Vilkuilen elämän karttalehtiä tässä elämän läpijuoksussa

Edellinen Seuraava

Elämä on ajan läpi juoksemista, eräänlaista karttajuoksua, kuten suunnistukin. Periaatteessa suunnistus on kiinnostavaa, mutta vain periaatteessa. Kartta on hieno juttu, mutta jos idea on pelkästään juosta - sinänsä tarpeeton ja hyödytön - reitti läpi mahdollisimman nopeasti kartta kädessä, niin täytyy sanoa että kiitos, mutta ei kiitos.

Karttaa pitäisi kunnioittaa, pysähtyä ihailemaan sen kauneutta. Kartta on saavutus. Kartta on järjen voittoa aineesta. Päätön juokseminen pöpelikön läpi on jotakin aivan muuta. Kartta kohottaa ihmisen metsän eläinten yläpuolelle, tekee hänestä eliökunnan kuninkaan. Kartan kanssa emme ole pelkkiä arkoja villieläimiä jotka piileskelevät pensaissa pelosta vapisten, metsän tyhmiä biologisia reaktioautomaatteja, vaan meillä on kulttuuri ja sivistys mukanamme, olemme suunnitelmallisesti toimivia hallittuja olioita, ihmisiä sanan täydessä merkityksessä.

Valitettavasti kartta on käytännössä lähinnä apukeino päästä paikasta toiseen. Siis ihminen ei viihdy paikassa A ja hän haluaa päästä sieltä pois paikkaan B, joten hän tarvitsee kartan.

Näyttely Porin kaupunginkirjastossa

Pahimmillaan suunnistus on sitä että että ihminen ei viihdy sen paremmin paikassa A kuin myöskään paikassa B, mutta jostakin syystä hän vain haluaa juosta näiden välillä edestakaisin niin nopeasti kuin mahdollista, mahdollisesti paikan C kautta koukaten, josta paikasta C hän ei siitäkään erikoisemmin välitä.

Suunnistaja ei siis oikeasti päädy mihinkään. Hän ei edisty nettomääräisesti. Hänen karttajuoksunsa ei ratkaise mitään ongelmaa. Hän ei tarvinnut mitään niistä paikoista A, B, C ja niin edelleen. Aikansa metsissä ja aukioilla päättömästi ryntäiltyään hän arvatenkin menee kotiin. Toivottavasti hänellä on siellä hyvä olla. Toisaalta jos hänen oli kotonaan hyvä olla, niin miksi hän alunperinkään lähti sieltä pois?

Kompassi on sinänsä hieno vanha keksintö. Käytännössä sitä vaan ei suunnistuksessa paljoakaan tarvita. Navigointia voisi ehkä nimittää veden tai ilman varassa suunnistamiseksi. Omaan kyllä alan perustiedot. Olen osannut astronomista navigointia jo ennen kuin suoritin Navigaatioliiton saaristolaivuritutkinnon. Suomessa näkyvän taivaan kirkkaimmat tähdet olen osannut ulkoa nuoruudesta lähtien. Rannikkomerenkulun kurssilla kompassi on arvossaan koska näkyvien maamerkkien puutteessa kartta ei auta runsaan kymmenen merimailin etäisyydellä rannasta. Paikanmääritys tähtien avulla vaatii sentään kompassia parempia ja tarkempia välineitä. Voisin röyhistää rintaani ja täysin perustellusti karjaista merikarhu- tai jopa merirosvomaisesti olevani avomerilaivuri, mutta valitettavasti olen maakrapu, maan toivoton vanki.

Enpä paljoakaan pysty liikkumaan ilmassa, mailla ja merillä. Kartta on silti tärkeä keksintö. Toisaalta liikkuminen ei ole sinänsä erikoisen hyödyllistä. Suunnistustaito ja navigointitaito on hyödyllistä, mutta käytännössä liikkuminen olisi järkevintä pitää minimissä. Liikkuminen on tuhlausta. Yleisesti ottaen kannattaa siirtyä sinne minne haluaa - ja saa - mennä ja myös pysyä siellä. Se on energiataloudellisinta.

Aurinkokelloakin on hankala hyödyntää jos täytyy jatkuvasti siirtyä paikasta toiseen. Ja aurinkokellot sentään ovat elämän suola ja arkisen päivän maustepippuri.

