Tip-tap tip-tap tipe-tipe-tip-tap, Tip Tip Tap.

Edellinen Seuraava

Joulukuun 15. päivän torstai-iltana voi todeta että ammattikorkeakoulun syyslukukausi on käytännössä loppunut, FINITO, KAPUT, NIX-NIX. Astialle palataan vasta joskus Loppiaisen jälkeen viikolla 2/2017. Saapa nähdä millainen surkeus siellä uuden-nihkeässä vuosiluvussa uhrejaan odottaa.

Joululoman riemut ja murheet vartovat nyt kuitenkin aivan ovensuussa. Jeesus-lapsi koisaa taas koululla seimessään joulukuusen ja lahjapakettien äärellä. Niin hyvä lämmin hellä on mieli jokaisen. Ja niin edespäin.

Paatuneena pakanana haluan kuitenkin hahmottaa tämän vuodenvaihteen ajan omalla tavallani. Auringon liike deklinaatiossa seisahtuu eteläisellä taivaankannella jossakin δ = -23,4° vaiheilla ja kääntyy kohti pohjoista.

Ei minulla mitään sitä vastaan ole että talvipäivänseisausta juhlitaan, kulkeekoon se juhla sitten millä nimellä lystää. Onhan se aurinkokellon rakentajalle merkittävä tapahtuma.

Vuodenvaihde lähestyy, mutta uudenvuodenlupauksia en ole näillä näkymin tekemässä. En tee raittiusvalaa enkä anna munkkilupausta.

On ehkä hiukan ennenaikaista kommentoida loppua kohti kuluvan vuoden 2016 trendejä, mutta haluampa tässä muistaessani valittaa eräästä hyvin huolestuttavasta kehityssuunnasta. Nimittäin nuorien tyttösten isokokoiset rannekellot.

On ollut havaittavissa että nuorilla tytöillä - noh, luultavasti kuitenkin sukukypsillä sellaisilla - on ranteessaan aivan tolkuttoman isokokoinen rannekello. Siis niin iso rannekello että sen kellotaulu on rannetta leveämpi. Mihin oikein joudutaan jos kaikki sallitaan?!

Mielestäni nuorten tyttöjen jättiläiskokoiset rannekellot olisi kiireen vilkkaan KIELLETTÄVÄ LAILLA!!!

Pelkäänpä että sellainen lyhytnäköinen feministinen mahtailu voi aiheuttaa miessukupuolessa alemmuuskompleksin, riittämättömyyden tunnetta, masentuneisuutta, häiriökäyttäytymistä, potenssiongelmia, syrjäytyneisyyttä, elämänhallinnan menettämistä, miehisen sukupuolihormonin eli testosteronin erityksen niukkuutta, Libidon heikkenemistä, viriiliyden vähentymistä ja hedelmättömyyttä. Ennen pitkää sellainen tulee kostautumaan väestönkasvun heikkenemisenä. Maassamme. Lisäännypä siinä sitten ja täytä maa, kuten juutalaisten iso kirja kehoittaa. Kun ei edes ota eteen!

Matematiikka johon ei tiettävästi ole mitään "kuninkaantietä"

Pari matematiikkamoodulin ekan osan eli P1 harjoituskoetehtävää on jäänyt erikoisesti mieleen. Ensimmäinen niistä on kovin vaatimattoman ja kiltin näköinen.

Tehtävä kertoo että A on 3x3 reaalilukujen matriisi. Annetaan vektori x josta tiedetään että se toteuttaa matriisiyhtälön Ax = 0. Sitten heitetään pieni viattoman näköinen kysymys: onko matriisilla A käänteismatriisi, eli onko A kääntyvä? Onko siis olemassa sellainen A-1 jolle pätee A-1A = A A-1 = I3 ?

Ei kai tuollaiseen epämääräisen tuntuiseen kysymykseen voi olla olemassa yleispätevää, yksikäsitteistä ja varmaa vastausta?

Mutta kylläpä vaan on. Ratkaisun eväät löytyvät siitä että Ax = 0 on homogeeninen matriisiyhtälö, koska yhtäsuuruusmerkin oikealla puolella on nollavektori. On huomattava että kyseessä on neliömatriisi.

Käänteismatriisin suuri teoreema nimittäin esittää muiden muassa seuraavia loogisia ekvivalensseja kun A on nxn eli neliömatriisi:

  1. A on ei-singulaarinen ( ... eli sille on olemassa käänteismatriisi A-1 )
  2. Matriisi A ja identiteettimatriisi In ovat riviekvivalentteja
  3. Matriisilla A on n kappaletta tukialkioita
  4. Yhtälöllä Ax = 0 on vain triviaaliratkaisu (vektori x = 0 eli nollavektori)
  5. Matriisin A sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomia
  6. Lineaarinen kuvaus T(x) = Ax on bijektio (siis se on sekä surjektio että injektio)
  7. Yhtälöllä Ax = b on tasan yksi ratkaisu (jokaiselle erilaiselle vektorille b)

Lineaarisesti ekvivalentit lauseet ovat joko kaikki tosia tai sitten ne ovat kaikki epätosia. Niinpä jos homogeenisella yhtälöllä Ax = 0 on ainoastaan triviaaliratkaisu, niin matriisi A on ei-singulaarinen. Jos taasen homogeenisella yhtälöllä Ax = 0 on triviaaliratkaisun eli nollavektorin lisäksi myöskin jokin muu kuin triviaaliratkaisu, niin matriisi A on singulaarinen. Ilman poikkeusta.

Annettu ratkaisu x = [ 1 2 3 ]T ei selvästikään ole nollavektori eli 0 = [ 0 0 0 ]T , koska se ei sisällä pelkästään nollia. Siten x ei ole homogeenisen yhtälön triviaaliratkaisu.

Homogeenisella yhtälöllä on aina ratkaisu. Jos ei muuta niin sillä on triviaaliratkaisu x = 0. Jos homogeenisella yhtälöllä on muu kuin triviaaliratkaisu niin silloin ... siitä seuraa että matriisi A on singulaarinen eikä sillä siten ole käänteismatriisia.

Matriisiyhtälön annetusta ei-triviaaliratkaisusta x seuraa että matriisi A ei voi olla kääntyvä.


No sehän oli helppo nakki. Seuraava koetehtävä sensijaan jäi minulta voittamatta. Aika ei riittänyt. En tajunnut ajoissa taloudellisinta ratkaisutapaa. Tehtävä on helppo kunhan pääsee juonesta kiinni.

