Konkreettinen hakkaa virtuaalisössötyksen mennen tullen

Edellinen Seuraava

Oheinen ensinäkemältä varsin yksinkertainen vino heittoliike, erään kinematiikan kotitehtävän b-osa osoittautui yllättävän hankalaksi.

On ratkaistava nopeudella 4 m/s liikkuvan kuljetushihnan kaltevuuskulma β niin että hiekka putoaa hihnan päästä A vaakasuuntaisen matkan d = 2,5 metriä päässä 3 metriä alempana olevaan keräysputkeen B. Vastaus on annettu (β = 18,9°), mutta kuten tavallista tässä onkin saatava aikaan ratkaisumenetelmä joka tuottaa sen. Ratkaisumenetelmän osaaminen on sitä varsinaista tietoa.

Vinolle heittoliikkeelle on olemassa joukko tuttuja kaavoja. Tavalliseen tapaan t merkitsee aikaa ja g merkitsee planeettamme maan vetovoiman kihtyvyyttä (noin 9,81 m/s2) joka suuntautuu alaspäin. Kappaleen alkunopeus on v0. Kappaleen X-suuntainen alkunopeus v0x pätee koko matkan X-suuntaisena nopeutena, sillä häviöitä ei ole ; ilmanvastusta yms. häiriötekijöitä ei huomioida.

v0x = v0· cos(β)		|| alkunopeuden X-komponentti
v0y = v0· sin(β)		|| alkunopeuden Y-komponentti

v02 = v0x2 + v0y2

Kappaleen x- ja y-koordinaatit suorakulmaisessa xy-koordinaatistossa:

x(t) = x0 + v0x·t
y(t) = y0 + v0y·t - g·t2 / 2

Alkupiste (x0, y0) kannattaa ottaa origoksi (0, 0) joten sitä ei jatkossa tarvitse miettiä. X-akseli osoittaa vaakasuorassa oikealle ja positiivinen Y-akseli ylöspäin. Aika t0 = 0 kun hiekka irtoaa hihnalta pisteessä A.

Kulma β on se varsinainen tuntematon suure joka pitäisi ratkaista. Aikaa t tehtävässä ei oikeastaan kysytä, mutta se on myös eräs tuntematon joka on otettava huomioon.

Tehdäänpä alustava manuaalinen hyökkäys ongelman kimppuun. Alkunopeus v0 tunnetaan, mutta yksinkertaisempaa olisi ehkä pitää X- ja Y- suuntaisia nopeuskomponentteja v0x ja v0y itsenäisinä tuntemattomina että välttyisi trigonometrisiltä päänvaivoilta? Tokihan on oikeasti niin että v0x ja v0y ovat toisistaan riippuvaisia kun niiden resultantti v0 tunnetaan ja kulma β on tietyn suuruinen.

Oikeasti tuntemattomia on siis vain kaksi (β ja t), mutta jos yrittäisi ratkaista kolmea tuntematonta kolmen yhtälön ryhmällä, niin tällainen siitä tulisi (laadut m, s, m/s ja m/s2 jätetty merkitsemättä, joka on aivan tavallinen käytäntö):

v0x · t - 2,5 = 0
v0x2 + v0y2 - 42 = 0
-4,905·t2 + v0y·t + 3,0 = 0

Tässä siis x(t) = 2,5 ; y(t) = -3,0 ; v0 = 4,0 ja g/2 = -4,905 (g on negatiivinen koska paino suuntautuu alas).

Ekasta yhtälöstä voisi nopsasti ratkaista nopeuden X-suuntaisen komponentin v0x = 2,5 / t ja tämä sijoitettuna toiseen kaavaan tuottaisi (2,5 / t)2 + v0y2 = 16 eli v0y2 = 16 - (2,5 / t)2 = 16 - 2,52 / t2 eli v0y2 = 16 - ( 6,25 / t2 ) jonka neliöjuuri näyttää kolmanteen kaavaan sijoitettavaksi arvoksi aika hankalalta.