No joo, oikeasti liikkumattomuus on yleensä mahdotonta tässä elämän karttajuoksussa. Elämässä täytyy juosta läpi lapsuuden ja läpi nuoruuden. Koulut ja työelämä täytyy juosta läpi. On tarpeettomasti sivuilleen vilkuilematta kiirehdittävä läpi monien monituisten kurssien ja oppijaksojen. On jatkuvasti niin kova kiire, ei-minnekään. Tärkeintä on päästä pois sieltä missä kulloinkin on. Määränpäällä ei varsinaisesti ole merkitystä, kaipa siitä johtuen koska mitään määränpäätä ei oikeastaan edes ole.

Nykyään Suunnistusliitto kai haluaa että juoksentelisimme maastossa ristiin rastiin jonkinlainen MOBO-kännykkä kädessä. Ja miksei, eräänlaista kännykkä kädessä elämän läpi juoksemista nykyaikainen elämän meno onkin. Ehkä sellainen kännykkäjuoksentelu on nuorille hyvää harjoittelua työelämää varten?

Täytyyhän tässä elämän läpi koheltamisessa silti olla jotakin tavoittelemisen arvoista, palkintoja, jotakin sellaista joka tuntuu arvokkaalta. Suunnistajalle ne kai ovat plakaatteja, prenikoita ja muita kiiltäviä esineitä. Harakatkin keräilevät kiiltäviä esineitä. Vai pullottavatko suunnistajat maastossa vuodattamansa hikipisarat muistoksi, lapsenlapsille näytettäväksi?

Minunkin toivottomassa kujanjuoksussani täytyy olla palkintoja. Näkisin ne jonkinlaisina oman opiskeluni tulevina saavutuksina. Ammattikorkeakoulusta ei voi paljoa odottaa. Tämä entinen insinöörikoulu ei nähtävästi johda minnekään, mutta itsekin voi jotakin oppia ja kehitellä. Ammatilliset saavutukset ovat käytännössä kovin vaikeita koska edes alkuun ei sillä saralla pääse. Tiedon puussa riittää kuitenkin vielä hedelmiä poimittavaksi. Täytyy vaan jatkossa itse valita oikeat ja sopivat karttalehdet tässä elämän karttajuoksussa.

Tekniikka on tärkeä asia, mutta sitä ei nähtävästi voi kunnolla opiskella, eikä sen kanssa voi käytännössä olla muutenkaan tekemisissä muuten kuin ehkä suurempina juhlapäivinä ja pitkän matkan päästä. Ehkei se ole yksin Satakunnan vika ja helmasynti, ehkä tekniikan opiskelu on muuallakin käytännössä mahdotonta, ainakin työelämän ulkopuolella? Tekniikan pitäisi olla anteliaasti Hands-On mutta sepä onkin tiukkapipoisesti Hands-Off.

Todellinen tekniikka on onnistuttu jemmaamaan köyhän kansan ulottumattomiin. Tärkein ja vaativin tekniikka on ulkoistettu kauas oman maan rajojen ulkopuolelle, sovinnolla, ilman taistelua. Tekniikka on kätketty yritysten lukittujen ovien taakse köyhän kansanosan ulottumattomiin. Virtuaalisössötys ei kelpaa korvikkeeksi. Niinpä jäljelle ei jää muuta kuin luonnontieteet ja nekin vain teoriassa.

Korostettakoon varmuuden vuoksi vielä erikseen etten suinkaan liitä tähän henkiseen suunnistuspyrkimykseeni mitään uskonnollisia konnotaatioita, ainakaan tavanomaisessa juutalais-kristillis-evankelisluterilais-lahkolaisessa merkityksessä. En siis ole hurahtanut uskoon "perinteisessä" ristiretkien jälkeisessä mielessä, siihen väkivalloin levitettyyn tuontiuskontoon, sodan ja kuoleman uskontoon, jota esim. kirkko haluaa pitää ainoana varsinaisena uskontona. Ulkomainen uskonto olkoon ulkomaanpellejen uskonto.

