkio voidaan valita n eri tavalla, seuraava n-1 eri tavalla, .... ja lopuksi voidaan valita vain yksi jäljelle jäänyt alkio. Permutaatioiden lukumäärä on siten yllä mainittu tulo, luvun n kertoma, n!. Kertoman n! arvo kasvaa nopeasti kun n kasvaa.

II permutaatio

Toinen permutaatio on sikäli erilainen että sen pituus k on pienempi kuin joukon alkioiden määrä n, eli k < n. Kaikkia joukon alkioita ei siis käytetä. Tässäkään alkioita ei toisteta, vaan kutakin alkiota voidaan käyttää korkeintaan yhden kerran. Näiden permutaatioiden lukumäärä:

PII = n (n-1) (n-2) ... (n-k+1)

Tämän voi ymmärtää vastaavalla tavalla kuin edellisen. Aluksi vaihtoehtoja on n kpl, koska voidaan valita mikä tahansa joukon n alkioista. Toinen alkio voidaan valita n-1 eri tavalla koska yksi joukon alkioista on jo käytetty. Viimeisen alkion valinnassa vaihtoehtoja on jäljellä n-k+1 ja näistä siis muodostetaan tulo.

Jos olisi n=k eli permutaation pituus k olisi sama kuin joukon alkioiden määrä n, niin kyseessähän olisi edellä käsitelty tavallinen permutaatio. Jos taas olisi k>n niin silloinhan alkioita olisi pakko toistaa, eli ei voitaisikaan lähteä siitä että kutakin käytetään korkeintaan yhden kerran.

Saman permutaatioiden määrän voi halutessaan esittää myös toisin kertomien avulla:

                                        n!
PII  =  n (n-1) (n-2) ... (n-k+1)  =  -------
                                      (n-k)!

Tämä luvun n kertoma jaettuna luvun n-k kertomalla voi tuntua aluksi tarpeettomalta temppuilulta, puuhun kiipeämiseltä perse edellä vain sen todistamiseksi että niinkin voi tehdä. Kombinaatioiden yhteydessä tavataan kuitenkin hiukan samantapainen kaava, joten tämäkin on hyvä ymmärtää.

Ne tulontekijät jotka jäävät pois tavalliseen permutaatioon verrattuna ovat siis (jos ajatellaan että n on paljon suurempi kuin k): (n-k) (n-k-1) ... (2) (1) ja tämä juurikin on (n-k)! joten osoittajan n! "ylimääräiset" kertojat saadaan pois jakamalla tuolla luvulla.

Uskoakseni eräissä laskimissa oleva funktio nPr tarkoittaa juuri tätä permutaatiota. (Huomattakoon että funktio nCr on eri asia.)

Esimerkiksi 4 nPr 2 = 12

  4!       (4)(3) 2!
------  =  ---------  = 12
(4-2)!        2!

III permutaatio

Permutaation pituus on k joka on riippumaton joukon alkioiden määrästä n. Ei siis esimerkiksi tarvitse olla k < n. Joukon alkioita voi toistaa ja käyttää niin usein kuin haluaa. Näiden permutaatioiden lukumäärä:

PIII  =  n (n) ... (n)  =  nk

Tämän voi selittää siten että valintavaihtoehtojen määrä ei vähene permutaatiota muodostettaessa koska alkioita saa vapaasti toistaa, saman alkion voi valita vaikka peräkkäisillä kierroksilla. Niinpä jokainen uusi alkio k -pituiseen permutaatioon voidaan valita n eri vaihtoehdosta ja kokonaismäärä on näiden tulo eli k kpl lukuja n kerrottuna keskenään, n potenssiin k : eli lyhyesti merkittynä nk.

Esimerkiksi joukosta A = { a, b, c } voitaisiin muodostaa permutaatioita joiden pituus on 4. Jokaista alkiota voi toistaa mielivaltaisesti.

Tehtävässä on siis k = 4 ja joukon A kardinaliteetti on n = | A | = | { a, b, c } | = 3 joten erilaisten permutaatioiden määräksi tulisi PIII = nk = 34 = (3)(3)(3)(3) = 81

Tässä vain malliksi joitakin tällaisia permutaatioita koska niitä on enemmän kuin voi mukavasti luetella: < a, a, a, a >, < c, c, b, b >, < b, c, a, a >

IV permutaatio

Permutaatio muodostetaan siten että 1. alkiota käytetään n1 kertaa, toista alkiota n2 kertaa, ... ja k:s alkiota käytetään nk kertaa. Koko permutaation pituus on siten n1 + n2 + ... + nk = n. Näiden permutaatioiden lukumäärä:

            n!
PIV  =  --------------
        n1! n2! ... nk!