Tokihan on niin että sin2 β + cos2 β = 12 eli hiukan eri merkintätavalla esim. (sin β)2 = 1 - (cos β)2 joten ( kun voidaan ratkaista v0y = 4,0 · sin β ) yhtälöt voisi koettaa esittää yhtälöparina:

4,0 · cos β · t - 2,5 = 0
-4,905·t2 + 4,0 · sin β · t + 3,0 = 0

Sinifunktio on siitä mukava että se säilyttää kulman β etumerkin, joten se kannattaa säilyttää. Ekan rivin kosinin voisi kirjoittaa lausekkeen 1 - (sin β)2 neliöjuurena, mutta sen käsittely jatkossa voisi olla hankalaa ... laskuteknisesti vaativaa. Ajatus oli että jos kaavoissa olisi pelkästään kulman siniä niin ratkaisu voisi olla helpompi, mutta en oikein pidä neliöjuurista.

Standardimenettely, kun oma järki loppuu, on turvautua fiksuun laskimeen. Se lie sallittua koska tässä ei ole kysymys matematiikasta. Tämä on fysiikkaa, mekaniikkaa ja dynamiikkaa, joten matemaattisia apuneuvoja voi käyttää vapaasti. Eihän työelämässäkään sanota "Tämä vapaa fiksu työkalu tässä vieressä olisi aivan ihanteellinen tämän tehtävän ratkaisemiseen, mutta sinun on silti suoritettava tehtävä ilman sitä!".

Casio Classpad:ia varten tehtävän voisi muotoilla yhtälöpariksi jossa x korvaa kulman β ja z korvaa ajan t. Kulma β tulee tässä radiaaneina laskimen asetusten mukaan.

Laskimen tuottamasta ratkaisujoukosta valitaan sellainen jonka aika t on positiivinen, mutta ei turhan pitkä. Tällainen ratkaisu olisi { β = -0,3307 radiaania ; t = 0,6608 sekuntia } Negatiivinen t olisi matemaattisesti hyväksyttävissä, mutta fysikaalisesti alkuhetkeä t0 seuraava negatiivinen aika olisi mahdoton koska aika ei kulje taaksepäin. Kaikki matemaattiset ratkaisut eivät ole fysikaalisesti mahdollisia.

Kulma -6,61386... on turhan negatiivinen, joten siihen voi vielä lisätä 2·π (elikkä 2*pii) ilman että suunta oikeasti muuttuu. Kulmat β ja β ± 2·π ovat käytännössä samoja. Jos katsot pohjoiseen ja sitten käännyt ±360° niin rintamasuuntasi on edelleen pohjoiseen, suunta ei muutu kun siihen lisätään täysiä kierroksia.

Kulmaksi tulee asteina se kaivattu β = -18,9° eli hiekka lähtee hihnalta alaviistoon kuten kai oli tarkoitus. Positiivisellakin isohkolla lähtökulmalla hiekan saisi osumaan putkeen pitemmän ilmalennon jälkeen, mutta se ei kai olisi teknisesti järkevää, vaikkakin fysikaalisesti periaatteessa mahdollinen ratkaisu. Kaikki fysikaaliset ratkaisut eivät ole teknisesti toimivia ratkaisuja.

Luulenpa että työstän tätä probleemaa vielä jatkossa kun ratkaisu otti niin lujille. Koulussa suositaan TI-nspire -laskinta, joten täytyy kai käyttää tässä sitäkin, vaikka syvällä sisimmässäni kannatankin Casiota.

Kun merkitään x = β ja z = t niin Texas suoltaa sisuksistaan oletuksena aivan järkevän vastauksen x = -0.330675 (β radiaaneja) and z = 0.6608 (t sekunteja), huomauttaen kuitenkin että muitakin mahdollisia ratkaisuja voi olla.

Vaikka ratkaisu olikin jo siinä, pahuuttani voisin muotoilla ongelman kolmen yhtälön ryhmäksi, vaikka tuntemattomia oikeasti onkin vain kaksi. Jos merkitään x = cos β ; y = sin β ; z = t niin yhtälöryhmästä

4·x·z - 2,5 = 0
x2 + y2 = 1		|| (cos β)2 + (sin β)2 = 1
-4,905·z2 + 4·y·z + 3 = 0

saadaan TI:llä suoraan peräti neljä matemaattista ratkaisua.