Kohdan a) toki ehdin ratkaista. Siinä etsitään sellaista 2x1 matriisia (tai vektoria) D että CD = 0

Tämä ratkaistaan helposti laajennetulla matriisilla [ C 0 ] jossa kaksi saraketta on matriisia C varten ja kolmas sarake edustaa kertolaskusta tuloksena syntyvää nollavektoria. Matriisi D (oikeastaan vektori) on tuntematon jonka arvoja etsitään. Matriisi D ei siis esiinny laajennetussa matriisissa. Muunnetaan rref (row reduced echelon form) -muotoon eli riviredusoituun porrasmuotoon ja ratkaisu on luettavissa.

| 1  2  0 | ~ | 1  2  0  |
| 3  6  0 |   | 0  0  0  |

Toinen rivi on ensimmäisen rivin monikerta joten se pelkistyy nollariviksi ja ratkaisu voidaan esittää parametrisessa muodossa koska tässä on vapaa muuttuja. Kantamuuttuja on x1 ja vapaa muuttuja on x2 jolle voidaan selkeyden vuoksi antaa uusi nimi t.

x1 + 2x2 = 0
x2 = t

x1 = -2x2 = -2t

x1 = -2 * t
x2 =  1 * t

Parametrin t arvoksi ei kelpaa 0 eli nolla koska kohta (i) kieltää nollasarakkeen jonka se synnyttäisi. Joten valitaanpa vaikkapa arvoksi t = 1. Tällöin ratkaisu on :

x1 = -2
x2 =  1

Toisin sanoen tuntematon ratkeaa arvoilla D = [ x1 x2 ]T = [ -2 1 ]T

Voidaan tarkistaa kertolaskulla että todellakin CD = 0

CD = | 1  2 | | -2 | = | 1*(-2) + 2*1 | = | -2 + 2 | = | 0 |
     | 3  6 | |  1 |   | 3*(-2) + 6*1 |   | -6 + 6 |   | 0 |

Eli todellakin kertolaskun tulos on nollamatriisi kuten tehtävässä vaadittiin.

Tässä vaiheessa kannattaa erikoisesti huomata että mikä tahansa parametrin arvo t olisi kelvannut. Katsotaanpa muutamaa opettavaista vaihtoehtoa joita voimme hyödyntää myöhemmin:

t x1 = -2 * t x2 = 1 * t
1 -2 1
2 -4 2
3 -6 3

b) Mutta b) kohta olisi saatava ratkaistua sen saman puolen tunnin aikarajan sisään. Edelleen olisi CD = 0, mutta nyt onkin D 2x3 matriisi eli siinä on kaksi riviä ja kolme saraketta. Hätäpäissään voisi ruveta kyhäilemään hurjia yhtälöryhmiä siltä pohjalta että ...

C D = | c11 c12 | | d11 d12 d13 |  =  | 0  0  0 |
      | c21 c22 | | d21 d22 d23 |     | 0  0  0 |

Kuten ...

c11d11 + c12d21 = 0
c11d12 + c12d22 = 0
c11d13 + c12d23 = 0
c21d11 + c22d21 = 0
c21d12 + c22d22 = 0
c21d13 + c22d23 = 0

Tuossa kuuden yhtälön ryhmässä on 6 tuntematonta, joten ratkaisu on mahdollinen. Matriisin C sisältöhän on tunnettu eli c-arvot ovat tiedossa, vain d:t ovat tuntemattomia. Ratkaisu olisi voinut löytyä noinkin, vähitellen, mutta tuskin harjoituskokeen aikarajan puitteissa.

Yksinkertainen on kaunista ja tehokasta. Viisauden avaimet löytyvät. Matriisit voidaan esittää sarakevektoreina.

C D  =  [ c1 c2 ] [ d1 d2 d3 ]  =  [ Cd1 Cd2 Cd3 ]  =  [ 0 0 0 ]

Edellä olemme itse asiassa jo kohdassa a) ratkaisseet tehtävän Cd1 = 0 = [ 0 0 ]T ja totesimme että x1 = -2 * t , x2 = 1 * t jossa parametrin t arvon voimme itse valita. Samat parametriset ratkaisut kelpaavat myös yhtälöille Cd2 = 0 = [ 0 0 ]T ja Cd3 = 0 = [ 0 0 ]T . Matriisi C on kaikissa osissa sama, kuten on myös tuloksena oleva nollavektori, joten periaatteessa samat ratkaisut sopivat kaikkiin osiin.

Arvoa t = 1 olemme jo käyttäneet, joten voisimme valita muita parametrin arvoja ettei tulisi samoja sarakkeita matriisin D. Tehtävässähän vaaditaan että matriisin D sarakkeiden on oltava erilaisia. Jos pistetään järjestyksessä parametrille t vaikkapa arvot 1, 2 ja 3, saadaan:

D = | -2 -4 -6 |
    |  1  2  3 |

Matriisin D sarakkeet ovat nyt erilaisia eikä nollasarakkeita ole mukana. Monet muutkin arvot tietenkin kävisivät. Tarkistetaanpa vielä kertolaskun tulos:

CD = | 1  2 | | -2 -4 -6 |  =  | 1*(-2)+2*1  1*(-4)+2*2  1*(-6)+2*3 |  =  | -2+2   -4 +4   -6 +6 |  =  | 0  0  0 |
     | 3  6 | |  1  2  3 |     | 3*(-2)+6*1  3*(-4)+2*6  3*(-6)+3*6 |     | -6+6  -12+12  -18+18 |     | 0  0  0 |

Joten kertolaskun tuloksena on nollamatriisi kuten oli tarkoituskin.

c) Kohta c) vaatii hiukan temppuilua. Olisi oltava CA = CB. Tässä kannattanee ensin harrastaa aritmetiikkaa ...

CA = CB
CA - CB = CB - CB
CA - CB = 0
C ( A - B ) = 0

Jossa 2x3 kokoisten matriisien A ja B on oltava erisuuria, eli niiden erotus ei ole nollamatriisi. Merkitään D = A - B ja esitetään matriisi D sarakevektoreina:

C ( A - B ) = C D = 0
C D  =  [ Cd1 Cd2 Cd3 ]  =  [ 0 0 0 ]

Vaatimukset tulevat täytetyiksi kunhan Cd1 = 0 = [ 0 0 ]T , Cd2 = 0 = [ 0 0 ]T ja Cd3 = 0 = [ 0 0 ]T

Matriisi C on sama kuin muissakin tehtävän kohdissa joten matriiseiden erotus D eli A-B voisi olla esimerkiksi vanha tuttu:

D  =  A - B  =  | -2  -4  -6 |
                |  1   2   3 |

Sitten vaan keksitään sellaiset erilliset matriisit A ja B että kaikki vaatimukset täyttyvät, esimerkiksi:

A = | 1   2   3 |
    | 2   4   6 |

B = | 3   6   9 |
    | 1   2   3 |

Tarkistetaan A - B :

A - B  =  | 1-3   2-6   3-9 |  =  | -2   -4   -6 |  =  D
          | 2-1   4-2   6-3 |     |  1    2    3 |

Kertolaskun C ( A - B ) = 0 tarkistus olisi sama kuin kohdassa b) kunhan muistetaan että D = A - B.