Kaavan erityinen käyttökelpoisuus tulee esiin jos ajatellaan vaikkapa seuraavaa esimerkkiä: Montako permutaatiota voi muodostaa sanan "ANKKANA" kirjaimista?

Kyseisessä sanassahan on A-kirjaimia 3 kpl, K-kirjaimia 2 kpl ja N-kirjaimia 2 kpl, yhteensä 7 kirjainta. Voimme siis sanoa että sanan pituus n = 7, erilaisten kirjainten määrä k = 3 ja n1 = 3, n2 = 2 ja n3 = 2, joten

            n!                 7!
PIV  =  ---------------  =  ----------
        n1! n2! ... nk!      3! 2! 2!

Tyylikkäimmin tällaiset kertomien osamäärät ratkaistaan palauttaen mieliin mitä kertoma tarkoittaa. Esimerkiksi 7! = (7)(6)(5)(4)(3)(2)(1) = (7)(6)(5)(4) 3! , koska onhan 3! = (3)(2)(1), joten edetään fiksusti käyttäen supistamisen mahdollisuudet niin että päässälasku onnistuu helposti ja vältytään jakolaskulta:

   7!          (7)(6)(5)(4) 3!       (7)(6)(5) 4      (7)(6)(5)  4 
---------  =  -----------------  =  -------------  =  ------------  =  (7)(6)(5)  =  (7)(30)  =  210
3! 2! 2!         2! 2! 3!              2! 2!                4 

Siis sanan "ANKKANA" kirjaimet voi järjestää peräti 210 erilaiseen järjestykseen.

Kombinaatio

Toisin kuin permutaatiossa, kombinaatiossa alkioiden järjestyksellä ei ole merkitystä. Joissakin kombinaatioissa alkioita voi toistaa ja toisissa ei, tapauksesta riippuen. Tapaamme 3 erilaista kombinaatiota.

I kombinaatio

Ensimmäisessä kombinaatiossa valitaan yhdistelmänä r eri alkiota yhteensä n alkiota sisältävästä joukosta. Tämä kombinaatio voidaan vaihtoehtoisesti ajatella myös osituksena, jossa joukko jaetaan kahteen osajoukkoon. Valitut alkiot muodostavat oman osajoukon ja valitsematta jääneet jäävät toiseen osajoukkoon. Osituksen jälkeen osajoukkojen alkioiden määrät ovat r ja n-r, yhteensä siis alkuperäiset r + (n-r) = n.

Ajatellaan että valitaan n-joukosta r eri alkiota niin että järjestyksellä ei ole merkitystä. Varmaankin on oltava r < n. Näiden kombinaatioiden lukumäärä CI :

           n!              
CI  =  ------------  
       (n - r)! r!

Tällä on myös oma nimi "n yli r" ja merkintätapa jota koetan tässä karkeasti jäljitellä pienin suluin vaikka oikeasti symbolit pitäisi saada yhden ison sulkuparin sisään päällekkäin:

     n!          ( n )
------------  =  (   )
 (n - r)! r!     ( r )

Tällä on huomattavaa yhtäläisyyttä toisen permutaation kanssa, mutta nyt nimittäjässä onkin lisätekijänä r! koska alkioiden järjestyksellä ei kombinaatiossa ole merkitystä.

Eräissä laskimissa "n yli r" lasketaan kätevästi funktiolla jota merkitään nCr.

Kannattaa ehkä huomata että "n yli r" on sama kuin "n yli (n-r)":

(  n  )               n!                    n!              n!          ( n )
(     )  =  ---------------------  =  -------------  =  -----------  =  (   )
( n-r )      (n - (n-r))! (n-r)!        r! (n-r)!        (n-r)! r!      ( r )

II kombinaatio

Toinen kombinaatio on aina ositus (ei koskaan yhdistelmä) jossa n-joukko jaetaan k osajoukkoon, siten että 1. osajoukko on n1-joukko, 2. osajoukko on n2-joukko, .... , k-1:s osajoukko on nk-1-joukko ja k:s osajoukko on nk-joukko. Tällöin alkioiden yhteismäärä on alkuperäiset n = n1 + n2 + ... + nk-1 + nk

Näitä kombinaatioita voidaan muodostaa seuraava määrä:

              n!              
CII  =  ---------------------
        n1! n2! ... nk-1! nk!