Tjaah, tai niin noh, voi olla että mikrovaltion uuden ei-teknofobisen luonnonuskonnon kannalta tätä voisi kuitenkin pitää jopa uskonnon piiriin kuuluvana henkisenä suuntautumisena, koska kyse on paljolti luonnontieteiden opiskelusta. Atomiteoria, kemia, atomifysiikka voisivat aivan hyvin olla osa uutta luonnonuskontoa. Miksi tieteen löytämä luonnontieteellisen maailmankuvan perusta ei muka kelpaisi erääksi elementiksi uuteen järkiperäiseen uskontoon! Kosmologiassa voi vielä tulla eteen vaikka mitä uusia tulkintoja ja erilaisia näkemyksiä, mutta atomiteoria on varsin vankalla pohjalla. Atomiteoria on ylimääritelty ja sitä voi vapaasti testata. Atomit ovat kavereitamme.

Paikasta toiseen osaan jo liikkua kohtalaisen hyvin, joten siihen puoleen en aio erikoisesti panostaa. Sitäpaitsi (karttaplotterilla varustettu) GPS on pilannut navigoinnin ilon. Monet jopa luulevat että karttaplotteri on itse se GPS.

Tekniikan ei pitäisi tuhota hyödyllistä osaamista ja toimivaa ymmärrystä. Tekniikan ei pitäisi tehdä meistä tyhmempiä ja avuttomampia kuin olemme. Tekniikan ei pitäisi tehdä ihmisistä tarpeettomia. Tekniikan pitäisi osallistaa kansaa yhteiskuntaan ja työelämään täysipainoisina toimijoina, eikä sulkea heitä kaiken luvallisen toimeentulon ja samalla myös koko yhteiskunnan ulkopuolelle. Minun valtioni tekniikan täytyy ehdottomasti olla (oman valtion) kansalaisia kunnioittavaa ja ihmisyyden merkitystä korostavaa. Yhteiskunta ei voi olla olemassa koneita varten. Ei-teknofobisen kulttuurin ei suinkaan tarvitse merkitä sitä että ihminen, kansalainen, hänen elämänsä ja toimeentulonsa olisi koneille alisteista. Kone on vain apuväline. Kansalainen on kuningas.

Navigare necesse est. Vivere non est necesse. (Merenkulku on, mutta eläminen ei ole tarpeen.) Näin kopeasti lausahtivat muinaiset rikkaat ja vaikutusvaltaiset ihmiset merenkulun riskejä vähätellen. Elämä johon he viittasivat "tarpeettomana" ei tietenkään ollut heidän oma elämänsä. Joku navigoi ja menehtyi heidän puolestaan. Edustuksellisen demokratian idea siis oli mukana kuvioissa jo varhaisessa vaiheessa. Oma linjani on kuitenkin sellainen että elämä on tarpeellista ja navigointi käytännössä harvemmin välttämätöntä, joskin periaatteessa kiinnostavaa.



Missä juusto, siellä hiiri. Ja kääntäen.

Koulun kirjaston poistohyllyssä oli tarjolla Mikki Hiiren yläosan mallisia juustonottimia varustettuna koulun logolla. Joten täytyihän niitä testata. Cheezy Cheese Pick -pakkauksessa oli kaksi oranssin väristä läpikuultavaa muovista työvälinettä.

Täytyy kylläkin tunnustaa että alunperin jouduin käpäilemään ja ihmettelemään näitä ultramoderneja muotoilun ihmeitä hyvän aikaa ennenkuin snaijasin mistä on kyse.

Ennakkoasenne oli kyräilevän skeptinen ja ohuen ohuiden Edam-juustosiivujen käsittelyssä nämä neljällä paksuhkolla piikillä varustetut työvälineet osoittautuivatkin aika avuttomiksi. Paksumpien, erillisten, ei kovin laajojen ja liukkaiden juustokokkareiden kähmimisessä ne saattaisivat silti olla käypiä kamppeita sekä soivia pelejä?

Juusto ja hiiri, hmmm, kuin reppu ja reissumies. Kissa ja hiiri olisi vielä parempi yhdistelmä koska sekä hiiret että kissat lisääntyvät.

Matte kakkosessa meillä on pöllöt ja rotat mallina diskreettiaika lineaarisesta dynaamisesta systeemistä. Kumpikin lisääntyy. Petoeläin kuluttaa rottapopulaatiota. Pöllöjen määrä vaikuttaa negatiivisesti rottien määrään. Rottien määrä vaikuttaa positiivisesti pöllöjen määrään. Siitä saisi ehkä aikaiseksi differentiaaliyhtälön, mutta matte kakkosessa kyseessä on kuitenkin lineaarialgebra. Eli matriiseilla mennään.

