Jekut eivät diffiksestä lopu konsanaan

Edellinen Seuraava

Siis näitä temppuja löytyy vaikka huru mycket!

Kaikkia tapauksia ei pysty integroimaan, siis analyyttisesti eli yleisessä muodossa, ilman kaikkia numeroarvoja. Käytännössä monasti vaikeinta on keksiä millä metodilla ongelma voisi avautua, vaikka vaihtoehtojakin joskus on.

Tässä ajattelin alunperin sivuta sellaisia ovelia jekkuja kuin logaritminen integrointi, osittaisintegrointi, yhdistetyn funktion integrointi ...



Uusi aloitus 3 vuotta myöhemmin

No juu, paljon on virrannut vettä Kokemäenjoessa sen jälkeen kun 2015 keväällä aloittelin näitä vanhan matematiikka-moduulin 3-kurssin pohjalta virinneitä juttuja diffiksestä. Nyt kesällä 2018 aion saneerata näitä juttuja parempaan kuosiin lähinnä uuden matematiikka-moduulin Raumalta käsin ohjatun 4-kurssin pohjalta, jonka suoritin keväällä. Sekin nimittäin oli sitä samaa diffistä eli differentiaali- ja integraalilaskentoa.

Vakiokertoiminen lineaarinen toisen kertaluvun homogeeninen differentiaaliyhtälö

Pelottavan tuntuinen nimihirviö? Todellisuudessa pitkän nimen tarkoitus on kuitenkin paljastaa että kyseessä on lähes mahdollisimman yksinkertainen tapaus. Tällainen olisi esimerkiksi seuraava tuntemattoman funktion y = f(x) derivaattojen yhtälö:

y'' + 2 y' = 0

Siis sanallisesti ilmaisten funktion y toinen derivaatta lisättynä sen ensimmäisellä derivaatalla kahdella kerrottuna tuottaa nollan. Tämä on:

Tiedämme siis vain funktion y = f(x) derivaatoista jotakin, mutta haluamme tietää millainen itse funktio on, eli haluaisimme saada tulokseksi funktion y ilmaistuna selkeästi argumentin x avulla.

Vielä yksinkertaisempi yhtälö olisi esim. y' = 2 jonka voisi ratkaista suoraan integroimalla y = 2 x + C . Tarkistuksena derivoiden saadaan D(y) = D(2 x + C) = 2 x0 + 0 = 2 koska erillisen vakion C derivaatta on nolla. C on integroimisvakio joka tarvitaan koska minkä tahansa termin 2 x vakiolla lisätyn arvon derivaatta olisi aivan sama kakkonen. Ei siis ole perustetta väittää että olisi C = 0. Tässä käsiteltyjä differentiaaliyhtälöitä ei kuitenkaan voi integroida aivan näin helposti.

Tällaiset differentiaaliyhtälöt ovat yleisiä insinöörikoulutuksessa. Esimerkiksi perusfysiikassa voitaisiin tuntea massaltaan m olevaan kappaleeseen vaikuttava voima F ja kappaleeseen kohdistuva kiihtyvyys a ratkaistaisiin tunnetusta kaavasta F = m a eli kiihtyvyyden suhteen ratkaistuna a = F / m . Varsinaisesti haluttaisiin tietää esim. kappaleen nopeus tai paikka hetkellä t. Tunnetaan funktion derivaatta tai useampia derivaattoja, mutta haluttaisiin tietää funktion arvo, se on differentiaaliyhtälön kantava idea.

Kiihtyvyys on kappaleen paikan x toinen aikaderivaatta eli toinen derivaatta ajan t suhteen x''. Sir Isaac Newton käyttäisi toisesta aikaderivaatasta nimitystä toinen fluksio ja piirtäisi kaksi pistettä muuttujan x päälle. Kappaleen paikan x ensimmäinen aikaderivaatta x' eli derivaatta ajan t suhteen on sama kuin kappaleen nopeus. Periaatteessa tunnetusta kiihtyvyydestä x'' voitaisiin integroida kappaleen nopeus x' ja tästä edelleen integroida myös kappaleen paikka x, tietyin edellytyksin. Pyörimisliikkeen tapauksessa kyseessä voisi olla pyörivän akselin kulma-asema, kulmanopeus (1. aikaderivaatta) ja kulmakiihtyvyys (2. aikaderivaatta).