Esimerkkinä katsotaan joukkoa A = { a, b, c, d, e } jossa on siis 5 alkiota. Kysymys kuuluu monellako erilaisella tavalla joukko A voitaisiin osittaa kolmeen osajoukkoon s.e. (siten että) 1. osajoukko on 2-joukko (sisältää 2 alkiota), 2. osajoukko on 2-joukko ja 3.osajoukko on 1-joukko (sisältää vain yhden alkion)?

No joukon A kardinaliteetti n = 5 ja kysytty kombinaatioiden määrä ratkeaa kaavalla:

           n!              5!         (5)(4)(3) 2!       60
CII  =  -----------  =  ---------  =  -------------  =  -----  =  30
        n1! n2! n3!      2! 2! 1!       2! 2! 1!          2

Tehtävän kuvauksen mukaisia osituksia/kombinaatioita on siis paljon. Tässä näistä vain muutamia:

A1 = { a, b }, A2 = { c, d }, A3 = { e }
A1 = { a, d }, A2 = { c, b }, A3 = { e }
A1 = { a, e }, A2 = { c, d }, A3 = { d }

Joukon osituksessa on oleellista että osajoukot yhdessä muodostavat koko alkuperäisen joukon ja osajoukoissa ei ole yhteisiä alkioita.

III kombinaatio

Kolmas kombinaatio voi olla ainoastaan yhdistelmä, ei koskaan joukon ositus. Siinä valitaan r alkiota n-joukosta ja jokainen alkio voidaan vapaasti toistaa niin usein kuin halutaan. Syntyvän kombinaation pituus on siis r joka voi olla suurempikin kuin n ja kombinaatioiden yleiseen tapaan alkioiden järjestyksellä ei ole merkitystä. Tulos ei kuitenkaan ole joukko, koska joukossahan alkioiden toistolla ei ole merkitystä, mutta tässä on. Erilaisten kombinaatioiden määrä:

              ( n-1+r )          (n-1+r)!                  (n-1+r)!
CIII(n, r)  =  (       )  =  -------------------------  =  ----------
              (  n-1  )     ((n-1+r) - (n-1))! (n-1)!      r! (n-1)!

Tämä tokikin lasketaan parhaiten tyylii "(n-1+r) yli (n-1):n".

Pienenä esimerkkinä voi toimia: Montako kolmen kirjaimen yhdistelmää saadaan joukon A = { a, b, c, d } alkioista (kirjaimista) kun jokaisen kirjaimen saa toistaa rajoituksetta?

Ensinnä todetaan joukon A kardinaliteetti |A| = | { a, b, c, d } | = 4 = n ja valittavien alkioiden määrä r = 3

                          ( n-1+r )     ( 4-1+3 )     ( 6 )     (6)(5)(4) 3!     (6)(5)(4)     (6)(5)(4)
CIII(n, r) = CIII(4, 3)  =  (       )  =  (       )  =  (   )  =  ------------  =  ---------  =  --------- = (5)(4) = 20
                          (  n-1  )     (  4-1  )     ( 3 )      (6-3)! 3!          3!             6 

Laskin toistaa nöyrästi että "6 yli kolmen" eli 6 nCr 3 = 20

Kolmen kirjaimen erilaisia yhdistelmiä neljän joukosta siis syntyy kaikkiaan 20 kpl. Koetan esittää ne kaikki alla:

< a, b, c >, < a, c, d >, < a, b, d >, < b, c, d >
< a, a, a >, < a, a, b >, < a, a, c >, < a, a, d >
< b, b, a >, < b, b, b >, < b, b, c >, < b, b, d >
< c, c, a >, < c, c, b >, < c, c, c >, < c, c, d >
< d, d, a >, < d, d, b >, < d, d, c >, < d, d, d >

On huomattava että esimerkiksi yhdistelmät < a, b, c > ja < c, b, a > olisivat kombinaatioina samoja koska niissä on samat alkiot. Alkioiden järjestys tosin on eri, mutta kombinaatiossa järjestyksellä ei ole merkitystä.

Kombinatoriikan sovellus todennäköisyyslaskentaan

Mitä tuosta kaikesta permutoinnista ja kombinoinnista sitten on iloa todennäköisyyslaskennan kannalta? Otan reippaasti työn alle harjoitustehtävän jossa pelataan noppapokeria viidellä tavallisella (reilulla tasapainoisella) nopalla joiden kunkin tahkon silmäluku on välillä 1 ... 6, eri numero joka tahkolla.

Ensinnä on todettava että 5 noppaa voi heitettäessä muodostaa (6) (6) (6) (6) (6) = 65 = 7776 erilaista yhdistelmää eli voisi sanoa että otosavaruuden S kardinaliteetti on 65 , joka voidaan merkitä | S | = 65 . Tämä on sama kaikissa tehtävän kohdissa.