Mutta tarkistetaanpa että alkuperäinen yhtälö pätee, eli CA = CB

CA = | 1  2 | | 1  2  3 |  =  | 1*1+2*2  1*2+2*4  1*3+2*6 |  = |  5  10  15 |
     | 3  6 | | 2  4  6 |     | 3*1+6*2  3*2+6*4  3*3+6*6 |    | 15  30  45 |

CB = | 1  2 | | 3  6  9 |  =  | 1*3+2*1  1*6+2*2  1*9+2*3 |  = |  5  10  15 |
     | 3  6 | | 1  2  3 |     | 3*3+6*1  3*6+6*2  3*9+6*3 |    | 15  30  45 |

Matriiseiden kertolaskut CA ja CB tuottavat siis samat matriisit kuten vaatimus oli.

Näiden kokemusten pohjalta luulenpa että lineaarialgebra on niin pirullista että sen täytyy olla Belsebuubin keksintö.

Luontainen vaatimattomuuteni estää minua kertomasta menestyksestäni matematiikka-moduulin ekassa osassa. Mutta sen verran voin spekuloida etten saanut harjoituskokeista parhaita pisteitä koska en ajoissa oivaltanut yo. tehtävän b-osan ideaa. Tehtävän c-osasta en tiedä mahtoiko siitä suoriutua kukaan.

Matematiikkamoduulin viimeisissä harjoituskokeissa puolen tunnin aikarajan puitteissa ei ole paljoa mahdollisuuksia mietiskellä syntyjä syviä tai kokeilla erilaisia lähestymistapoja. Jos ei heti suoraan oivalla kupletin juonta ja pääse oikeille raiteille niin aika ei riitä.

Aika rankkaa on pisteytyspolitiikka matte-kursseilla. Jos kerää kokoon alle 50 pistettä 100:sta mahdollisesta niin arvosanaksi tulee pyöree nolla eli hylätty, ei opintopisteitä. Mutta onhan tulossa myös uusintakoe jossa voi yrittää uudelleen. Aikaa on enemmän, mutta epäilemättä myös tehtäviä on enemmän. Voinhan tuotakin vielä kokeilla vaikka en pystykään arvosanaani tästä parantamaan. Asianharrastuskin voi olla uusintakokeeseen osallistumisen hyväksyttävä motiivi.

Ainakaan matte ykkösen osalta ei ole tie noussut pystyyn diplomi-insinöörin arvonimen tavoittelun suhteen. Vuodenvaihteen jälkeen jatketaan matte kakkosen puitteissa lineaarialgebran ihmeisiin tutustumista. Matte kolmonen ehkä alkaa syksyllä 2017 uusiutuneena? Se käsittelee diffistä eli differentiaali- ja integraalilaskentaa. Matte nelonen on differentiaaliyhtälöitä ja kurssit taitavat jatkua vielä siitäkin? Tosin minun opiskeluoikeuteni ei taida yltää niin pitkälle.

On kylläkin pakko huomauttaa että koulun lineaarialgebrassa on käsitelty ainoastaan itseisarvoltaan pieniä kokonaislukuja. Periaatteessa matriiseissa on reaalilukuja, mutta käytännössä on käytetty ainoastaan pieniä kokonaislukuja. Voin kuvitella että käytännön elämässä voi tulla eteen uusia pulmia kun käsiteltävät luvut ovat sitä mitä tietokone luvulla ymmärtää ja sitä mitä reaalitodellisuus koettaa tyrkyttää.

Oikeastaan tietokoneen luvut ovat oma erikoinen lukualueensa. Tietokone ei pysty käsittelemään koko reaalilukualuetta eikä se pysty myöskään esittämään läheskään kaikkia itseisarvoltaan pieniäkään reaalilukuja tarkasti. Lukujen tavallinen digitaalinen esitystapa ei taivu ihan mihin tahansa. Lähes singulaarisilla matriiseilla tämä digitaalisen lukujen esityksen epätarkkuuden piirre saattaa aiheuttaa ylimääräistä päänsärkyä. Lukujen epätarkkuus saattaa saada singulaarisen matriisin näyttämään ei-singulaariselta, tai päinvastoin ei-singulaarinen matriisi voi digitaalisessa esitysmuodossa vaikuttaa singulaariselta. Pieni ero lukujen suuruudessa, mutta iso merkitys.


Kovaa puuhaa tämä oman valtion kehittely

Tähän ei moni rupee, on tämä niin iso projekti. Oma valtio on suuritöinen hanke. Eikä käteen jää lopulta muuta kuin känsät. Oma valtio ei todellakaan välttämättä ole mikään ehtymätön raharänni.

Tiger-nimisessä liikkeessä oli myytävänä halpoja leiman rakennustarvikkeita. Pakkauksessa on myös värityyny. Niinpä ryhdyin kehittelemän omalle valtiolleni omaa virallista leimaa.

Kumma kyllä pakkauksessa oli vain yksi kappale pieniä L-kirjaimia, joten valtion nimi tuli nyt leimassa muotoon "MueLeja Insulo" johon kului kaikki pakkauksen ällät. Monia muita vähemmän tarvittavia merkkejä oli useita samanlaisia. Siis montako tupla-weetä suomalainen muka leimaansa tarvitsee? Jotakin vikaa tanskanmaassa? Tanskalaisilta puuttuu älliä, tässäkin se tuli havaittua.

Luulenpa että u- ja n-kirjaimet pystyisivät korvaamaan toisensa, mutta ykkösen merkki ei oikein sujuvasti korvaa pientä ällää. Esperanton erikoismerkkejä eli supersignoja pakkauksessa ei tietenkään ole. Eikä ole kyllä ääkkösiäkään.

Pyöreän leiman runko on hiukan hentoinen joten sitä täytyy käyttää huolellisesti. Runko on liian taipuisa. Tätä leimaa ei paukutella paperiin. Täytyy erikseen painaa sormella myös leiman keskeltä että keskiosan kirjaimet jättäisivät paperille hyvän jäljen.

No joo, tuo huokea pakkaus ei taida soveltua kovin raskaaseen ja vaativaan leimauskäyttöön. Mikrovaltion resurssit ovat kovin rajalliset joten täytyy aina yrittää halvinta vaihtoehtoa. Melkoista näpertelyä vaatii tuollainenkin askartelu. Ei käy Gutenbergia kateeksi kun asettelee kirjasimia leimasimen reikiiin.

Leimat ovat kuitenkin kivoja olemassa, vaikka eivät olekaan modernin trendikkäästi digitalisoituja ja virtuaalisia - tai ehkäpä juuri siksi. Todellinen on parempaa kuin virtuaalinen. Mekaaninen on hienompi kuin digitaalinen. Tästä periaatteesta virtuaaliähkyn ja digitalisaatiohuiputuksen vastainen taistelujärjestö Harmaat Koneinsinöörit pitää lujasti kiinni.

Olen heilutellut päivämääräleimaa lapsena EP:lla Jalasjärven Alavallin sivukirjastossa joka on kadonnut olemattomiin 1970-luvun alussa. Se olikin hieno kapistus. Rullassa oli aseteltavat päiväykset. Se jätti lähtemättömän vaikutuksen. Hiukan sottaista puuhaa oli kuitenkin värityynyn kanssa askartelu. Tigerin värityyny on vähemmän tahraava, mutta kuivanpuoleinen ; reilusti saa hieroa leimasinta värityynyyn ennenkuin siitä kunnollinen leima syntyy paperille. Noh, lapsia ajatellen ehkä hyväkin piirre.