Tutkitaanpa tarkemmin tuota differentiaaliyhtälöä joka on diffiksen kurssin oppikirjan Calculus tehtävä 3.7.3.

y'' + 2 y' = 0

Tämä voidaan ratkaista käyttäen ns. yritettä jossa esiintyy myös vakio r. Sopiva yrite voisi olla muotoa y = A erx koska eksponenttifunktio on mukava käsitellä derivoinnissa ja integroinnissa. Eksponenttifunktio ex toimii tässä funktion y mallintajana ja se on siitä kiva että sekä sen derivaatta että integraali on sama ex , tosin sisäfunktion kerroin r täytyy myös huomioida. Tuo yrite esittää että tuntematon funktio y = f(x) pyritään esittämään korottamalla luonnollisen logaritmijärjestelmän kantaluku e potenssiin r·x jossa siis esiintyy muuttuja x ja kertomalla tämä eräällä vakiolla A.

Ensin haluamme derivoida yritteen y = A erx ja saamme ketjusääntöä käyttäen:

y = A erx
                          d erx        d e(rx)   d(rx)
D(y) = D(A erx) = y' =  A -----  =  A -------  ------
                           dx          d(rx)    dx

Kun eksponenttifunktion ominaisuuksien perusteella tiedämme että tekijän e(r x) derivaatta eksponenttinsa (r x) suhteen on yksinkertaisesti e(rx) ja tekijän (r x) derivaatta muuttujan x suhteen on pelkkä r, niin saamme yritteen derivaataksi kokonaisuutena:

 y' =  A erx r

Tuntemattoman funktion y = f(x) ensimmäinen derivaatta olisi siis esitettävissä tässä muodossa. Differentiaaliyhtälössä esiintyy kuitenkin myös toinen derivaatta, joten lasketaan yritteestä toinen derivaatta derivoimalla tuo ensimmäinen derivaatta, joka on helppoa eksponenttifunktion ominaisuuksien perusteella koska sisäfunktiosta vaan tulee kertoimeksi uusi r:

 y'' =  A r2 erx

Nyt voimme muodostaa karakteristisen yhtälön alkuperäisen differentiaaliyhtälön y'' + 2 y' = 0 ja yritteen derivaattojen perusteella. Mehän olemme yllä laskeneet funktiolle y sekä ensimmäisen derivaatan y' että toisen derivaatan y'' joten voimme sijoittaa nämä alkuperäiseen yhtälöön.

 y'' + 2 y' = 0

 A r2 erx + 2 ( A erx r ) = 0

Tässähän on kahdessa termissä yhteinen tekijä A erx joten siistimmässä muodossa sama on:

 A erx ( r2 + 2 r ) = 0

Karakteristinen yhtälö on tuo suluissa oleva arvo asetettuna nollaksi r2 + 2 r = 0 joka on toisen asteen yhtälö, mutta voimme ottamalla yhteisen tekijän esittää sen yksinkertaisesti tulomuodossa r2 + 2 r = r ( r + 2 ) = 0 josta voimme helposti päätellä että kertolaskun tulo voi olla nolla vain jos yksi tulontekijöistä on nolla eli r = 0 tai r + 2 = 0 . Niinpä ratkaisut ovat r = 0 tai r = -2

Kun nyt tunnemme mahdolliset arvot r, niin voimme esittää differentiaaliyhtälön ratkaisun eli funktion y = f(x) kahden termin summana käyttäen kahta tuntematonta vakiota B ja C siten että arvot r (0 ja -2) on asetettu muuttujan x kanssa luonnollisen logaritmijärjestelmän kantaluvun eksponentiksi:

 y  =  B e0 x + C e-2 x  =  B + C e-2 x

Numeerista lopputulosta emme tästä saa koska emme tiedä funktiosta y = f(x) tai sen derivaatoista sen enempää. Tämä on siis yleinen ratkaisu kahden termin summana. Jos tietäisimme funktion y ja sen derivaattojen numeeriset arvot jollakin argumentin x arvolla niin saisimme niiden avulla myös numeerisen vastauksen.