Kun ahkerasti skrollaan samalle riville peräkkäin jonoon - kuin köyhän talon porsaat - asetetut ratkaisut ja muokkaan ne omille riveilleen, on tulosjoukko kaikessa komeudessaan tällainen:

x = -0.945823 and y = 0.324682 and z = -0.6608
or x = -0.518745 and y = -0.854929 and z = -1.20483
or x = 0.518745 and y = 0.854929 and z = 1.20483
or x = 0.945823 and y = -0.324682 and z = 0.6608

Näistä viimeinen on etsimämme tulos koska siinä aika (z) on positiivinen mutta lyhyehkö, x eli cos β on positiivinen, eli hiekka siirtyy oikealle ja y eli sin β on negatiivinen eli hiekka lähtee hihnalta alaviistoon.

Kulman β voi ratkaista vastaavalla arkusfunktiolla, parhaiten sinistä joka säilyttää etumerkin. Kaava kertoo että v0y = v0 · sin β eli sin β = v0y / v0 ja kun tiedämme suoraan arvon sin β = -0.324682 niin β = arcsin -0.324682 josta asteina tulee kulmaksi se noin -18,9°.

Toinen mahdollinen fysikaalinen ratkaisu olisi toinen rivi jossa z > 0 eli t > 0 eli aika on positiivinen ja se kuuluu kokonaisuudessaan x = 0.518745 and y = 0.854929 and z = 1.20483 jossa hiekka siis tekee 1,2 sekuntia kestävän ilmalennon. Lähtökulma on positiivinen eli yläviistoon koska y eli sin β on positiivinen. x:stä eli cos β:sta ratkaistuna kulma olisi β = arccos 0.518745 = 58,8° eli aika hurja. Mahtaisiko hiekka luotettavasti pysyä kuljetushihnalla tuolla kaltevuuskulmalla? Minä en ainakaan uskaltaisi ajaa autolla liki 60° vaakatasosta nousevaan ylämäkeen. Tai ainakin hirvittäisi aivan silmittömästi.

Probleemaa voisi koettaa ratkaista myös seuraavassa yhtälöryhmän muodossa niin että tuntemattomina olisivat aika t sekä alkunopeuden komponentit v0x ja v0y. (Valitettavasti Casio ei tunnu pitävän tästä versiosta vaan jää miettimään sitä "ikuisesti" vaikka ei pitäisi olla kyseessä mikään ikuisuuskysymys)

v0x · t - 2,5 = 0
v0x2 + v0y2 - 42 = 0
-4,905·t2 + v0y·t + 3 = 0

TI-nspire korvaa tässä esimerkissä alkunopeuden komponentit muuttujilla x = v0x, y = v0y ja aika t esiintyy aivan vaan omana itsenään.

Haluttu vastaus on se yhdistelmä jossa esintyy fysikaalisesti mahdollinen ja teknisesti järkevä positiivinen lyhyt aika t eli t = 0.6608 and x = 3.78329 and y = -1.29873 jossa siis y edustaa pystysuuntaista alkunopeuden komponenttia v0y = v0 · sin β joten kulma β voidaan siitä ratkaista β = arcsin ( v0y / v0 ) = arcsin ( -1.29873 / 4.0 ) .

Korostettakoon kuitenkin että tämä oli enimmäkseen vain eräänlaista kokeilua ja pelleilyä kolmen yhtälön ryhmällä. Oikeasti tuntemattomia oli vain kaksi, joten vain yhtälöpari tarvitaan. Parhaiten vastaus löytyy yhtälöparilla jossa käytetään ao. trigonometrisiä funktioita ja tuntemattomina ovat aika t ja kulma β. Annetaanpa rakkaan Casioni lopuksi eräänlaisena lohdutuspalkintona briljeerata osaamisellaan. Sille jäi ehkä paha mieli jumiutumisesta? Kyllä Casio osaa! HYVÄ CASIO!!!

Matemaattisten ratkaisujen lukuisuus johtuu varmaankin neliöjuuresta. Jos luku korotetaan neliöön ja otetaan siitä sitten neliöjuuri, niin tieto luvun alkuperäisestä etumerkistä menee hukkaan. Niinpä jos tiedämme vaikkapa että a2 = 4, niin voimme päätellä vain että joko a = +2 tai sitten a = -2, emme tiedä kumpi on oikein sillä molemmista tulisi neliöön korotettuna se sama +4.