Valtion pääelinkeinot ja ydinosaaminen täytyy kuitenkin etsiä jostakin muualta kuin leimojen paukuttelusta.

Astronomisesti motivoidut rakennelmat kuten isot aurinkokellot, armillaaripallot ja astrolabit voisivat ehkä hyvinkin olla sopiva aihe omalle valtiolle. Käytännölliseen toteuttamiseen vaan eivät paukut riitä. Täytyy toistaiseksi tyytyä pelkästään teoretisoimaan ja suunnittelemaan. Mutta ehkä vielä joskus paistaa Aurinko tai Kuu tähän risukasaan, missä se sitten tuolloin sattuukin sijaitsemaan.


Rästiin jääneeseen hydrauliikan ja pneumatiikan kurssiin aion osallistua kevätlukukaudella. Täytyi käydä kampustoimistossa pyytämässä että poistavat ilmoittautumisen vanhalta kesken jääneeltä kurssilta. Muuten ei pysty ilmoittautumaan uudelle samanlaiselle kurssille.

Näin siis yllättäen minulla on keväällä jopa mahdollisuus opiskella jonkinlaista tekniikkaa. Uskomatonta! Tekniikka ei siis ole SAMKista vielä aivan kokonaan kuihtunut ja kuollut pois. Vaikka eihän tämä ole mitään teoreettista mielenkiintoa omaavaan konedynamiikkaan tai elementtimenetelmään verrattavaa, vaan paremminkin koneenosien kaltaista tiukkaa standardien noudattamista ja valmiiden osien ihmettelyä. Hydrauliikan ja pneumatiikan komponentit ovat varmaan sinänsä aivan hienoja, mutta niitä ei suunnitella eikä valmisteta itse, vaan ne ostetaan kiltisti valmiina kaupan hyllyltä.

Parempi tekniikan oppi täytyy joka tapauksessa hakea jostakin muualta. Oikeita töitä en enää voi saada, joten elämä näköjään voi olla ainoastaan opiskelua. Maan hallitus ei erikoisesti suosi opiskelijoita eikä myöskään minun ikäluokkaani, mutta poiskaan täältä ei toistaiseksi ole mahdollisuutta lähteä. Luulenpa että kerkeästi kylläkin karistaisin Suomen pölyt pysyvästi pois patiineiltani jos se olisi taloudellisesti mahdollista.


Että josko makaa rauha maassa ja ettäkö ihmisillä hyvät tahdot

Joulu 2016 oli musta, märkä ja lumeton ja vuodenvaihteen lähestyessäkään on aika mahdotonta ottaa ulkona kuvaa jossa olisi lunta ja jouluinen tunnelma. Ehkä Porin kauppatorin esiintymislavan tonttu-, piparkakku- ja kuusiasetelma on parasta jouluista sisältöä mitä julkisesti on pienellä rahalla saatavilla. Tuo vaalea alusta ei johdu lumesta, vaan se on valonheittimien keiloissa kylpevää vaaleahkoa betonia.

Maa ei suinkaan makaa hyvin. Suomessa on todellisuudessa yli 400000 työtöntä, mutta kansan toimeentulo halutaan yhä tiiviimmin sitoa työhön. Byrokratia sen kun vaan lisääntyy tässä virkamiesten virkamiehiä varten rakentamassa virkamiesten ihanneyhteiskunnassa. Byrokraatit järkkäilevät mukavaa työtä ja toimeentuloa toinen toisilleen.

Virkavaltaisuus on ottanut selkävoiton kansanvallasta. Julkinen talous velkaantuu yli sopimusten, mutta virkamiehiä, näitä turhia välikäsiä ei suinkaan vähennetä. Virkamiesten julkisista varoista kustannettu toimeentulo ei saa kärsiä missään tapauksessa. Kansa on se joka saa säästää. Kansaan ei voi luottaa. Kansaa täytyy valvoa ja pitää kurissa. Kansanvalta olisi vaarallinen asia.

Poliisivaltio on byroktaateille ihan kiva juttu. Poliisivaltiota on lapsellisen helppo rakentaa sen myytin suojissa että "Suomi on maailman vähiten korruptoitunein maa". Tuollainen verovaroilla kustannetun YLE:n hallituksen kannalta poliittisesti korrektien toimittajien suojatyöpaikoistaan levittämä uskomus, sumuverho, hyvinvoinnin kulissi tekee korruption harjoittamisen maassamme erikoisen helpoksi.

Suurvaltapolitiikassa näen myönteisenä sen että konfliktihakuinen Obama ja hänen pikku ystävänsä joutuvat väistymään vallan kahvojen tuntumasta tuolla Atlantin valtameren väärällä puolella. Liennytys tekee hyvää meille rajamaan asukeille. Vielä Obama on pystynyt kiukuttelemaan kuin pikkukakara, mutta onneksi verenhimoiset demokraatit joutuvat nyt vaihtopenkille. Arabeista ei tule jenkkejä tekemälläkään, joten kannattaa lopettaa se hillitön riehuminen ulkomailla.

Suomalainen demokratia vetelee henkitoreissaan viimeisiään ja maailma on pääasiassa umpihullu, mutta onhan mukavampiakin asioita. Asioita joissa on järkeä ja joihin voi vaikuttaa.

Matte ykkösen matemaaginen ilosanoma tiivisteenä

Tavallisille insinööreille suunnatun ammattikorkeakoulun leikkimatematiikan ohella on mahdollista opiskella ihan oikeaakin matematiikkaa.

Oheinen ote matematiikka-moduulin hyödyntämästä oppikirjasta ehkä esittää sen mikä oli kaikkein tärkeintä kurssilla Matematiikka 1. Niin noh, tietysti tärkeitä ovat myös mm. matriisien käsittely, käänteismatriisit, lineaarinen riippumattomuus, lineaariset kuvaukset, alkeisrivioperaatiot ja niiden alkeisrivioperaatiomatriisit. Tämä on kuitenkin eräs oleellinen näkökulma lineaarialgebraan. Siitä on hyvä jatkaa LU-kehitelmillä.

Koetan sen tässä vielä kirjoittaa kiireesti auki ennenkuin vuosi 2016 ehtii loppua (joka ylevä tavoite kylläkin hiukan epäonnistui korjausten ja pienen täydennyksen johdosta) ja alkaa uusi vuosi 2017 ja sen mukana matematiikka-moduulin toinen osa "Matte 2".

