| Edellinen | Seuraava |
Karkean omavaltaisesti nimitän 'sirkulaariseksi' erästä funktiotyyppiä jonka edustajia voi integroida ympyrän ominaisuuksien avulla. Kaavasto esittelee sellaisia viileän välinpitämättömään tyyliinsä tavallisen sijoitusmenetelmän yhteydessä. Sen antiin on kuitenkin hädässä turvautuminen joten sitä kannattaa tässäkin käyttää lähtökohtana.
Hyödyllisiä käänteisiä sijoituksia ja niitä vastaavat suorat sijoitukset:
x = a · sin θ θ = sin-1 ( x/a ) x = a · tan θ θ = tan-1 ( x/a ) x = a · sec θ θ = sec-1 ( x/a ) = cos-1 ( a/x )
Tässä on käytetty arkusfunktioille yleistä anglosaksista merkintätapaa joka on harhaanjohtava ja oikeastaan virheellinen. Kyse ei ole käänteisarvosta vaan käänteisfunktiosta. Oikeastaan θ = sin-1(x/a) tarkoittaa θ = arcsin(x/a) , eli θ on se kulma jonka sini on x/a.
Selitetäänpä tässä saman tien toinenkin yleisesti käytetty omituinen eikä täysin looginen merkintä. Esimerkiksi cos2 θ saattaa äkkiseltään näyttää kummalliselta, mutta se tarkoittaa yksinkertaisesti samaa kuin (cos θ)2 eli ensin otetaan kosini kulmasta ja sitten tämä tulos korotetaan potenssiin.
Vähemmän käytetystä sekantista sec haluamme ehkä muistaa että se on kosinin käänteisarvo. Sekantti on siis suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusan pituuden suhde terävän kulman viereisen kateetin pituuteen kun kosini cos on viereisen kateetin suhde hypotenuusaan. Niinpä jos cos φ = x/a , niin sec φ = a/x .
Jos integroitava sisältää termin √ ( a2 - x2 ) jossa täytyy olla a > 0 , niin sen voi usein saada yksinkertaisempaan muotoon sijoituksella x = a · sin θ
Piirros parhaiten auttanee hahmottamaan näiden käsittelyä.
Esimerkki: ∫ 1 / ( ( 5 - x2 )3/2 ) dx
Suorakulmaisessa kolmiossa kateettien neliöiden summan neliöjuuri on yhtä kuin hypotenuusa. Tässä tapauksessa sen voisi ilmaista näin: a2 = x2 + ( √(a2 - x2) )2 = x2 + a2 - x2 = a2 eli täsmäähän se.
Tässä esimerkissä a2 = 5 joten a = √5
Sijoitus x = √5 · sin θ Differentioituna dx = √5 · cos θ · dθ Sijoitetaan kaavaan laskettu differentiaali dx muistaen että se kuuluu jakoviivan yläpuolelle. ∫ (( √5 · cos θ · dθ ) / ( 53/2 cos3 θ ))
Kirja hyppää tuosta suoraan integrointiin. Tässä varmaankin on kuitenkin syytä selittää eräs välivaihe jonka kautta nimittäjään tuli mitä tuli. Nimittäjässä siis alunperin oli ( 5 - x2 )3/2 ja käytämme sijoitusta x = a · sin θ muistaen että esimerkissä a2 = 5 jonka kautta nimittäjä muuttuu seuraavasti:
( 5 - x2 )3/2 || sijoitus x = √5 · sin θ ( 5 - (√5 · sin θ)2 )3/2 ( 5 - (√5)2 · (sin θ)2 )3/2 ( 5 - 5 · (sin θ)2 )3/2 ( 5 - 5 · sin2 θ )3/2 || yhteinen tekijä ( 5 · ( 1 - sin2 θ) )3/2
Trigonometriasta tiedämme että jos suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusan pituus on yksikkönä eli 1 niin terävän kulman viereisen kateetin pituuden suhde hypotenuusan pituuteen täytyy olla cos θ / 1 ja vastaisen kateetin pituuden suhde hypotenuusaan on sin θ / 1 . Kun hypotenuusan neliö suorakulmaisessa kolmiossa on kateettien neliöiden summa eli 12 = (cos θ)2 + (sin θ)2 eli lyhyemmin merkittynä cos2 θ + sin2 θ = 1 niin täytyy olla cos2 θ = 1 - sin2 θ ja tämä ylläolevaan nimittäjän lausekkeeseen sijoittaen homma taas nytkähtää eteenpäin:
( 5 · ( 1 - sin2 θ) )3/2 || sijoitus 1 - sin2 θ = cos2 θ ( 5 · cos2 θ )3/2 || potenssiinkorotus ( 53/2 · cos3 θ )
Näin siis on selitetty nimittäjän radikaali muutos. Jatketaan esimerkin integroinnilla:
∫ (( √5 · cos θ · dθ ) / ( 53/2 cos3 θ ))
Sekä osoittaja että nimittäjä ovat tulomuodossa joten supistelu on vaivatonta. Viitoset voidaan käsitellä sillä perusteella että √5 / 53/2 = √5 / √(53) = √( 5 / 53 ) = √(1/52) = 1 / √(52) = 1/5 , joka vakiona voidaan siirtää integrointimerkin eteen.