Jonkin tietyn tapahtuman A todennäköisyys P(A) on yksinkertaisesti ko. tapahtuman kardinaliteetti |A| jaettuna koko otosavaruuden kardinaliteetilla |S| (ja kardinaliteetti tarkoittaa alkioiden määrää) eli :

          |A|
P(A)  =  -----
          |S|

Tuo tapahtuman kardinaliteetti |A| vaan ei välttämättä ole aivan helppo ratkaista. Vaikka noppia heitetäänkin yhdessä, on jokainen reilu noppa ajateltava yksilönä jolla on heitossa sama todennäköisyys tuottaa mikä tahansa silmäluku välillä 1 ... 6. Niinpä järjestyksellä on merkitystä todennäköisyyden laskennassa vaikka viittä noppaa heitettäessä ei voikaan seurata yksittäisiä noppia. Todennäköisyyslaskennan kannalta ei ole samantekevää mikä noppa tuottaa minkin silmäluvun. Niinpä todennäköisyyden laskennassa käytetty tapahtuman kardinaliteetti |A| on pohjimmiltaan eräänlainen permutaatioiden määrä. Kombinaatioita voidaan myös käyttää apuna.

Tehtävän a) -kohdassa kysytään todennäköisyyttä sellaisella tapahtumalle että kaikki 5 reilua noppaa tuottavat heitettäessä eri silmäluvut. Noppia ei siis ole "viritetty" tuottamaan jotakin silmälukua tavallista suuremmalla todennäköisyydellä, vaan jokaisen nopan jokaisen eri tahkon silmäluvun todennäköisyys on tasan sama 1/6.

Mikä on ko. tapahtuman kardinaliteetti |A|, so. monellako eri tavalla 5 noppaa voivat muodostaa yhdistelmän jossa kaikkien noppien silmäluvut ovat erisuuret? Kyseessä ei ole aivan pieni määrä, sillä on muistettava että jokainen noppa toimii yksilöllisesti, joten esimerkiksi seuraavat heiton tulokset eivät suinkaan ole samoja todennäköisyyden laskennan kannalta, vaikka niissä kokonaisuutena esiintyykin samat numerot:

< 1, 2, 3, 4, 5 >
< 2, 1, 3, 4, 5 >
< 1, 3, 2, 4, 5 >
< 1, 2, 4, 3, 5 >
< 1, 2, 3, 5, 4 >
...
< 5, 4, 3, 2, 1 >

Myöskään seuraavat heiton tulokset eivät ole samoja todennäköisyyden kannalta, vaikka niissä kokonaisuutena esiintyy samat numerot, vaan myös noppien järjestyksellä on merkitystä:

< 2, 3, 4, 5, 6 >
< 3, 2, 4, 5, 6 >
< 2, 4, 3, 5, 6 >
< 2, 3, 5, 4, 6 >
< 2, 3, 4, 6, 5 >
...
< 6, 5, 4, 3, 2 >

Sitäpaitsi eihän ole mitenkään välttämätöntä että yhdistelmästä puuttuisi juuri numero 6 tai numero 1, vaan voi puuttua myös jokin numero näiden väliltä eli vastaavia yhdistelmien ryhmiä olisi vielä 4 lisää. Joukkojahan nämä eivät ole, koska joukossa alkioiden järjestyksellä ei ole merkitystä.

Tehtävän ratkaisun voinee jakaa kahteen osaan:

  1. Monellako eri tavalla viiden nopan silmäluvut 1 ... 6 voi valita siten että kaikki silmäluvut ovat erilaisia?
  2. Montako erilaista järjestystä eli permutaatiota kustakin edellisistä viidestä alkiosta voi muodostaa?
1. osan voisi muotoilla myös näin: Monellako eri tavalla voi valita 5 alkiota joukosta jossa on yhteensä 6 alkiota? Joukon alkiot ovat { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. Tämä tuntuisi olevan kombinaation tapaus "n yli r" eli ensimmäinen kombinaatio CI jossa n=6 ja r=5.
( n )     ( 6 )                n!              6!          (6) 5!
(   )  =  (   )  =  CI  =  ------------  =  ----------  =  --------  =  6
( r )     ( 5 )            (n - r)! r!      (6-5)! 5!       1! 5! 

Myös laskin todistaa että "6 yli 5:n" eli 6 nCr 5 = 6

Tuntuu aika uskottavalta että kuudesta luvusta voi jättää yhden pois kuudella eri tavalla.