Nämä ovat joukko yhtälöiden, vektoreiden ja matriisien erilaisia esitystapoja joilla on erilaisia sovellusmahdollisuuksia. Eräänlaisena lähtökohtana voisimme pitää lineaarista yhtälöryhmää jossa on m kappaletta lineaarisia yhtälöitä, siis m riviä. Yhtälöryhmän tavanomainen esitystapa on seuraava:

a11·x1 + a12·x2 + ... + a1n·xn = b1
a21·x1 + a22·x2 + ... + a2n·xn = b2
...             ...          ...
am1·x1 + am2·x2 + ... + amn·xn = bm

Mieluummin esitän kuitenkin kertoimet ja muuttujat päinvastaisessa järjestyksessä. Nehän ovat skalaareja ja skalaarit voidaan kertoa siinä järjestyksessä missä halutaan, tulon siitä muuttumatta.

x1·a11 + x2·a12 + ... + xn·a1n = b1
x1·a21 + x2·a22 + ... + xn·a2n = b2
...             ...          ...
x1·am1 + x2·am2 + ... + xn·amn = bm

Tuntemattomat muuttujat ovat x, kertoimet ovat a ja yhtäsuuruusmerkin oikealla puolella ovat vakiot b. Vakioiden b arvot tunnetaan ja niitä on m kappaletta. Tuntemattomia x on siis n kappaletta. Voisi myös sanoa että tässä on n saraketta, jonka ilmaisun hyödyllisyys ilmenee myöhemmin. Tässä yleisessä esitystavassa kertoimet a ovat symbolisessa muodossa muuttujan näköisinä, mutta oikeassa käytännön laskennassa ne olisivat arvoltaan tunnettuja skalaareja.

Jokin matemaattinen ongelma voidaan esittää tässä yhtälöryhmän muodossa kun pystytään muodostamaan joukko rivejä yo. tyyliin " jokin tunnettu suure a11 kertaa tuntematon x1 ... plus jokin tunnettu suure a12 kertaa tuntematon x2 ... plus jokin tunnettu suure a1n kertaa tuntematon xn ... tuottaa yhteensä tulokseksi tunnetun vakion b1" jne. Yhtälöryhmässä olisi yhteensä m riviä.

Joillakin edellytyksillä tuntemattomien arvot voidaan ratkaista tuollaisesta yhtälöryhmästä. Yleisesti ottaen olisi mukavinta jos yhtälöt olisivat toisistaan riippumattomia ja yhtälöitä olisi sama määrä kuin tuntemattomia ( m = n ), mutta näin ei aina ole asia. Tästä eräänlaisesta yksikäsitteisyyden ja täydellisyyden ihanteesta poikkevatkin tapaukset pystytään silti käsittelemään ja hyödyntämään jollakin tavalla.

Sama yhtälöryhmän sisältö voidaan vaihtoehtoisesti esittää muissa muodoissa. Tuntemattomat x ovat ylläolevassa sarakkeittain samoja, joten jos muodostamme a -arvoista ja b -arvoista pystyvektoreita (eli sarakevektoreita), voisimme esittää saman yhtälöryhmän vektoriyhtälönä:

    | a11 |        | a12 |              | a1n |     | b1 |
x1 · | a21 | + x2 · | a22 | + ... +  xn · | a2n |  =  | b2 |
    | ... |       | ... |              | ... |    | ...|
    | am1 |        | am2 |              | amn |     | bm |

Pystyvektoreiden esitystapani ei valitettavasti näytä kovin hyvältä. Tarkoitus olisi että vektoreiden komponentit olisivat isojen hakasulkujen sisällä.

Jos esitämme a-sarakevektorit lihavoituina pystyvektoreina tyyliin a1, a2, ..., an ja b-sarakevektorin vastaavasti b niin saamme aikaan täsmälleen samaa tarkoittavan, mutta huomattavasti helpommin luettavan ja siistimmän vektoriyhtälön:

x1·a1 + x2·a2 + ... + xn·an  =  b

Tässä täytyy vain muistaa että kertoimina olevat tuntemattomat x1, x2, ... , xn ovat skalaareja eli yksittäisiä lukuja, kun taas lihavoidut suureet a1, a2, ..., an ja b ovat vektoreita, sarakevektoreita, rakenteita jotka sisältävät m kappaletta lukuja.

Siis esimerkiksi vektori a1 jakautuu komponentteihinsa a1 = [ a11 a12 ... a1n ]T ja vastaavasti vakiovektori b = [ b1 b2 ... bm ]T joissa pystyvektorit on esitetty vaakamuodossa transpoosimerkinnän ( T ) avulla. Vektoreiden alkiot ovat skalaareja eli yksittäisiä lukuja.

Vektoriyhtälöstä ei ole pitkä matka samaa tarkoittavaan matriisiyhtälöön. Nimittäin tuntemattomat skalaarit x1, x2, ... , xn voidaan ymmärtää vektorin x komponenteiksi, eli x = [ x1 x2 ... xn ]T jonka avulla vektoriyhtälö muuttuu matriisiyhtälöksi:

[ a1  a2  ...  an ] · x  =  b

Järjestys on merkitsevä. Skalaarit voidaan kertoa mielivaltaisessa järjestyksessä, mutta tässä kerrotaan vektori matriisilla. Kertolasku voidaan muodostaa koska matriisissa on n saraketta ja vektorissa on n riviä. Tulosvektorissa b on rivejä yhtä paljon kuin matriisissa eli m kappaletta. Tosin tästä merkintätavasta ei näy paljonko rivejä on koska on merkitty vain sarakkeet.

Koetan tässä kaiken uhallakin selkeyden vuoksi säilyttää kertomerkit kertojan ja kerrottavan välissä, vaikka niitä ei matematiikassa yleensä jätetäkään näkyviin. Nyt täytyy ajatella että a1, a2, ... an ovat sarakevektoreita ja ne muodostavat yhdessä matriisin A. Niinpä ylläoleva yhtälö voitaisiin kirjoittaa vieläkin lyhyemmin A · x = b koska todellakin matriisi muodostuu sarakevektoreista A = [ a1 a2 ... an ]

Alkioittain esitettynä matriisi A siis olisi seuraavan kaltainen mxn matriisi, m riviä ja n saraketta:

      | a11  a12  ...  a1n |
A  =  | a21  a22  ...  a2n |  =  [ a1  a2 ... an ]
      | ...              |
      | am1  am2  ...  amn |

Vektori x olisi sen kanssa yhteensopiva n-rivinen pystyvektori:

      | x1 |
x  =  | x2 |
      | .. |
      | xn |

Ja matriisin A sarakevektorit koostuvat kukin skalaareista joita on m riviä, esimerkkinä ensimmäinen sarakevektori a1:

       | a11 |
a1  =  | a21 |
       | ... |
       | am1 |

Voimme siis esittää miten vektoriyhtälö muuttuu matriisiyhtälöksi ja päinvastoin :

x1·a1 + x2·a2 + ... + xn·an  =  [ a1  a2  ...  an ] · x  =  A · x

Oikealta vasemmalle lukien tämän voi ymmärtää niin että matriisin ja vektorin tulo A x voidaan muodostaa kertomalla matriisin sarakevektorit a1 ... an järjestyksessä vektorin komponenteilla x1 ... xn ja laskemalla tulot yhteen. Matriisissa A on n saraketta ja vektorissa x on n riviä, joten tulo voidaan muodostaa. Matriisissa A on m riviä joten myös kertolaskun tuloksena syntyvässä vektorissa on m riviä.