Luennon ensimmäisessä esimerkissä jota ehdin vilkaista, meni sekä pöllöjen että rottien määrä nollaan 50:ssä vuodessa. Eikä se siitä sitten enää nouse. Pöllöt söivät kaikki rotat ja kuolivat itse nälkään - tai ehkä vanhuuttaan. Uskoani matematiikan ihmeisiin ei horjuta se että tiettävästi sekä pöllöjä että rottia edelleen esiintyy maassamme vaikka vuosiluku on paljon yli 50:n. Jonkinlainen tasapaino populaatioissa on ehkä kuitenkin jopa teoriassa mahdollinen.

Seuraavat Vähärauman kampuksen luokan 2007 liitutaulun otokset ovat Matte kakkosen vanhemmasta laskuharjoitusillasta, joten niissä ei vielä ole pöllöjä eikä rottia.

'Keksi' -tehtävä alkaa sanoilla "Keksi matriisi joka ...". 'Keksi' -tehtävä ei kuitenkaan ole mitään syötävää, vaan se on sellainen että täytyy keksiä (omasta päästään) sellainen matriisi joka täyttää annetut vaatimukset. Piankos aikuinen mies omasta päästään kehittää vaikka mitä. Minun isäni Veikko teki Peräseinäjoen Kihniänkylässä jopa saunan kiukaan juurikin omasta päästään! Tai fyysisesti se kiuas kylläkin perustui vanhaan terästynnyriin, mutta iskän ihka oman disaignin ja henkisen työn tuloksena. Oma pää voi joissakin tapauksissa olla pääomaa, vaikka pankki väittääkin muuta.

Jos törkeän omavaltaisesti pitäydyn hiukan omaperäiseen ja hämäävään matriisin merkintääni suorin pystyviivoin (eikä isoin hakasuluin kuten pitäisi), niin voisin selventää että jos pieneltä 2x2 (neliö)matriisilta lisäksi vaaditaan että se on ...

  1. Kääntyvä
  2. Diagonalisoituva

... niin ratkaisuksi kelpaa esimerkiksi keskimmäisessä liitutaulun kuvassa yllä näkyvä matriisi

      |  1  0  |
A  =  |        |
      |  0  2  |

Tästä näkee helposti että se on kääntyvä matriisi eli sarakevektorit ovat toisistaan lineaarisesti riippumattomia. Tuostahan tulee identiteettimatriisi kun toisen rivin kertoo puolella. Keksi-tehtävän oleellinen vaatimus on että ratkaisu on oltava perusteltavissa. Pelkkä oikea vastaus ei riitä, vaan on voitava osoittaa että tarjottu vastaus täyttää asetetut vaatimukset. Matematiikan tehtävissä yleensäkin on tärkeintä ratkaisumenetelmä.

Kyseessä on diagonaalimatriisi koska (pää)lävistäjän ulkopuoliset alkiot ovat kaikki nollia, joten matriisin ominaisarvot näkyvät suoraan diagonaalilta, λ1 = 1, λ2 = 2. Matriisin ominaisarvot ovat siis erisuuret joten matriisilla on kaksi toisistaan riippumatonta ominaisvektoria. Mitä ne sitten ovatkin, niitähän ei kysytty. Täten keksitty matriisi A on myös diagonalisoituva eli se on mahdollista esittää muodossa A = P D P-1 jossa D on diagonaalimatriisi. Noh, onhan tämä tosin jo alunperinkin diagonaalimatriisi, mutta sitähän ei kielletty tehtävänannossa.

Jos keksittävän 2x2 matriisin tulee sensijaan olla ...

  1. Kääntyvä
  2. Diagonalisoituva
  3. Ei diagonaalimatriisi

... niin ratkaisuksi kelpaa esimerkiksi seuraava edellisen kanssa lähes samanlainen matriisi, joka ei kuitenkaan ole diagonaalimatriisi, koska diagonaalin ulkopuolella ei ole pelkkiä nollia (huomaa ykkönen matriisin oikeassa ylänurkassa):

      |  1  1  |
A  =  |        |
      |  0  2  |

Tämä on kolmiomatriisi, tarkemmin ilmaisten yläkolmiomatriisi. Kolmiomatriisin ominaisarvot löytyvät myöskin lävistäjältä, eli tällä matriisilla on samat ominaisarvot kuin edelliselläkin. Samoin perustein tämäkin matriisi on diagonalisoituva. On myös helppo nähdä että tästä saisi parilla alkeisrivioperaatiolla aikaiseksi yksikkömatriisin, eli matriisi on riviekvivalentti identiteettimatriisin kanssa ja siten kääntyvä, eli ei-singulaarinen. Käänteismatriisi on siis mahdollista ratkaista.