2. osa kysyy tavallisten permutaatioiden määrää kun alkioita on n = 5 kpl. Ensimmäisen permutaatiokaavan mukaan permutaatioita on kaikkiaan :

PI  =  n (n-1) (n-2) ... (1)  =  n!  =  5! = (5)(4)(3)(2)(1) = 120

Kaikkiaan ko. tapahtuman A ("kaikki 5 silmälukua erisuuret") kardinaliteetti |A| on yllä laskettujen osavastausten tulo, koska jokainen viiden silmäluvun kombinaatio eli yhdistelmä voidaan permutoida eli järjestää 5! = 120 eri tavalla:

        ( 6 )
|A|  =  (   )  5! =  (6)(120) = 720
        ( 5 )

Voinee sanoa että määrä on yllättävän suuri, mutta muistettakoon että todennäköisyyslaskennan kannalta noppia on ajateltava yksilöinä ja noppien järjestyksellä on todennäköisyyden laskennassa merkitys, vaikka sitä lie heitettäessä aika mahdotonta seurata tarkasti.

Tehtävän a-osan vastaus eli kysytty tapahtuman A todennäköisyys P(A) olisi sitten:

         | A |      (6) 5!       5!        120        15         5
P(A)  =  -----  =  -------  =  ------  =  ------  =  -----  =  -----  ~  0,09259
         | S |      (6) 64       64        1296       162        54

Prosentteina ("sadasosina") ilmaistuna kysytty todennäköisyys olisi siis noin 9,259% joten siis tämän mukaan keskimäärin noin kymmenesosa noppapokerin noppien heitoista pitäisi tuottaa kaikkiin noppiin erilaiset silmäluvut.

Pitäisi testata josko tuo käytännössä tuntuisi pätevän. Pitäisi ehkä ostaa Flying Tiger:iltä nopat kävelykadun varrelta? Toivottavasti se ei ole Lying Tiger, vilpillinen kissapeto joka kauppaa painotettuja epäreiluja noppia!

Nyt on hankittu tiikeriltä noppia eli arpakuutioita ja hiukan testattu. Alustavasti viittä noppaa heittäen tuntuu siltä että a-kohdan vastaus on oikeaa suuruusluokkaa. Pareja tulee useammin.

Jos joku tekee vaikkapa vilustuneena ja kuumehoureissaan sellaisen kohtalokkaan virhepäätelmän että viiden nopan erilaisia silmälukujen yhdistelmiä on esimerkiksi vain 2 erilaista, nimittäin < 1, 2, 3, 4, 5 > ja < 2, 3, 4, 5, 6 > , muodostuu todennäköisyydestä aika paljon pienempi, noin 0,0257%, mutta se tulos on aivan väärä. Tehtävässähän ei edes ollut sellaista rajausta ettäkö silmälukujen pitäisi olla vierekkäisiä numeroita.

Todennäköisyyden laskennassa klassinen virhe olisi kuitenkin hiukan fiksumpi. Klassisessa kämmissä oletettiin että noppien järjestyksellä ei muka ole merkitystä todennäköisyyden laskennasa ja siten esimerkiksi noppien mukaan järjestetyt tulokset < 1, 2, 4, 5, 6 > ja < 1, 2, 5, 4, 6 > olisivat samoja, vaikka tuossahan kolmas ja neljäs noppa tuottavat eri tulokset. Näin klassisesti erehtyen erilaisia tuloksia 5 silmälukua tulisi vain 6 kpl ja tapahtuman todennäköisyys laskettaisiin siinäkin tapauksessa aika pahasti pieleen, aivan väärä tulos 6 / 65 = 1 / 64 eli noin 0,0772%

Tehtävän b) -kohta kysyy yhden parin todennäköisyyttä. Siis millä todennäköisyydellä viiden reilun nopan heitossa syntyy sellainen tulos että siinä kahden nopan silmäluvut ovat samoja?

Ajattelisin että tämä ratkeaa suunnilleen samalla taktiikalla kuin edellinenkin, ensin kombinaatiot ja sitten permutaatio. Täytyy kuitenkin koettaa soveltaa omaa ajattelua. Arpakuutioiden parejahan on 6 erilaista, <1, 1>, <2, 2>, <3, 3>, <4, 4>, <5, 5>, <6, 6> . Etsitään sellaisten kombinaatioiden määrää joissa on kaksi samaa silmälukua ja kolme erilaista jotka ovat keskenäänkin erilaisia. Minusta tuntuu että kutakin paria kuten < 1, 1 > kohti on olemassa seuraava määrä niitä muita:

{ 2, 3, 4 }, { 2, 3, 5 }, { 2, 3, 6 }, { 2, 4, 5 }, { 2, 4, 6 }, 
{ 2, 5, 6 }, { 3, 4, 5 }, { 3, 4, 6 }, { 3, 5, 6 }, { 4, 5, 6 }

Löydän vain 10 erilaista kombinaatiota kunkin parin yhteyteen niille kolmelle muulle silmäluvulle, joten päättelen että erilaisia yhden parin sisältäviä kombinaatioita on yhteensä 6 * 10 = 60 kpl.