Ehkä välipalana selventävä esimerkki

Pienenä numeerisena esimerkkinä esitettäköön miten matriisilla kerrotaan vektori. Käytettävissä on kaksi hiukan erilaista tapaa. Ensimmäinen tapa on tuo yllä kuvattu tulon A·x muodostus matriisin A sarakkeiden lineaarikombinaationa, jossa siis kukin matriisin sarakevektori kerrotaan järjestyksessä vastaavalla muuttujalla, siis vektorin x komponentilla ja tulot lasketaan yhteen.

A · x  =  [ a1  a2  ...  an ] · x  =  x1·a1 + x2·a2 + ... + xn·an

Olkoon meillä esimerkiksi seuraavat pienet 2*2 matriisi ja 2x1 vektori:

      | 1   2 |                    | a11   a12 |
A  =  |       |  =  [ a1   a2 ]  =  |          |
      | 3   4 |                    | a21   a22 |

      |  5  |     | x1 |
x  =  |     |  =  |    |
      |  6  |     | x2 |

Ylläolevan laskusäännön mukaan matriisin ja vektorin tulo muodostettaisiin sarakevektoreiden avulla seuraavasti:

          | 1   2 |   | 5 |         | 1 |       | 2 |     |  5 |   | 12 |     | 17 |
A · x  =  |       | · |   |  =  5 · |   | + 6 · |   |  =  |    | + |    |  =  |    |
          | 3   4 |   | 6 |         | 3 |       | 4 |     | 15 |   | 24 |     | 39 |

Matriisin sarakkeiden lineaarikombinaation vaihtoehtona samaan tarkoitukseen voitaisiin soveltaa toista hiukan erilaista laskutapaa "rivi kerrallaan", jossa kertolaskun tulos muodostuu järjestyksessä matriisin rivin alkioiden ja pystyvektorin komponenttien tulojen summana:

          | a11   a12 |   | x1  |     | a11*x1+a12*x2 |   
A · x  =  |          | · |    |  =  |             |  
          | a21   a22 |   | x2  |     | a21*x1+a22*x2 |  

Tässä tapauksessa laskut muodostuisivat seuraaviksi esimerkin luvuilla:

          | 1   2 |   | 5 |     | 1*5+2*6 |     |  5+12 |     | 17 |
A · x  =  |       | · |   |  =  |         |  =  |       |  =  |    |
          | 3   4 |   | 6 |     | 3*5+4*6 |     | 15+24 |     | 39 |

Tulos matriisin ja vektorin kertolaskussa on tietenkin sama laskutavasta riippumatta.

Mutta nytpä tuli eteen lievä 'tänka på'

Vektoria voisi pitää matriisin erikoistapauksena. Sarakevektorissa on vain yksi sarake. Matriisissa voi olla useita sarakkeita. Matriiseiden välinen kertolasku on seuraava etappimme.

Mutta mutta, tässä välissä on nyt pakko hiukan resuneerata ja fundeerata sekä peilata tätä tavallaan uutta tietämystä vanhan tietämyksen valossa.

Jokaisen kunniallisen insinööriopiskelijan vanhana tietämyksenä voimme tässä yhteydessä pitää (joidenkin ylemmyydentuntoisten sielujen leikkimatematiikaksikin nimittämän) insinöörien perusmatematematiikan opetuksessa käytettyjä surullisenkuuluisia Majaniemen vihkosia.

Emme nimittäin millään voi tässä yhteydessä ohittaa vektoreiden tuloja, joita on kahdenlaisia : pistetuloa eli skalaarituloa ja ristituloa eli vektorituloa jotka on opetettu Majaniemen vihkosten mukaan jokaiselle kynnelle kykenevälle.

Esitämme ne tässä kertauksena ja esitämme myös miten nämä näyttäytyvät matriiseiden hiukan paremmin matemaattiselta näkökannalta. Voimme pitää vektoria matriisin erikoistapauksena.

Kahden vektorin pistetulo on yllä määritelty klassiseen tapaan ko. vektoreiden pituuksien ja vektoreiden välisen kulman avulla. Sitä voidaan nimittää myös skalaarituloksi koska tulon arvo todellakin on skalaari eli yksittäinen luku, eikä mikään vektori, vaikka se onkin kahden vektorin välisen kertolaskun tulos. Vektoreiden pituudethan ovat vain skalaareja ja myös vektoreiden välinen kulma on skalaari, joten siltäkin näkökannalta ylläolevasta kaavasta käy ilmi ettei pistetulo voi olla mikään vektori, vaan tuloksena on skalaari.

Muodostetaanpa aihetta valaiseva yksinkertainen laskuesimerkki lineaarialgebran mukaan komponenteittain. Näissä vektoreissa on kolme komponenttia eli ne ovat 3D-avaruuden vektoreita, mutta niiden pistetulo on yhtä kaikki pelkkä skalaari. Olkoon u vaakavektori ja v pystyvektori.

                          | v1 |
u · v  =  [ u1  u2  u3 ] · | v2 |  =  u1*v1 + u2*v2 + u3*v3
                          | v3 |

Kuten näkyy, pistetulon tuloksena on skalaari, yksi ainokainen luku joka voidaan muodostaa kerto- ja yhteenlaskuin vektoreiden komponenttien arvoista.

Lineaarialgebran kannalta voisimme sanoa että vaakavektori u on 1x3 matriisi, siis matriisi jossa on yksi rivi ja 3 saraketta. Pystyvektori v taasen voidaan nähdä 3x1 matriisina koska siinä on 3 riviä ja yksi sarake. Matriisien kertolasku edellyttää että kertojassa on sama määrä sarakkeita kuin mitä kerrottavassa on rivejä ja tämä ehtohan tässä toteutuu.

Matriisien kertolaskun sääntö kertoo myös että tulosmatriisissa on yhtä monta riviä kuin kertojassa ja yhtä monta saraketta kuin kerrottavassa. Tulosmatriisissa on siis 1 rivi ja 1 sarake. Tuloksena on siis 1x1 matriisi, jota voimme hyvällä omallatunnolla nimittää yksittäiseksi luvuksi eli skalaariksi, koska eihän ko. tulosmatriisissa ole mitään muuta sisältöä.

Tällä vektoreiden välisellä pistetulolla on lineaarialgebrassa aivan oma nimi : sisätulo

Katsotaanpa sitten ristituloa eli todellista vektorituloa. Sitä voi nimittää vektorituloksi, koska kertolaskun tulos todellakin on aivan oikea vektori.

Majaniemen antaman klassinen ristitulon määritelmä on monasti hiukan hankala soveltaa käytäntöön. Komponenttimuodossa hommaan saadaan enemmän oikeaa sisältöä.

Katsotaanpa taas kahden 3-ulotteisen vektorin kertolaskua, mutta tällä kertaa kerrommekin pystyvektorilla vaakavektorin:

          | v1 |                     | v1*u1  v1*u2  v1*u3 |
v x u  =  | v2 | x [ u1  u2  u3 ]  =  | v2*u1  v2*u2  v2*u3 |
          | v3 |                     | v3*u1  v3*u2  v3*u3 |

Pystyvektori v on lineaarialgebran kannalta 3x1 matriisi ja vaakavektori u on 1x3 matriisi joten näiden välinen matriisitulo on 3x3 matriisi.