Olen aiemmin ollut jonkinlaisella ristiretkellä symbolisen matikan hanskaavia laskimia vastaan, mutta myöntää täytyy että insinööriopiskelijan ei pitemmän päälle kannata olla ilman sellaista. Opiskelun tuottavuus on parempi CAS-laskimen kanssa (Computer Algebra System). Sen käyttötekniikkaa kannattaa opetella, sillä se on nykypäivää ja tulevaisuutta. Hikinen puurtaminen matemaattisten kaavojen parissa saattaa jalostaa luonnetta, mutta ei siitä kylläkään insinöörin työn tuottavuuden kannalta paljon ole hyötyä.

Aivan ilmaisia nämä eivät ole, mutta jos esim. MathCad ei ole käytettävissä tietokoneella, niin yhtälöitä symbolisessa muodossa ratkova laskukone on kova työhevonen joka säästää harmaita hiuksia ja verenpainetabletteja. CAS-laskin on siis jälleen yksi käytännöllisesti katsoen välttämätön talouden menoerä opiskelijan työkalusalkkuun kaikkien muiden menojen lisäksi tässä opiskeluvihamielisessä Sulo-Suomessamme. Poliitikot odottavat ihmettä, mutta meillä ei ole sellaiseen varaa. Ihmeet on tehtävä itse, ei niitä taivaasta tipu.

Hammaspyörä päivässä pitää hammaslääkärin loitolla?

Hammaspyörät, aah, aah. Tahtoisinpa suunnitella fiksun koneiston joka käyttää hammaspyöriä. Niillä voisi saada aikaan mitä erilaisimpia liikkeitä, muiden mekanismien kanssa yhteistoiminnassa. Mekaaninen on kaunista. Mekaaninen on aitoa ja alkuvoimaista.

Tahtoisin myös parhaani mukaan havainnollistaa erilaisten hammaspyörien ja vaihteistojen rakenteen graafisesti.

Elättelen salaista haavetta muinaisten suomalaisten noin 1000 vuotta sitten rakentamasta fiksusta mekaanisesta koneistosta joka jättäisi antiikin kreikkalaiset häpeään. Se voisi sijaita pyhällä FinnHenge-vuorella, muinaissuomalaisten pyhällä taivaan Jumalien palvontapaikalla joka löisi surkeaa Stonehengeaan ihmettelevät enkut ällikällä. Kunhan ei jää näkyviin tuoreita betonivalun jälkiä.

Muinaissuomalaisten fiksun koneiston mittasuhteissa ei pitäisi olla tarpeettoman vaatimaton. Sellainen kymmenen metrin kokoluokka olisi aivan passeli. Täytyy vain katsoa ettei aidon supisuomalaisen mekanismin osiin jää kiusallisesti näkyviin esim. merkintöjä "Made in Japan". Siitä voisi kehkeytyä melkoinen matkailun vetonaula jonnekin Peräseinäjoen Sammatin korpeen. Jalasjärven Ylivallin Pirunpesä jäisi kirkkaasti toiseksi. Mitä yli-vallilaisten Piru muka mahtaisi muinaissuomalaisten vahvoille henkivoimille, ei yhtikäs mitään.

Se voisi ehkä olla jättimäinen astronominen kello tai aurinkokuntamalli Pyhän FinnHenge-vuoren uumenissa. Aivan ulkosalle säiden armoille sitä ei ehkä voisi jättää, paitsi jos se on mekanisoitu aurinkokello.

On syytä varmistaa että tähtien paikat mallissa ovat sopivan epookin mukaiset, sillä tuhannessa vuodessa prekessio vaikuttaa jo jotakin. Olisi tarpeettoman arveluttavaa jos tuhat vuotta vanha jättiläismäinen mekanisoitu armillaaripallo esittäisi tähdet J2000.0 koordinaatein eli nykyisen standardiekvinoktiumin mukaan.

Jokuhan voisi luulla että se on huijausta. Ei se ole mitään höpön-höpöä, vaan mitä totisinta totta. Viisaat muinaissuomalaiset rakentelivat sen kymmenen metrin kokoluokkaa olevan massiivisen fiksun mekanismin puhdetöinään pirttiviljelyn, metsästelyn, kalastelun ja maanviljelyn ohessa.