Hiukkasen vaativampi esimerkki

Tämä on diffiksen kurssin oppikirjan Calculus tehtävä 3.7.14.

y'' + 10 y' + 25 y = 0
y(1) = 0
y'(1) = 2

Tässä meillä on differentiaaliyhtälössä mukana myös funktion arvo y ja lisäksi tiedämme funktion y numeerisen arvon argumentille x = 1 sekä ensimmäisen derivaatan arvon samalle argumentille x=1. Meillä on siis differentiaaliyhtälön lisäksi myös alkuehdot, joten saamme yleisen ratkaisun lisäksi myös numeerisen vastauksen.

Yritteenä meillä on aluksi vanha tuttu y = A erx jonka ensimmäinen derivaatta on ylläolevan perusteella y' = A erx r ja toinen derivaatta y'' = A r2 erx . Kun yrite ja sen derivaatat sijoitetaan alkuperäiseen yhtälöön, saadaan:

y'' + 10 y' + 25 y = 0

A r2 erx + 10 ( A erx r ) + 25 ( A erx ) = 0

Yhteisen tekijän A erx avulla tämä siistiytyy huomattavasti

A erx ( r2 + 10 r + 25 ) = 0

Karakteristinen yhtälö on nyt r2 + 10 r + 25 = 0 joka on kuitenkin esitettävissä muodossa ( r + 5 )2 = 0 joten arvo r on helppo ratkaista r = -5. Tässä on siis kaksoisjuuri. Ongelmana on että tästä syntyi vain yksi ratkaisu kun oikeasti tarvittaisiin kaksi ratkaisua, kaksi erilaista r-arvoa. Edellisen tehtävän tyyppinen ratkaisu y = B e-5 x + C e-5 x ei kelpaa eikä ole riittävä koska siinä on oikeasti vaan yksi integrointivakio ; tuostahan pystyy ottamaan yhteisen tekijän e-5 x jonka kertoimeksi tulisi vakioiden summa B + C joka on oikeasti vain yksi luku. Tarvitaan 2 aidosti erilaista integrointivakiota.

On siis kuitenkin jo löytynyt yksi ratkaisu r = -5 jota ei pidä unohtaa, mutta tarvittavaa toista erilaista ratkaisua täytyy hakea erilaisella yritteellä. Vakiota varioimalla valitaan uusi yrite y = A x erx jossa on kerrottu muuttujalla x tai oikeastaan pitäisi mielestäni merkitä y = A(x) erx jossa muuttuja A onkin nyt muuttunut funktioksi A(x).

Tavalliseen tapaan uudesta yritteestä tarvitaan myös derivaatat joita laskettaessa on huomioitava että kyseessä on tulon derivaatta. Tokihan muistamme tulon (u·v) derivaatan tärkeän säännön (u·v)' = u'·v + u·v'

y = A(x) erx
y' = A'(x) erx + A(x) r erx
y'' = A''(x) erx + A'(x) r erx + A'(x) r erx + A(x) r2 erx 
    = A''(x) erx + 2 r A'(x) erx + A(x) r2 erx

Nämä sitten sijoitetaan alkuperäiseen yhtälöön kuten aiemminkin, otetaan yhteinen tekijä ja supistellaan:

y'' + 10 y' + 25 y = 0

A''(x) erx + 2 r A'(x) erx + A(x) r2 erx + 10 ( A'(x) erx + A(x) r erx ) + 25 ( A(x) erx )  = 0

erx [ ( A''(x) + 2 r A'(x) + A(x) r2 ) + ( 10 A'(x) + 10 A(x) r ) + 25 A(x) ]  = 0 