Voi näyttää aluksi hiukan hassuhkolta. Voi joutua hämmennyksiin jos yrittää soveltaa tavanomaista kaavaa "rivi kertaa sarake" kun kertojan rivillä on vain yksi alkio ja kerrottavan sarakkeessa vain yksi alkio.

Eräs tapa hanskata tämä on sellainen että kertovan vektorin rivit ovat pelkkiä skalaareja koska riveillä ei ole muuta kuin yksi alkio. Niinpä tulosmatriisin rivi muodostuu skalaarin ja kerrottavan vaakavektorin tulona. Esimerkiksi tulosmatriisin ensimmäinen vaakarivi v1 * [ u1 u2 u3 ] = [ v1*u1 v1*u2 v1*u3 ] jossa kaikki alkiot ovat pelkkiä skalaareja.

Lineaarialgebra antaa tälle tapaukselle ihan oman nimen : ulkotulo

Tässä viisauteni kuitenkin alkaa hiipua. Ristitulon idea ei vaadi että vektorit täytyisi käsitellä juuri tietyssä järjestyksessä. Yhtä hyvin voisimme sanoa että v kuuluisi olla vaakavektori ja u pystyvektori.

          | u1 |                     | u1*v1  u1*v2  u1*v3 |
u x v  =  | u2 | x [ v1  v2  v3 ]  =  | u2*v1  u2*v2  u2*v3 |
          | u3 |                     | u3*v1  u3*v2  u3*v3 |

Selvää on että näissä matriiseissa lävistäjän alkiot v1*u1 = u1*v1, v2*u2 = u2*v2, v3*u3 = u3*v3 ovat samoja, sillä nehän ovat samojen skalaarien tuloja eri järjestyksessä.

Lisäksi voisi eri kaavojen vastinalkioita vertailemalla epäillä että : v1*u2 = u1*v2, v1*u3 = u1*v3, v2*u1 = u2*v1, v2*u3 = u2*v3, v3*u1 = u3*v1, v3*u2 = u3*v2 mutta en usko että tämä olisi mahdollista koska vektorista nähdäkseni tulisi silloin nollavektori. Paremminkin mainitut alkiot olisivat jossakin tietyssä suhteessa keskenään.

Hämmentävää. Ja mikä vektori muka on 3x3 matriisi? En oikein ymmärrä. Tuo pitäisi saada pelkistettyä vektoriksi. Täytyy miettiä asiaa.

Yleensä vektoreiden a = [ ax ay az ] ja b = [ bx by bz ] ristitulo - ottamatta kantaa ovatko ne pysty- vaiko vaakavektoreita - komponenteittain esitetään yksikkövektoreiden kanssa 3-rivisenä determinanttina:

          | i   j   k |
a x b  =  | ax  ay  az |
          | bx  by  bz |

... tai joukkona 2-rivisiä determinantteja:

            | ay  az  |     | az  ax  |     | ax  ay  |
a x b  =  i |        | + j |        | + k |        |
            | by  bz  |     | bz  bx  |     | bx  by  |

Tämä voidaan esittää myös helpommin luettavana vektorina:

          | ay·bz - az·by |
a x b  =  | az·bx - ax·bz |
          | ax·by - ay·bx |

Mielenkiintoista että esimerkiksi ekassa matriisin kaavassa esiintyviä tekijöitä käyttäen tämä olisi ilmaistavissa muodossa:

          | v2·u3 - v3·u2 |
v x u  =  | v3·u1 - v1·u3 |
          | v1·u2 - v2·u1 |

Nämä termit löytyvät mielenkiintoisesti symmetrisesti 3x3 matriisista lävistäjän eri puolilta. Lävistäjän alkioita ei ole mukana. Tuossa täytyy olla jotakin, jotakin isoa ideaa josta voisi saada kiinni.

Enpä vaan valitettavasti toistaiseksi osaa johtaa näitä kaavoja. Toivottavasti vielä joskus osaan. Hämmästyksen peukku on kummastuksen suupielessä.

Tässä yhteydessä on pyydettävä mitä nöyrimmin anteeksi että avuton merkintäni ei tee selvää eroa matriisin ja determinantin välillä.

Ja kyllähän Majaniemikin antaa matriiseiden kertolaskusäännön vaikka sekoileekin ensin ennenaikaisesti ja epäjohdonmukaisesti determinanttien kanssa.

Sormia voi - ja mielestäni kannattaakin - käyttää apuna kertoessaan kertovan matriisin rivin alkion järjestyksessä vastaavan kerrottavan matriisin sarakkeen alkion kanssa.

Determinantit tosin kuuluu oikeasti opettaa vasta matriiseiden perusteiden jälkeen. Determinantit ovat oikeasti vain matriisilaskennan apukeino.

Mutta palataanpa kiltisti takaisin päivän epistolaan

Monasti hyödyllinen näkymä matriiseiden kertolaskuun on seuraava. Se aukeaa kirjoittamalla toinen matriiseista sarakevektoreiksi koska esimerkiksi matriisi B jakautuu sarakevektoreiksi B = [ b1 b2 ... bn ]

A · B  =  A · [ b1  b2  ...  bn ]  =  [ A·b1  A·b2  ...  A·bn ]

Tässä on siis tarkkaan huomattava että esimerkiksi matriisin ja sarakevektorin tulo A·b1 on eräs uusi sarakevektori joka sisältyy matriiseiden tulona syntyvään uuteen matriisiin.

Jos kertovassa matriisissa A on m riviä ja n saraketta ja kerrottavassa matriisissa B on n riviä ja p saraketta, niin tulosmatriisissa on m rivä ja p saraketta. Kertolaskun järjestys on merkitsevä. Yleisesti ottaen matriiseille ei päde ettäkö A B ja B A olisivat sama asia.

Matriiseiden tulo voidaan muodostaa myös toisella tavalla. Oppikirja käyttää siitä nimitystä Column-Row Expansion of AB ja esittää sen suunnilleen seuraavalla tavalla:

                                       | row1(B) |
AB = [ col1(A)  col2(A) ...  coln(A) ]  | row2(B) |  =  col1(A)row1(B) + ... + coln(A)rown(B)
                                       |   ...   |
                                       | rown(B) |

Tässä merkintätavassa esim. col1(A) tarkoittaa matriisin A ensimmäistä saraketta ja rown(B) tarkoittaa matriisin B järjestyksessä n:ättä riviä. Koulussa käytetyllä merkintätavalla saman kaavan voinee esittää seuraavalla tavalla:

                       | B1* |
AB = [ a1  a2 ... an ]  | B2* |  =  a1 B1* + a2 B2* + ... + an Bn*
                       | ... |
                       | Bn* |