Parasta tietysti olisi jos tähtien sfäärille olisi pätevä mekaaninen prekessiokorjaus esim. parin tuhannen vuoden ajalle. Ominaisliikkeitä olisi hankala ottaa mukaan, mutta ehkä se ei pahoin haittaisi. Auringon, Kuun ja paljain silmin näkyvien planeettojen suunnat muutaman kulmaminuutin tarkkudella (paljaiden silmien erotuskyky) ei olisi mikään isompi periaatteellinen ongelma toteuttaa nykyisillä laskentamenetelmillä. Harrastajakin pystyisi siihen. Mekaaninen toteutus toki on vaativampi.

Historia kertoo että tuhat vuotta sitten, ennen lännestä tulleita ristiretkiä, (nykyisessä) Suomessa ei ollut kuninkaita eivätkä heimot muodostaneet hallinnollista kokonaisuutta. Suomalaisilla ei ollut puolustusvoimia tai yhteistä armeijaa.

Uuden historiankirjoituksen tehtävä onkin muuttaa tämä käsitys. Muinaissuomalaisilla oli oma kotimainen luonnonuskonto. Heillä oli pyhiä palvontapaikkoja ja luonnonuskonnon pappeja. He eivät olleet mitään villejä. Heillä oli vankat omat arvot, ylisukupolvista viisautta, eikä heitä niin vaan Ruotsin alamaisiksi alistettu.

Suomi-noidat elävät edelleen. Väkivalloin maahamme levitetty juutalaisten tuontiuskonto ei ole meitä lannistanut. Aikamme koittaa nyt kun tuontiuskonnon uskottavuus selvästikin on rapautunut lähinnä säälittävälle tasolle. Uusi uskonto voisi olla sopiva yhdistelmä teknoa ja perinteistä luonnonuskontoa. Tekniikkaa ei kannata jättää ulkopuolelle, sillä se on vallitsevaa todellisuutta.

Hammasrattaat toki ovat kamaa joka työelämässä halutaan ottaa suoraan hyllystä, yksityiskohtiin paneutumatta.

Normi-insinööri ei halua hammaspyöristä tietää juuri muuta kuin moduluksen ja hammasluvun. Lapsikin tietää että toisiinsa hammaskosketuksessa olevissa rattaissa täytyy olla sama modulus.

Olen vaan tulemassa siihen käsitykseen että normaali insinöörin oppi ei välttämättä sisällä kovinkaan syvällistä asioiden hallintaa.

Se minua kiusaakin insinööriopinnoissa. Matematiikkaa ja perusfysiikkaa käydään läpi. Esimerkiksi työstötekniikasta käydään joitakin periaatteita joilla ei työelämässä pitkälle pötkisi. Sitten varmaan hypätään suoraan joihinkin valmiisiin polttomoottoreihin ja laivoihin, käsitellen niitä aivan pintapuolisesti? Väliin jää ammottava yksityiskohtien kuilu. Teoria ja käytäntö eivät lyö kättä keskenään. Varsinaiseen erikoistumiseen tuskin on käytännössä mahdollisuutta, varsinkaan ellei sitä voi tehdä jonkin yrityksen piirissä. Tällainen uhkakuva on hyvinkin toden tuntuinen.

Porin koulusta ja kaupungista

Tekniikantien varrella olevat valaisinpylväät taitavat jo olla melko iäkkäitä koska tikat ovat niistä kiinnostuneita. Ehkä ne ovat peräisin 1960-luvun alusta jolloin Vähärauman koulu rakennettiin?

Tokihan ne ovat alunperin olleet myrkyllä kyllästettyjä ja tuholaisia vastaan suojattuja, mutta niinpä vaan olen nähnyt tikan jo useaan otteeseen naputtelevan pylvään kylkeä nokallaan.

Tuskin se lintu huvin vuoksi päätään puuhun hakkaa, kyllä siellä paalun sisällä täytyy jo jotakin toukkia olla.

Vanha elokuvateatteri Kino porilaisen puistokadun varrella oli pakko kuvata kun se jäi valoisina kesäiltoina niin vähälle huomiolle. Päivällä Kinon fasadi on varjossa auringonpaisteelta, mutta syksyisenä pilvisenä lauantaipäivänä ihan se ja sama.

Olen joskus 1980-luvulla käynyt tuolla elokuvissa. Amadeus ainakin tulee mieleen siltä ajalta. Talon muoto on ulkonaisesti melko sama kuin raumalaisessa elokuvateatteri Iso-Hannussa. En tunne asiaa syvällisesti mutta mahdollisesti tämä Porin vanha Kino on nyt opiskelijoiden käytössä? Nykyinen nuorisokulttuuri on minulle kuitenkin aika vierasta. Olen nuori vain asiakysymyksissä.