Tässä vaiheessa on hyvä muistaa jo löydetty ratkaisu r = -5 ja sijoittaa se tuohon hirvitykseen:

erx [ ( A''(x) + 2 (-5) A'(x) + A(x) (-5)2 ) + ( 10 A'(x) + 10 A(x) (-5) ) + 25 A(x) ]  = 0 

erx [ A''(x) - 10 A'(x) + 25 A(x) + 10 A'(x) - 50 A(x) + 25 A(x) ]  = 0 

erx [ A''(x) + ( 10 - 10 ) A'(x) + ( 50 - 50 ) A(x) ]  = 0 

erx A''(x)  =  0

Päädytään siis nättiin tulomuotoiseen kaavaan erx A''(x) = 0 jossa siis toinen tulontekijöistä täytyy olla nolla, sillä muuten tulo ei olisi nolla. Voimme päätellä että tulontekijä erx täytyy olla nollaa suurempi koska e potenssiin nolla olisi yksi, e0 = 1 , eikä edes negatiivinen eksponentti saisi potenssin arvoa nollaksi, joten sen toisen vaihtoehdon eli funktion A(x) toisen derivaatan täytyy olla nolla, eli ainoa mahdollisuus on A''(x) = 0 . Tästä voidaan integroida ratkaisu kahdessa vaiheessa kahta integrointivakiota käyttäen:

A''(x) = 0
A'(x) = B
A(x) = B x + C

Yhdistämällä tämä aiemmin löydettyyn osaratkaisuun jossa r = -5 saadaan funktiolle yleinen ratkaisu :

y  =  A(x) erx  =  ( B x + C ) e-5 x

No tässä yleisessä ratkaisussahan on tuntemattomia vakioita B ja C, joten se on vielä hiukan kryptinen. Alkuehtojen avulla voidaan etsiä numeerista vastausta, mutta tarvitaan myös yleisen ratkaisun derivaatta koska toinen alkuehto on juurikin derivaatalle, joten lasketaanpa se valmiiksi saman tien. Huomioiden että kysessä on tulon derivaatta ja siellä on sisäfunktiokin:

y' = B e-5 x - 5 ( B x + C ) e-5 x

Tehtävän alkuehto y(1) = 0 kertoo että funktion y arvo on nolla kun x = 1 joten löydetyn kaavan perusteella sijoittaen:

y(1) = 0 = ( B·1 + C ) e-5·1  =  B e-5 + C e-5 

Tästä voi jo päätellä että vakiot B ja C ovat toistensa vastalukuja eli C = -B koska e:n potensseista tulee samat.

Toinen tehtävässä annettu alkuehto y'(1) = 2 kertoo että funktion y ensimmäisen derivaatan arvo on kaksi kun argumentti x = 1 joten sijoittaen yleisen ratkaisun derivaattaan nämä arvot saadaan:

y'(1) =  2  =  B e-5·1 - 5 ( B·1 + C ) e-5·1  =  B e-5 - 5 B e-5 - 5 C e-5  

Kun edellisen perusteella tiedämme että C = -B supistuu tämä:

y'(1) =  2  =  B e-5 - 5 B e-5 + 5 B e-5  =  B e-5

B e-5  =  2

B  =  2 e5  =  -C

Luonnollisen logaritmijärjestelmän kantaluku e = 2,7182818... on vakio joten kyllähän myös e5 on arvoltaan täysin tunnettu. Emme suotta esitä tässä likiarvoja. Lopputuloksena ratkaistu argumentista x riippuva funktio y = f(x) on siten:

y  =  ( B x + C ) e-5 x
y  =  ( 2 e5 x - 2 e5 ) e-5 x
y  =  2 e5 ( x - 1 ) e-5 x

Voimmehan tämän funktion valmiiksi ratkaistun kaavan y = f(x) perusteella tarkistaa vaikkapa että todellakin tehtävässä annettu alkuehto toteutuu, eli funktion y arvo argumentin arvolla x=1 on nolla eli y(1) = 0

y(x)  =  2 e5 ( x - 1 ) e-5·x
y(1)  =  2 e5 ( 1 - 1 ) e-5·1  = 2 e5 (0) e-5  =  2 · 0  =  0