Sitäpaitsi kun valitaan 3 viidestä, saadaan 10 vaihtoehtoa, eli "5 yli 3" on juurikin 10:

           ( 5 )
5 nCr 3  = (   )  = 10
           ( 3 )

Lisäksi täytyy permutoida että saadaan huomioitua silmälukujen erilaisten järjestysten määrä, mutta luulenpa että on huomioitava se yksi pari ja käytettävä tavallisen permutaation asemesta neljättä permutaatiota PIV :

            n!
PIV  =  ------------
        n1! n2! ... nk!

Tässä tapauksessa n1 = 2 ja muut jakajan kertojat voivat olla ykkösiä eli kokonaisuutena nimittäjäksi tulee 2. Tästä tulee siis permutaatioiden määräksi PIV = 5! / 2 = 120 / 2 = 60 ja kokonaisuutena tapahtuman kardinaliteetiksi siis tulee |A| = 60 * 60 = 3600

Näin laskien yhden parin todennäköisyydeksi noppapokerissa muodostuu yli 46%:

         | A |     (60)(60)      (6) (10) (6) (10)      100
P(A)  =  -----  =  --------  =   -----------------  =  -----  =  0,46296...
         | S |       65             (6) (6) 63          216

En nyt heti keksi elegantimpaa tapaa ratkaista tätä tehtävää. Toisensa pois sulkevien tapahtumien summaa on kuitenkin pidettävä visusti silmällä sillä emme koskaan halua että kokonaisuuden todennäköisyys kohoaisi yli arvon 1 eli yli sadan prosentin. Silloin olisimme selvästikin joron jäljillä ja eksyksissä. Kaikkien tapahtumien todennäköisyyksien summa on tasan yksi eli koko otosavaruuden S todennäköisyys P(S) = 1 , toisin ilmaisten 100%, ei koskaan yhtään enempää.

Tehtävän c) -kohdassa kysytään kahden parin todennäköisyyttä. No, ainakin sen täytyy olla pienempi kuin yhden parin todennnäköisyys.

Hmmm, kaksi paria voisivat olla jokin seuraavista (sillä nelosiahan tässä ei kysytä):

< 1, 1 > ja < 2, 2 > , < 1, 1 > ja < 3, 3 > , < 1, 1 > ja < 4, 4 > , < 1, 1 > ja < 5, 5 > , < 1, 1 > ja < 6, 6 >, 
< 2, 2 > ja < 3, 3 > , < 2, 2 > ja < 4, 4 > , < 2, 2 > ja < 5, 5 > , < 2, 2 > ja < 6, 6 > ,
< 3, 3 > ja < 4, 4 > , < 3, 3 > ja < 5, 5 > , < 3, 3 > ja < 6, 6 > ,
< 4, 4 > ja < 5, 5 > , < 4, 4 > ja < 6, 6 > ,
< 5, 5 > ja < 6, 6 >

Löydän 15 erilaista vaihtoehtoa kahdelle parille ja lisäksi jokaisen yhteydessä voi esiintyä 4 erilaista muuta silmälukua, koska se viides noppa ei voi olla silmäluvultaan sama kuin parien nopat. Muutenhan ei olisi kyseessä aidosti 2 paria. Siispä 4 * 15 = 60 kombinaatiota.

Tuo pitää sitten permutoida huomioiden kaksi paria, eli edellisestä tutun neljännen permutaatiokaavan nimittäjään tulee 2*2 = 4 : PIV = 5! / ((2)(2)) = 120 / 4 = 30

Tapahtuman kardinaliteetti |A| = 30 * 60 = 1800

         | A |     (60)(30)      (6) (10) (6) (5)       50
P(A)  =  -----  =  --------  =   -----------------  =  -----  =  0,23148...
         | S |       65             (6) (6) 63          216

Tässä c-kohdan todennäköisyydeksi siis on laskettu noin 23,15%

Tarkistetaanpa likimääräisesti ettei vaan 100% ylity tähän mennessä käsiteltyjen toisensa pois sulkevien tapahtumien osalta: 9% + 46% + 23% = 78% ; no juu vielä ollaan sadan prosentin oikealla puolella, mutta muiden mahdollisten tapahtumien summa voi olla vain parikymmentä prossaa.