Saman kulman kosineita taas on osoittajassa yksi ja nimittäjässä tulomuodossa kolme eli cos3 θ = cosθ · cosθ · cosθ joten supistamalla nimittäjään jää cos2 θ joka lausekkeessa muuttuu sekantiksi koska 1 / cos2 θ = sec2 θ
= 1/5 · ∫ sec2 θ · dθ = 1/5 · tan θ + C
Kaavakirja on hiukan kryptinen tässä kohdin halutessaan käyttää kosinille eksponenttia n, mutta voinemme todeta yksikantaan että ∫ 1 / (cos2 θ) · dθ = ∫ sec2 θ · dθ = tan θ + C
Hätäinen voisi kuvitella että tuo on jo niin valmiin näköinen että se kelpaa vastaukseksi, mutta eipä ei. Apukulmana käytetty θ täytyy poistaa sijoituksella jonka parhaiten oivaltanee ylläolevasta piirroksesta miettien mitä on tangentti theta ja mitä on a. Eli juurikin on kyseessä kulman vastaisen ja viereisen kateetin suhde.
= 1/5 · x / ( √(5 - x2) ) + C
Ja tässähän C on mielivaltainen vakio joka aina kuuluu määräämättömien integraalien yhteyteen.
Kaavasto käyttää hiukan eri merkintöjä, mutta ajatus on sama. Kaavastossa kulma θ on merkitty kirjaimella t
Integraalit joissa on √(a2 + x2) tai 1 / (a2 + x2) (ja jossa a>0) usein yksinkertaistuvat sijoituksella x = a·tan θ joka kääntäen on θ = tan-1(x/a)
Oheisesta kolmiosta voimme todeta että suorakulmaisen kolmion hypotenuusan neliö on sama kuin kateettien neliöiden summa : a2 + x2 = ( √(a2 + x2) )2 = a2 + x2 eli niinkuin pitääkin olla.
Esimerkkinä on ∫ ( 1 / √(4 + x2) ) dx
Tässä voidaan ajatella a2 = 4 eli a = 2 ja sijoituksena voidaan käyttää differentioinnin kanssa
x = 2·tan θ dx = 2·sec2θ · dθ
Nimittäin tangentin derivaatta voidaan kirjoittaa kuten Kaavasto kertoo D (tan θ) = 1 / cos2θ = sec2θ = 1 + tan2θ
Sijoittamalla tulee kirjan mukaan
∫ ( 1 / √(4 + x2) ) dx = ∫ ( (2·sec2θ) / (2·sec θ) ) dθ = ∫ sec θ dθ = ln|sec θ + tan θ| + C = ln | √(4 + x2) / 2 + x/2 | + C = ln (√(4 + x2) + x) + C1 // C1 = C - ln 2
Yllä olevasta piirroksesta lie apua mietittäessä mitä on sec θ = 1 / cos θ ja mitä on tan θ kun muistetaan että a = 2
Siinä tuli jo lopputulos, mutta joitakin kohtia tässä täytynee vielä selvittää, kirjoittaa auki, välivaiheita enemmän. Ihan alussa oli nimittäjässä √(4 + x2) joka muuttui mystisesti muotoon 2·sec θ
√(4 + x2) // sijoitus x = 2·tan θ √(4 + (2·tan θ)2) √(4 + 4·tan2θ) √(4 · (1 + tan2θ)) 2 · √(1 + tan2θ)
Kaavasto kertoo että yleisesti cos α = 1 / ±√(1 + tan2 α) josta voinee päätellä että √(1 + tan2 α) = 1 / (cos α) = sec α joka johtaa edellä integroitavan niin sievään supistumiseen siten että nimittäjä katoaa kuvioista.
Ja se sekantin integraali sitten. Lahjomaton kaavasto kertoo että ∫ 1 / (cos x) dx = ln |(1 + sin x) / (cos x)| + C jossa voidaan muuttaa (1 + sin x) / (cos x) = 1 / cos x + sin x / cos x = sec x + tan x
Integraalit joissa on √(x2 - a2) - kun a>0 - usein yksinkertaistuvat sijoituksella x = a·sec θ joka on kääntäen θ = sec-1(x/a)
Oheisesta suorakulmaisesta kolmiosta voimme todeta että kolmion hypotenuusan neliö on sama kuin kateettien neliöiden summa : x2 = ( √(x2 - a2) )2 + a2 = x2 - a2 + a2 = x2 ihan vaan tarkistuksen vuoksi.