Jos keksi-tehtävän vaatimukset ovatkin ...

  1. 2x2 matriisi
  2. Diagonalisoituva
  3. Singulaarinen, eli ei-kääntyvä

Niin ratkaisuksi kelpaa esimerkiksi seuraava matriisi josta on väkisin tehty singulaarinen niin ettei sillä ole käänteismatriisia:

      |  1  0  |
A  =  |        |
      |  0  0  |

Singulaarisen tästä tekee päälävistäjällä oleva nolla. Tämä on diagonaalimatriisi, mutta tätä voi pitää myös yläkolmiomatriisina. Yläkolmiomatriisissa nolla lävistäjällä merkitsee sitä että matriisin käänteismatriisia ei ole mahdollista laskea. Sillä ei ole käänteismatriisia. Matriisi ei siis käänny. Tällä on kuitenkin erisuuret omaisarvot jotka näkyvät suoraan lävistäjältä λ1 = 1, λ2 = 0 joten matriisi on diagonalisoituva.

Jos edellisiin vaatimuksiin vielä lisätään se ettei saa olla kyseessä diagonaalimatriisi, eli vaatimukset ovat:

  1. Diagonalisoituva
  2. Ei diagonaalimatriisi
  3. Singulaarinen, eli ei-kääntyvä

... niin ratkaisuksi kelpaa esimerkiksi seuraava yksinkertainen muunnelma:

      |  1  1  |
A  =  |        |
      |  0  0  |

Diagonaalin ulkopuolella on nollasta eroava alkio, joten matriisi ei ole diagonaalimatriisi. Matriisin ominaisarvot ovat samat kolmiomatriisin lävistäjältä löytyvät toisistaan poikkeavat arvot kuin edellisessäkin ja siten matriisi on kuitenkin diagonalisoituva. Matriisi on singulaarinen koska siinä on vapaa muuttuja, kuten tästä rref-muodosta suoraan näkyy, joten käänteismatriisia sille ei ole olemassa.

Tässä ekasta sarakkeesta löytyvä x1 on kantamuuttuja ja toisen sarakkeen x2 on vapaa muuttuja joka voi saada erilaisia arvoja ja jota voidaan selkeyden vuoksi merkitä parametrilla t. Ekalta riviltä näkyy että x1 + x2 = 0 (ja näkyisi vielä paremmin jos tämä olisi nollasarakkeella laajennettu matriisi) joten x1 = -x2 eli x1 = -t. Yleinen ratkaisu parametrisessä muodossa olisi sellainen että x-vektori on yhtä kuin [ -t +t ]T eli t * [ -1 +1 ]T ja parametri t voi saada mielivaltaisen reaaliarvon.

Vaikka eihän tässä sitä kysytä. Tämä vain selityksenä sille miksi matriisi ei käänny. Matriisin ja vektorin tulon sisältävä homogeeninen yhtälö A x = 0 ei ole yksikäsitteinen, triviaaliratkaisu (eli x vain ja ainoastaan nollavektori) ei ole ainoa ratkaisu, vaan ratkaisuja on ääretön määrä, joten matriisilla A ei voi olla yksikäsitteistä käänteismatriisia A-1 jolle pätisi A A-1 = I ja myös A-1 A = I .

Kuudes mahdollinen vaatimus matriisille voisi olla sellainen että se ei diagonalisoidu, eli sitä ei voi esittää muodossa A = P D P-1 jossa D on diagonaalimatriisi. Vaatimukset kaikkineen ovat tässä tapauksessa seuraavat:

  1. 2x2 matriisi
  2. Kääntyvä
  3. Ei diagonaalimatriisi
  4. Matriisi ei diagonalisoidu.