Kolmas ehkä pikkuriikkisen ikävähkö differentiaaliyhtälöiden perustapaus

Tämä on diffiksen kurssin oppikirjan Calculus tehtävä 3.7.7.

y'' - 6 y' + 10 y = 0

Perin viattoman näköinen differentiaaliyhtälö? Käyttäen tuttua yritettä y = A erx päädytään jo tutuin menettelyin seuraavaan yhtälöön:

A erx ( r2 - 6 r + 10 ) = 0

Ikäväksi tämän tekee se että karakteristinen yhtälö r2 - 6 r + 10 = 0 ei ratkea reaaliluvuin. Diskriminantti 62 - 4·1·10 = 36 - 40 = -4 on negatiivinen ja siitä pitäisi ottaa neliöjuuri. Ei ole olemassa sellaista reaalista arvoa r joka toteuttaisi tuon karakteristeristisen yhtälön, koska minkään reaaliluvun toinen potenssi ei ole negatiivinen. Imaginaariyksikön avulla tuo diskriminantti voidaan esittää muodossa i2 · 4 jonka neliöjuuri on i·2

Tässä tapauksessa karakteristisen yhtälön juuret ovat kompleksilukuja:

      6 ± i·2
r =  ---------  =  3 ± i
        2

Jossa i tarkoittaa imaginaariyksikköä jolle pätee i2 = -1 eli imaginaariyksikkö on siis neliöjuuri miinus ykkösestä.

No onhan siinä kaksi eri ratkaisua kompleksiluvuin r = 3 + i sekä r = 3 - i . Niinpä ratkaisun voisi esittää edellisiä matkivassa mutta tässä hiukan epähavainnollisessa muodossa, jos ei ole turhan tarkka:

 y  =  B e(3 + i) x + C e(3 - i) x 

Yleensä vastaukseen ei kuitenkaan ole tapana jättää imaginaarilukua i . Kauniimpaa esitystapaa voi lähteä hakemaan Eulerin tunnetun kaavan avulla:

ei x  =  cos x + i sin x

Sijoittamalla tämä saadaan:

y  =  B e(3 + i) x + C e(3 - i) x 

y  =  B e3 x ei x + C e3 x e-x  i 

y  =  B e3 x ( cos x + i sin x ) + C e3 x ( cos (-x) + i sin (-x) )

Ottaen huomioon että parillinen funktio cos (-x) = cos x ja pariton funktio sin (-x) = -sin x saadaan:

y  =  B e3 x ( cos x + i sin x ) + C e3 x ( cos x - i sin x )

y  =  B e3 x cos x + B e3 x i sin x  + C e3 x cos x - C e3 x i sin x

Ryhmitellään uudelleen kooten sin x ja cos x kertoimet yhteen:

y  =  ( B + C ) e3 x cos x + ( Bi - Ci ) e3 x sin x

Vaihtamalla vakioiden nimet E = B + C ja F = Bi - Ci tämä voidaan lopulta esittää kauniimmassa muodossa y = E e3 x cos x + F e3 x sin x jossa ei enää esiinny sitä perin kiusallista imaginaariyksikköä.

Tässä tehtävässä ei ollut annettu mitään alkuarvoja, joten vastaus on vain yleinen ratkaisu.

Jos halutaan kunnon erityisratkaisu, ei riitä että tunnetaan derivaattojen arvoja jotka kuvaavat pelkästään funktion muuttumisnopeutta. Tarvitaan myös joitakin täsmällisiä kiintopisteitä funktion arvolle tai sen derivaattojen arvoille, alkuarvot.

Tätä problematiikkaa kuvaa oheinen Calculus-kirjan kaunis kuva. Siinä on erään differentiaaliyhtälön kuvaajia erilaisilla integroimisvakion arvoilla C.