Elokuvista puheen olleen on pakko mainita että uusi Bond tietysti on tarjolla Promenadi-keskuksessa (uuden Bond-rainan nimi taitaa olla Spectre). Olen kuitenkin päättänyt boikotoida Bondia koska edellisen leffan loppu oli minulle niin suuri pettymys.

Sitäpaitsi elokuvissa käynti on Porissa hankalaa nykyisin. En edelleenkään tiedä mistä näkisi rainojen aikataulut. On paljon helpompi hakea Anttilasta halpoja DVD-levyjä tai Vähärauman R-kioskista kympillä viisi vuokralta poistettua DVD-leffaa.

Yleensä ne käyteyt levyt ovat aivan kelvollisia pienistä naarmuista huolimatta, vaikka onhan jokunen viallinenkin tullut koettua.

Jotkut uudetkaan levyt eivät suostu toimimaan Windows 8:aan lataamassani DVD-katseluohjelmassa. Windows 8 ei nimittäin sisällä omaa leffakonetta ("mediapleieriä"), vaan ohjelma täytyy hakea netistä.

No Jouluunhan on enää kuukausi aikaa. Pian tulee täyteen vuosi Porissa ja täällä täytyy koettaa sinnitellä kävi miten kävi, sillä muuhun ei enää ole varaa. Verosuunnittelukaan ei oikein innosta kun palautukset menee sitten vaan ulosottoon.

Työtä tältä pohjalta tuskin voi saada, mutta panen toivoni siihen että jatko-opiskelun kautta voisi ehkä vielä joskus avautua joitakin uusia toimeentulon mahdollisuuksia.

Eikä työn hakeminen kovasti edes houkuttele kun tietää että ainoa edunsaaja työpanoksestani olisi käytännössä ulosottomies. Minulle jäisi käteen vain känsät. Irvokkaalta tuntuu laatia jotakin CV:tä kun tietää että työ olisi aika mahdoton saada ja voisi parhaassakin tapauksessa vain johtaa talouden ojasta allikkoon. Se ei ole win-win, vaan lohduton loose-loose-tilanne. Tee mitä teet, voittaa et voi.

Koulun kirjaston vaihtokirjahyllyn vetonauloja

Kyllähän se monasti hirvittää ajatella että mittarissa on melkein 60 silloin kun tutkinnon voisi ehkä saada suoritettua. En kuitenkaan koe itseäni loppuunajetuksi enkä ole valmis hautuumaalle.

En haikaile mitään eläkettä. Eläkeikä noussee tästä eteenpäin jokseenkin samaa tahtia kuin minulle kertyy vuosia. Duuniahan minä tahtoisin tehdä, mutta oma yritys olisi luultavasti siihen ainoa mahdollisuus ja siihen tarvittavaa pääomaa ei ole.

Joulupukki ei tuo minulle mitään, mutta hällä väliä. Se vanha kitsas ukko on muutenkin raskaasti ylimainostettu.

Petteri Punakuonohan sen kaiken työn tekee, logistiikan ihmeosaaja vimpan päälle.

Mutta elämä jatkuu. En suostu enää häpeämään itseäni, ei ole aihetta. Koen olevani oman elämäni sankari, arkipäivän Hercules, (keski)suuri yksinäinen melkein kuin eräs iskelmälaulaja.

Koulun puitteissa koetan edetä elämää ja opintietä vielä ehkä seuraavat pari vuotta. Olisinhan voinut kuolla tähän ikään mennessä jo monta kertaa, joten on kai eläminenkin sinänsä jonkinlainen saavutus. Ja kuka tästä kaikesta muutenkaan joskus sadan vuoden kuluttua välittää pätkääkään. Mädännäiset virkamiehet ja sairas valtiokoneisto, mutta ihan se ja sama.

Ei meillä itketä eikä surra turhista. Muinaiset esi-isämmekin kun rakensivat mahtavia fiksuja mekanismeja jo tuhat vuotta sitten niin pirun kovia sällejä olemme mekin. Omena ei ole kauas puusta pudonnut. Pojasta on polvi vaan parantunut.




Galleria