Ratkaisuksi kelpaa esimerkiksi seuraava matriisi:

      |  1  1  |
A  =  |        |
      |  0  1  |

No tästähän näkee heti ettei se ole diagonaalimatriisi. Tämä on kuitenkin kolmiomatriisi ja lävistäjältä näkee matriisin ominaisarvot λ1 = 1, λ2 = 1 . Matriisilla ei siis ole kahta erilaista ominaisarvoa, vaan ominaisarvot ovat samat, ominaisarvon λ = 1 algebrallinen kertaluku on 2, eli sama ominaisarvo esiintyy kahdesti. Diagonalisoituvuuden ei sinänsä tarvitsisi kaatua tähän, mutta kun tuolla ainoalla ominaisarvolla on vain yksi ominaisvektori, kuten taulun oikeasta reunasta näkyy. Tämä paljastuu tutkimalla matriisin A - λI nolla-avaruutta joka on yhtä kuin matriisin A ominaisarvoa λ vastaava ominaisavaruus. Tällainen 2x2 matriisi tarvitsisi kaksi ominaisvektoria ollakseen diagonalisoituva, eli tämä sitten ei ole diagonalisoituva.

Kolmiomatriisissa ominaisarvot näkee suoraan diagonaalilta. Jos ei olisi kolmiomatriisi niin ominaisarvot voisi laskea ja kyllähän ne demomielessä voi laskea tässäkin tapauksessa. Matriisin diagonalisoituvuus voi kariutua siihen jos ominaisarvoa vastaavalla karakteristisella polynomilla on kaksoisjuuri, jolloin matriisilla on liian vähän ominaisvektoreita. Tässä voisi todeta että matriisin A - λI determinantti on nolla eli det ( A - λI ) = 0 . Toisin sanoen ( 1 - λ ) ( 1 - λ ) - 0*1 = 0 josta näkee suoraan että ( 1 - λ )2 = 0 eli karakteristisella polynomilla on kaksoisjuuri arvolla λ = 1. Vaikka tässähän sen näkee suoraan päälävistäjältä ilman sen enempää laskemista.

Tämä matriisi on kuitenkin kääntyvä, eli sillä on käänteismatriisi koska yhdellä alkeisrivioperaatiolla matriisi on muutettavissa riviekvivalentiksi yksikkömatriisiksi ja matriisissa on siis samat tukialkiot kuin identiteettimatriisissa. Identiteettimatriisi I on kääntyvä, ei-singulaarinen ja samoin ovat kaikki sen kanssa riviekvivalentit matriisit.

Voi tuntua narraamiselta se että keksimisessä lähdetään suoraan diagonaali- tai kolmiomatriisista, porrasmuodosta tai jopa rref-muodosta eli riviredusoidusta porrasmuodosta (Row Reduced Echelon Form), mutta näin se on paljon helpompaa, eikä sitä ole tehtävänannossa erikseen kielletty, joten se on sallittua. Kerrankin voi perustellusti aivan vakavalla naamalla sanoa: Mitä ei ole erikseen kielletty, se on sallittua!

Kannattaa muuten tietää että nollamatriisiakin voi pitää diagonaalimatriisina, koska sen päälävistäjän ulkopuolella on pelkkiä nollia. Noh, onhan siinä nollamatriisissa itse lävistäjälläkin pelkkiä nollia, kun koko matriisissa ei muuta olekaan kuin nollia, mutta entäs sitten. Diagonaalimatrisiin määritelmä sanoo vain että diagonaalin ulkopuolella on pelkkiä nollia. Diagonaalin alkioiden arvoista se ei virka mitään, nekin voivat aivan legitiimisti olla nollia, jos niitä sattuu huvittamaan.

Pieninä virkistävinä taululta osittain pyyhittyinä jekkutehtävinä voi vielä todeta että 3x3 matriisi ...

  |  0  0  0  |
  |  0  0  1  |
  |  0  0  0  |

... on yläkolmiomatriisi ja ...

  |  0  0  0  |
  |  0  0  0  |
  |  1  0  0  |

... on alakolmiomatriisi. Mutta sensijaan ...

  |  0  0  0  |
  |  0  0  1  |
  |  1  0  0  |

... ei ole lainkaan kolmiomatriisi. Mikään näistä kolmesta ei myöskään ole diagonaalimatriisi, mutta seuraava nollamatriisi sensijaan on diagonaalimatriisi.

  |  0  0  0  |
  |  0  0  0  |
  |  0  0  0  |


Galleria