Jossa esimerkiksi tähteä * käyttävä merkintä B1* tarkoittaa B-matriisin koko ensimmäistä riviä, siis sen ekan rivin kaikkien sarakkeiden alkioita. Koska rivi-indeksi on ykkönen ja sarakeindeksi tähti. Matriisin A saraketta 2, eli sarakkeen 2 kaikkien rivien alkioita voitaisiin vastaavasti merkitä tähdellä rivin indeksin kohdalla A*2 mutta yllä olen käyttänyt jo aiemmin käytettyä sarakevektorin merkintää a2 joka tarkoittaa samaa asiaa eli a2 = A*2 = col2(A)

No okei, kirjoitetaan tämä sama vielä kolmannessa muodossa jossa matriisin A sarakkeita merkitään vastaavalla notaatiolla kuin matriisin B rivejä:

                         | B1* |
AB = [ A*1  A*2 ... A*n ]  | B2* |  =  A*1 B1* + A*2 B2* + ... + A*n Bn*
                         | ... |
                         | Bn* |

Matriisin A sarakevektoreissa kuten a1 on m riviä ja yksi sarake. Matriisin B kullakin rivillä kuten B1* on p saraketta mutta tietenkin vain yksi rivi joten kertolaskut voidaan suorittaa kun kertojassa on sama määrä sarakkeita kun kerrottavassa on rivejä. Tulosmatriisissa AB on kertovan matriisin A mukaiset m riviä ja kerrottavan matriisin B mukaiset p saraketta.

Merkintä A*n ei sinänsä kerro paljonko matriisin A n:nnessä sarakevektorissa on rivejä, eikä myöskään merkintä Bn* paljasta matriisin B rivin n sarakkeiden määrää.

Tämä esitystapa oli meillä kurssilla oikeastaan esillä vain "läpikäyvänä", alkeisrivioperaatiomatriiseita ja niiden käänteismatriiseita käsittelevässä videossa, ilman sen enempiä todisteluita.

Hiukan arvoituksellisempi kohta ylläkuvatussa oppikirjan tekstissä on "(4) the rows of AB as products of the rows of A and the matrix B". Tämä lienee kuitenkin ymmärrettävissä kirjan (5th edition) sivun 115 esimerkin 6 avulla. Tuon esimerkin lopuksi esitetään seuraava teksti sekä vaatimaton kaava.

Let rowi(A) denote the i:th row of a matrix A. Then

  rowi(AB) = rowi(A)· B

Hiukan lisää lihaa luitten päälle saa seuraamalla mainittua esimerkkiä alusta alkaen. Siinä siis kerrotaan matriisilla A matriisi B, mutta ollaan kuitenkin kiinnostuneita vain tulomatriisin yhdestä rivistä i, tässä esimerkissä rivistä numero 2. Matriiseiden sisältö on seuraava:

      |  2  -5   0 |
A  =  | -1   3  -4 |
      |  6  -8  -7 |
      | -3   0   9 |

      | 4  -6 |
B  =  | 7   1 |
      | 3   2 |

Tulo AB voidaan muodostaa koska matriisissa A on 3 saraketta ja matriisissa B on 3 riviä. Tulomatriisissa on rivejä yhtä paljon kuin matriisissa A eli 4 ja sarakkeita yhtä paljon kuin matriisissa B eli 2. Haluamme kuitenkin näistä vain yhden rivin.

Kun halutaan laskea ainoastaan tulosmatriisin toisen rivin sisältö (kertolaskussa tarvittavat arvot lihavoitu), voitaisiin menetellä näin, merkiten kysymysmerkillä ne tulosmatriisin alkiot joilla ei ole merkitystä tehtävänannon kannalta:

 |  2  -5   0 |                |     ?           ?       |     | ?  ? |
 | -1   3  -4 |  | 4  -6 |  =  | -4 + 21 -12   6 + 3 - 8 |  =  | 5  1 |
 |  6  -8  -7 |  | 7   1 |     |     ?           ?       |     | ?  ? |
 | -3   0   9 |  | 3   2 |     |     ?           ?       |     | ?  ? |

Tai yksinkertaisemmin voitaisiin laskea näin koska vain tuloksen toinen rivi kiinnostaa:


               | 4  -6 |
| -1   3  -4 | | 7   1 |  =  | -1*4+3*7+(-4)*3  -1*(-6)+3*1+(-4)*2 |  =  | 5  1 |
               | 3   2 |

Tämä kertolasku on OK koska kertojassa on yhtä paljon sarakkeita kuin kerrottavassa on rivejä. Voidaan kertoa keskenään 1x3 matriisi ja 3x2 matriisi ja niiden tulo on 1x2 matriisi.

Tarvitaan siis koko kerrottava matriisi B, mutta kertovasta matriisista A vain ko. rivi.

Hmmm, kurssin virallinen raumalainen opettaja SAMK:in puolelta (jota Porissa ei ole näkynytkään) oli sitä mieltä että heikollakin kielitaidolla pärjää. Sellaista lausumaa en kuitenkaan voi itse allekirjoittaa.

Vaikka matematiikka-moduulin lineaarialgebran Tampereen teknillisestä yliopistosta peräisin olevat opetusvideot (by Frank Cameron) ovatkin hyviä, niin oppikirja on mielestäni silti syytä lukea ja myös ymmärtää. Videot tarjoavat vaihtoehtoisen ja monasti täydentävän näkökulman aiheeseen, mutta kirjassakin on viisautta joka huolettomalta lukijalta voi jäädä oivaltamatta. Kirjan anti on kovin tiivistettyä ja tyylissä on hiukan sitä vikaa että jossakin sivulauseessa ohimennen mainitaan jokin (raumalaisittain) aikaslail tärkkiä asja. Esitystapa on myös osittain erilainen kirjassa ja videoilla. Videoiden kieliasu ei ole aivan täydellistä suomenkieltä, mutta hyvinkin ymmärrettävää.


Ai niin juu, uudenvuoden lupaus. Kyllä sen voi tehdä, vaikkakin hiukkasen jälkijättöisesti, vasta uudenvuoden aaton jälkeen.

Tuleva kevätlukukausi vuonna 2017 on SAMK:ille eli Satakunnan ammattikorkeakoululle viimeinen Vähäraumassa. Syksyllä entinen Vähärauman 1960-luvulta asti palvellut insinöörikoulu on enää pelkkä muisto. Niinpä lupaan tulevan kevätlukukauden aikana kuvata ja myös täällä julkaista Vähärauman kampuksen tyypillisiä näkymiä, koulun käytäviä, luokkia, yleisnäkymiä, opetusvälineitä yms. muistorikasta materiaalia, ainakin tekniikan puolelta.

Kyllä sellaisia kuvia kuitenkin moni vielä tulee kaipaamaan. Monet insinööripolvet ovat tarponeet Vähärauman koulualueella ja tallentaneet harmaiden aivosolujensa kätköihin jotakin heille henkilökohtaisesti arvokasta. Vaikka koulu olisikin ollut aivan paska, niin väkisinkin siitä jää ainakin joitakin hyviä muistoja. Keväällä sanomme siis hyvästit Vähärauman kampukselle, mutta emme sitä suinkaan tykkänään pois unhoita, siitä pitää valokuvaustaito huolen.


Galleria