Tehtävän d) -kohta kysyy kolmen saman silmäluvun todennäköisyyttä.

Tällaiset kombinaatiot voisi esittää muodossa < x, x, x, y, z > , y ja z merkitsevät lukuja jotka eivät kuulu "kolmosiin" ja ovat lisäksi keskenään erisuuria.

< 1, 1, 1, y, z >, < 2, 2, 2, y, z >, < 3, 3, 3, y, z >, < 4, 4, 4, y, z >, < 5, 5, 5, y, z >, < 6, 6, 6, y, z >

Montako erilaista yhdistelmää y ja z voisivat muodostaa kun luvut eivät saa olla samoja eivätkä ne saa olla samoja kuin vastaavat 3 samaa silmälukua? Olisi ehkä huokuttelevaa ajatella että y:lle olisi 5 vaihtoehtoa ja z:lle 4 vaihtoehtoa, kerrottuina 20 vaihtoehtoa jokaista kuutta kolmosta kohti, mutta tämä olisi virhe.

Oikeasti y ja z voivat muodostaa vain 10 erilaista yhdistelmää kutakin kolmosta kohti. Esimerkiksi kolmea ykköstä < 1, 1, 1, y, z > kohti olisi vain seuraavat vaihtoehdot < y, z > :

< 2, 3 >, < 2, 4 >, < 2, 5 >, < 2, 6 >,
< 3, 4 >, < 3, 5 >, < 3, 6 >,
< 4, 5 >, < 4, 6 >,
< 5, 6 >

Voisi myös todeta että kaava jolla tehdään r valintaa n vaihtoehtosta, "n yli r" eli tässä "5 yli 2" antaa 5 nCr 2 = 10 . Kutakin kolmosten ulkopuolelle jäävää silmälukua on 5 erilaista ja niistä valitaan 2.

( 5 )          5!         (5)(4) 3!      (5)(4)       20
(   )  =  -----------  =  ---------  =  --------  =  -----  =  10
( 2 )      2! (5-2)!        2! 3!          2           2

Kombinaatioita on siis vain 6 * 10 = 60

Permutaatiossa jakajana käytetään kolmen saman silmäluvun vuoksi kolmosen kertomaa (muiden nimittäjän kertojien ollessa ykkösiä) eli PIV = 5! / 3! = 120 / 6 = 20 ja tapahtuman kardinaliteetiksi saadaan |A| = 20 * 60 = 1200

         | A |     (60)(20)      (6) (10) (20)       200
P(A)  =  -----  =  ---------  =   -------------  =  -----  =  0,1543...
         | S |       65             (6) 64           1296

Hurraa, d-kohdan todennäköisyys on noin 15,4%, joten se maaginen raja 100% ei vieläkään ylittynyt, vielä jää tilaa muille harvinaisemmille vaihtoehdoille jotka ovat pari&kolmoset, neloset ja viitoset. Tosin niitä ei harjoitustehtävässä udeltu.

Luottamukseni tulosten oikeellisuuteen on horjumaton nyt kun olen laskenut kaikkien eri vaihtoehtojen mahdolliset lukumäärät

kaikki erilaisia      720
yksi pari            3600
kaksi paria          1800
kolme samaa          1200
pari ja kolmoset      300
neljä samaa           150
viisi samaa             6
-------------------------
Yhteensä             7776  =  65


Olisiko vanha kunnon frekvenssismi ehkä parempaa kuin kohuttu bayesilaisuus?

Hmmm, jospa kokeilisi hiukan empiiristä tutkimusta saadakseni todennäköisyyksiin käytännön tuntumaa. Yritän sataa noppapokerin heittoa viidellä nopalla. Kirjaan noppien silmäluvut. Nämä nopat ovat lisäksi yksilöllisiä ja järjestyksessä, vasemmalta oikealle: punainen, vihreä, keltainen, sininen, violetti.

Ensimmäisten kymmenen heiton kohdalla heittämistekniikka ei ehkä aluksi ollut kyllin satunnainen, joten olen uusinut nuo alkupään heitot myöhemmin. Esimerkiksi kaksi neljää samaa silmälukua peräkkäin heti alussa vaikuttaa jotenkin epäilyttävältä, vaikka onkin periaatteessa mahdollista.