Vastaavia käyriä voidaan samasta differentiaaliyhtälöstä piirrellä ääretön määrä erilaisille C-arvoille. Integroimisvakio C ei tarvitse olla kokonaisluku eikä sen tarvitse olla edes rationaalinen, eli ilmaistavissa tarkasti kahden kokonaisluvun osamääränä.

Jos ingeroimisvakion C arvoa ei tunneta, niin differentiaaliyhtälön ratkaisu voidaan esittää vain yleisenä kaavana jonka avulla ei voi saada yksiselitteisiä numeerisia tuloksia. Kyseinen differentiaaliyhtälö on yksi niistä lukemattomista muista saman muotoisista käyristä, mutta kun ei pysty sanomaan mikä niistä.

Vasta jos on annettu myös käyttökelpoiset alkuarvot, voidaan differentiaaliyhtälöstä saada aikaiseksi ratkaisu jolla käytännössä tekeekin jotakin.

Logistinen kasvu

Diffiksen kurssilla Matte 4 esiteltiin kursorisesti myös logistinen käyrä ja tuhti oppikirja Calculus sisältää sellaisesta oheisen komean kuvan.

Eksponentiaalinen kasvu on erittäin nopeaa kasvua, sitä edustaa funktio ex . Eksponentiaalista kasvua kuvaisi seuraava differentiaaliyhtälö:

dy ---- = k · y dt

Funktion arvon y kasvun nopeus dy/dt on siis verrannollinen funktion arvoon y ; mitä isompi funktion arvo, sitä nopeampaa on funktion arvon kasvu. Tässä k on jokin vakio jonka arvo säilyy samana samoissa olosuhteissa.

Esimerkkinä eksponentiaalisesta kasvusta voisi ajatella miten osakkeiden arvo yleisesti ottaen kehittyy pitkän aikavälin kuluessa.

Muuttujat t on tässä aika ja drivaatta on siis ajan suhteen.

Eksponentiaalinen kasvu nopeutuu jatkuvasti, se ei pysähdy. Todellista rajallista maailmaa kuitenkin yleensä kuvaa paremmin logistinen kasvu jota luonnehtii hiukan erilainen differentiaaliyhtälö. Kuvan yläosassa arvattavasti näkyy sen jonkinlainen integraali.

 dy                   y
----  =  k y · ( 1 - --- )
 dt                   L

L voisi olla nimeltään "ruokittavissa oleva populaatio" kuten kurssin raumalainen opettaja sitä nimitti. Se edustaa resurssien saatavuuden rajoittamaa funktion maksimiarvoa. Kun funktion arvo y kasvaa yhtä suureksi kuin L niin kasvu selvästikin pysähtyy koska sulkulauseke menee nollaksi. L edustaa siis kasvun rajoja.

Kuvassa on esitetty erilaisia tapauksia jossa funktio aloittaa arvoon L nähden eri korkeuksilta. Jos aloitusarvo on resursseihin nähden epärealistisen korkea, niin funktion arvo vähitellen laskee oikealle tasolle. Jos lähdetään pienestä alkuarvosta niin funktion arvo vähitellen nousee tasolle L. Värähtelyä tässä kuitenkaan ei esiintyne, vaan funktion arvo muuttuu hillitysti kun L pysyy vakiona.

Jos funktio sensijaan esittäisi jänisten määrää ja jokin toinen funktio kuvaisi kettujen määrää, niin L ei säilyisi vakiona. Ketut söisivät jäniksiä kun niitä on runsaasti eli jänisten L on suuri, jolloin kettujen määrä lisääntyisi ja jänisten määrä alkaisi vähentyä ja niiden L alkaisi laskea. Kun jänisten määrä putoaa niin ketut alkavat kuolla nälkään, jolloin jänikset saavat uuden mahdollisuuden niin että jänisten L kasvaa taas jne. Vuorovaikuttavat systeemit voivat värähdellä, määrät vaihtelevat jaksollisesti. Tämän tietävät kaikki kumimaton ystävät eli 8-bittisen 1980-luvun Spectrum-kotitietokoneen omistajat. Spectrumissa oli nimittäin BASIC-ohjelma joka kuvasi jänisten ja kettujen määrän vuorottelua. Värähtelyn kannalta oleellista on että välissä on huomattava viive.

