Edellinen | Seuraava |
Herra L'Hospital:in sääntö lie Tammertekniikan tavalliselle Tekniikan Kaavastolle tuntematon, mutta se kannattaa opetella ulkoa koska sitä voi joskus käyttää aika ovelalla tavalla. Tässä on kyse raja-arvosta (limes) joka merkitään lim
.
f(x) = g(x) / h(x) ; f on siis kahden funktion osamäärä, sama argumentti limx->a f(x) = limx->a ( g'(x) / h'(x) )
Toisin sanoen murtofunktion raja-arvo on sama kuin osoittajan ja nimittäjän derivaattojen suhteen raja-arvo. Voi kuulostaa mitättömältä lauseelta mutta sillä voi olla yllättävää käyttöä. Tällä säännöllä ratkotaan nimenomaan epämääräisiä muotoja. L'Hospital sääntöä ei voi käyttää esim. tapauksessa lim x->1+ x/ln x
koska tuo ei ole epämääräinen ; osoittaja ei lähesty nollaa.
Esimerkiksi tällainen tehtävä saattaa vaikuttaa melko vaativalta ellei tunne L'Hospital -sääntöä:
lim x->1 (( x2014 - 1 ) / (x - 1))
Murtolausekehan ei ole määritelty arvolla x=1 koska nimittäjä menee silloin nollaan. Ja nollahan siinä osoittajaankin tulisi. Tässä ei kuitenkaan ole kyse siitä että x olisi yksi, vaan siitä että se lähenee arvoa 1. Epämääräinen muoto "nolla jaettuna nollalla" täytyy selvittää jotenkin. On helppo derivoida että D(x2014 - 1) = 2014 · x2013
ja D(x - 1) = 1
joten L'Hospital -säännön perusteella saadaan:
lim x->1 (( x2014 - 1 ) / (x - 1)) = lim x->1 ( 2014 · x2013 / 1 )
Tässä ei enää ole epämääräistä muotoa "0/0", joten ratkaisu on helppo. Kun x lähenee arvoa yksi, täytyy rajalla olla x2013 = 1, joten lopputulos eli kysytty limes on 2014.
Toisena esimerkkinä lim x->1 ( ln x / ( x2 - 1 ))
joka myöskin olisi arvolla x=1 epämääräinen "0 per 0". Voimme kuitenkin helposti derivoida sekä osoittajan että nimittäjän : D(ln x) = 1/x = x-1
ja D(x2 - 1) = 2x
joten:
lim x->1 ( ln x / ( x2 - 1 )) = lim x->1 ( x-1 / 2x ) = lim x->1 ( 1 / 2x2 )
Tässä ei ole "nolla per nolla" -problematiikkaa jäljellä joten yksinkertaisella sijoituksella x=1 voidaan päätellä että kysytty raja-arvo on 1/2 eli ½
Joskus L'Hospital -sääntöä täytyy käyttää useampiakin kertoja peräkkäin ennenkuin epämääräinen muoto purkautuu. Esimerkiksi
lim x->0 ( (2 sin x - sin (2x)) / (2 ex - 2 - 2x - x2) ) ; "0/0" = lim x->0 ( (2 cos x - 2 cos(2x)) / (2 ex - 2 - 2x) ) ; supistus 2:lla = lim x->0 ( (cos x - cos(2x)) / (ex - 1 - x) ) ; edelleen "0/0" = lim x->0 ( (-sin x + 2 sin(2x)) / (ex - 1) ) ; edelleen "0/0" = lim x->0 ( (-cos x + 4 cos(2x)) / ex )
Tämän muodon jo pystyy helposti ratkaisemaan. Arvolla x=0 tullee osoittajaan -cos(0) + 4 cos(0) = -1 + 4 = 3
ja nimittäjään e0 = 1
joten kysytty raja-arvo on 3
Tässä kannattaa huomata että esimerkiksi D(-sin (2x)) = -2·cos(2x)
ja D(-cos (2x)) = +2·sin(2x)