Heitto
#
Kaikki
eri
1 pari 2 paria 3
samaa
Pari ja
kolmoset
4
samaa
5
samaa
1 54343
2 34361
3 46333
4 21236
5 35342
6 35161
7 52554
8 14541
9 65412
10 62254
11 13422
12 55622
13 32115
14 45365
15 25425
16 15241
17 21465
18 41553
19 23546
20 13521
Heitto
#
Kaikki
eri
1 pari 2 paria 3
samaa
Pari ja
kolmoset
4
samaa
5
samaa
21 11136
22 61122
23 36523
24 54666
25 36263
26 36643
27 64235
28 34446
29 35662
30 35414
31 22531
32 23135
33 15136
34 42355
35 44532
36 32531
37 41361
38 63145
39 55426
40 36613
Heitto
#
Kaikki
eri
1 pari 2 paria 3
samaa
Pari ja
kolmoset
4
samaa
5
samaa
41 44235
42 15414
43 56565
44 63236
45 21316
46 33665
47 56262
48 41213
49 14452
50 15123
51 43313
52 66121
53 45213
54 46242
55 25341
56 63254
57 32211
58 26166
59 62345
60 45435
Heitto
#
Kaikki
eri
1 pari 2 paria 3
samaa
Pari ja
kolmoset
4
samaa
5
samaa
61 56121
62 63631
63 43414
64 36555
65 25626
66 24326
67 45235
68 14615
69 45263
70 53424
71 66433
72 14335
73 66315
74 26135
75 11422
76 63545
77 32525
78 41312
79 65464
80 16314
Heitto
#
Kaikki
eri
1 pari 2 paria 3
samaa
Pari ja
kolmoset
4
samaa
5
samaa
81 41531
82 21662
83 54415
84 36164
85 43135
86 53533
87 54451
88 16362
89 62133
90 51122
91 62356
92 51512
93 25526
94 62334
95 44654
96 54156
97 41245
98 52124
99 43221
100 45551
... --- --- --- --- --- --- ---
Yhteensä: 11 48 28 11 2 0 0
Laskettu
tod.näk.
720/65
=9,3%
3600/65
=46,3%
1800/65
=23,1%
1200/65
=15,4%
300/65
=3,9%
150/65
=1,9%
6/65
=0,08%

Noh, kyllähän sataan heittoon olisi hyvinkin mahtunut pari neljän saman silmäluvun tapausta koska sellaisen laskennallinen todennäköisyys kuitenkin on noin 2%.

------------------------

OPPITUNTI JATKUU TÄSTÄ VIELÄ, PALAAMME ASIAAN MYÖHEMMIN!

------------------------

Urbaanin utelias, mutta aivan pahaa tarkoittamaton visiitti Porin Taidekoulun sisäpihalle

On aivan sietämätöntä että taidetta piilotellaan. Tutkivan journalismin henkeyttämänä ja ylevän kansalaisaloitteellisena tunkeuduin kenenkään käskemättä Porin taidekoulun sisäpihalle kuvaamaan kun ei ollut ketään erikseen sitä kieltämässäkään. Historia on minut vapauttava!

Kadulle tuosta vanhasta puukiinteistöstä ei näy paljon muuta kuin julkisivun nimikyltit ja joitakin töitä ikkunoissa, ikäänkuin kiusaamassa ja härnäämässä ohikulkijoita. Koin siis uskaliaan tekoni täysin oikeutetuksi, minulla oli Pyhä Missio yleisön palvelijana.

Jaa no kyllähän tarkemmin muistellen kadulle sentään näkyy joitakin värikkäitä aikaansaannoksia jonkinlaisen "ulkorakennuksen" seinustalla, sepä juuri oli kipinä portista sisään astumiseen. Komeat portinpylväät muuten, mutta nähtävästi avoimet ovet.

Muiden muassa taidekoulun rakennusten räystäät on komeasti koristeltu vanhanaikaiseen malliin. Ruotsalaisittain voisi kai sanoa että puurakentamisessa näkyy Snickarglädje.

Kesä ei ole ollut kovin lämmin tänä vuonna, mutta taidekoulun sisäpihalla on selvästikin ahkeroitu ulkotiloissa. Monessa paikassa on hiukan sientä muistuttavia mutta keinotekoisia esineitä, ehkä keramiikkaa.

Ympyräksi muodostettujen betonipalikoiden ympärille on mahdollisesti vielä tulossa jotakin uutta, koska siinä on muutama metallinen pylväs pystyssä. Tuleeko siihen katos?

Sitäpaitsi merihevosen komea metallisauvarunko on vielä aivan alaston, kaipaa kipeästi katetta.

Ei millään pahalla, mutta onneksi - arvattavasti pienet - mutta taiteelliset kätöset eivät sentään ole päässeet käsiksi arvokkaamman näköisten rakennusten seinäpintoihin.



Galleria