L'Hospital:in sääntö, auttaa joskus

Edellinen Seuraava

Herra L'Hospital:in sääntö lie Tammertekniikan tavalliselle Tekniikan Kaavastolle tuntematon, mutta se kannattaa opetella ulkoa koska sitä voi joskus käyttää aika ovelalla tavalla. Tässä on kyse raja-arvosta (limes) joka merkitään lim .

f(x) = g(x) / h(x)       ; f on siis kahden funktion osamäärä, sama argumentti
limx->a f(x) = limx->a ( g'(x) / h'(x) )

Toisin sanoen murtofunktion raja-arvo on sama kuin osoittajan ja nimittäjän derivaattojen suhteen raja-arvo. Voi kuulostaa mitättömältä lauseelta mutta sillä voi olla yllättävää käyttöä. Tällä säännöllä ratkotaan nimenomaan epämääräisiä muotoja. L'Hospital sääntöä ei voi käyttää esim. tapauksessa lim x->1+ x/ln x koska tuo ei ole epämääräinen ; osoittaja ei lähesty nollaa.

Esimerkiksi tällainen tehtävä saattaa vaikuttaa melko vaativalta ellei tunne L'Hospital -sääntöä:

lim x->1 (( x2014 - 1 ) / (x - 1))

Murtolausekehan ei ole määritelty arvolla x=1 koska nimittäjä menee silloin nollaan. Ja nollahan siinä osoittajaankin tulisi. Tässä ei kuitenkaan ole kyse siitä että x olisi yksi, vaan siitä että se lähenee arvoa 1. Epämääräinen muoto "nolla jaettuna nollalla" täytyy selvittää jotenkin. On helppo derivoida että D(x2014 - 1) = 2014 · x2013 ja D(x - 1) = 1 joten L'Hospital -säännön perusteella saadaan:

lim x->1 (( x2014 - 1 ) / (x - 1)) = lim x->1 ( 2014 · x2013 / 1 )

Tässä ei enää ole epämääräistä muotoa "0/0", joten ratkaisu on helppo. Kun x lähenee arvoa yksi, täytyy rajalla olla x2013 = 1, joten lopputulos eli kysytty limes on 2014.

Toisena esimerkkinä lim x->1 ( ln x / ( x2 - 1 )) joka myöskin olisi arvolla x=1 epämääräinen "0 per 0". Voimme kuitenkin helposti derivoida sekä osoittajan että nimittäjän : D(ln x) = 1/x = x-1 ja D(x2 - 1) = 2x joten:

lim x->1 ( ln x / (  x2 - 1 )) = lim x->1 ( x-1 / 2x ) = lim x->1 ( 1 / 2x2 )

Tässä ei ole "nolla per nolla" -problematiikkaa jäljellä joten yksinkertaisella sijoituksella x=1 voidaan päätellä että kysytty raja-arvo on 1/2 eli ½

Joskus L'Hospital -sääntöä täytyy käyttää useampiakin kertoja peräkkäin ennenkuin epämääräinen muoto purkautuu. Esimerkiksi

lim x->0 ( (2 sin x - sin (2x)) / (2 ex - 2 - 2x - x2) )		; "0/0"
= lim x->0 ( (2 cos x - 2 cos(2x)) / (2 ex - 2 - 2x) )		; supistus 2:lla
= lim x->0 ( (cos x - cos(2x)) / (ex - 1 - x) )		; edelleen "0/0"
= lim x->0 ( (-sin x + 2 sin(2x)) / (ex - 1) )		; edelleen "0/0"
= lim x->0 ( (-cos x + 4 cos(2x)) / ex )

Tämän muodon jo pystyy helposti ratkaisemaan. Arvolla x=0 tullee osoittajaan -cos(0) + 4 cos(0) = -1 + 4 = 3 ja nimittäjään e0 = 1 joten kysytty raja-arvo on 3

Tässä kannattaa huomata että esimerkiksi D(-sin (2x)) = -2·cos(2x) ja D(-cos (2x)) = +2·sin(2x)


... to be continued ...


Galleria