Voidaan ajatella että kasvi lähtee kasvamaan hyvin pienestä alkiosta. Aluksi sen kasvu on hidasta koska kasvi on niin surkean pieni ja siinä on niin vähän sellaista mikä kasvaa. Vähitellen kasvi kuitenkin saavuttaa suuremmat mitat ja sitä kasvavaa ainetta on enemmän, jolloin kasvu on suhteessa nopeampaa, ellei mikään tekijä rajoita kasvun nopeutta. Tokihan tilanne lopulta muuuttuu, eikä sama kasvutahti ole enää mahdollinen.

Tai voisi ajatella uutta tuotetta joka tulee markkinoille. Aluksi se on harvinainen, sitten se tulee muotiin ja kaikkien täytyy saada sellainen. Lopulta kysyntä kuitenkin hyytyy ja markkinat tulevat ko. tuotteella kyllästetyiksi.

No siis ihan nolla-arvostahan kasvu ei pääse lainkaan käyntiin. Kun y = 0 niin derivaatastakin tulee jatkuvasti tasan nolla eikä kasvua tapahdu. Matemaattisesti funktion arvo y täytyy aluksikin olla hiukan suurempi kuin nolla, sillä muuten funktion kuvaaja jää vaakasuoraksi viivaksi x-akselille vaikka olisi millaiset kasvupotentiaalit. Ainakaan sikäli logistisen kasvun matemaattinen teoria ei täysin kuvaa reaalitodellisuutta. Jos esimerkiksi minä alkaisin kaupata isoja Lemmenjoen kultahippuja aivan naurettavan alhaiseen polkuhintaan, niin kyllä ne kävisivät kaupan vaikka nollasta alettaisiin, menisivät kuin kuumille kiville.

Joitakin matematiikan peruskaavoja

Voimaini tunnossa kokoan tähän muistin virkistämiseksi matematiikan aivan viimeisen päälle peruskauraa. Vaikka tämä ei olekaan diffistä.

(a+b)2  =  (a+b)·(a+b)  =  a·a + a·b + b·a + b·b  =  a2 + 2·a·b + b2

(a-b)2  =  (a-b)·(a-b)  =  a·a - a·b - b·a + b·b  =  a2 - 2·a·b + b2

(a+b)·(a-b)  =  a·a - a·b + b·a - b·b  =  a2 - b2 

(a+b)3  =  (a+b)·(a+b)·(a+b)  =  (a+b)·(a2 + 2·a·b + b2)  
 =  a·a2 + a·2·a·b + a·b2 + b·a2 + b·2·a·b + b·b2  =  a3 + 2·a2·b + 2·a·b2 + b3

   a          am
( --- )m  =  ---
   b          bm

( a·b )m  =  am · bm

a·b + a·c  =  a·(b + c)                         (yhteinen tekijä)

b2 + m + 2·a·b + n + a2  =  (a+b)2 + m + n       (neliöksi täydennys)

 a          1       1
---  =  a· ---  =  --- ·a
 b          b       b

       b         c          c·a
a / ( --- )  =  --- ·a  =  -----
       c         b           b

 a     c       a·d     b·c       a·d + b·c
--- + ---  =  ----- + -----  =  -----------
 b     d       b·d     b·d          b·d

 a     c       a·c
--- · ---  =  ----- 
 b     d       b·d

 a     c       a·d     b·c       a·d - b·c
--- - ---  =  ----- - -----  =  -----------
 b     d       b·d     b·d          b·d

(-a)·(-b)  =  a·b

(-a)·(-b)·(-c)  =  -a·b·c

 m·a       a
-----  =  ---
 m·b       b

√(a2)  =  ±a

√(a2·b2)  =  ±a·b

√(9·a2)  =  √(32·a2)  =  ±3·a


... to be continued ...


Galleria