Implisiittinen differentiaali - pirun ovela kikka

Edellinen Seuraava

Eräs minulle suurta päänvaivaa aiheuttanut yksinkertainen mutta tärkeä jippo. Se on eri lähteissä esitetty eri tavalla. Sitä täytyy vaan opetella käyttämään. Kyse on implisiittisessä muodossa olevasta yhtälöstä kuten F(x, y) = x2 + y2 - 25 = 0 , jota ei välttämättä aina pysty ratkaisemaan eksplisiittiseen muotoon kuten y = f(x). Ratkaisuna on differentioida yhtälö x:n suhteen, pitäen y:tä x:n funktiona jolla on derivaatta dy/dx eli lyhyemmin y'.

Esimerkiksi  y2 = x	  ; 	Mitä on  dy/dx ?

Differentioidaan yhtälön molemmat puolet x:n suhteen kohdellen y:tä x:n differentioituvana funktiona.

d/dx(y2) = d/dx(x)        ;  Huom:  d/dx(y2) = 2y·dy/dx
2y·dy/dx = 1                ;  Huom:  d/dx(x) = 1
dy/dx = 1/(2y)                   ;  Ratkaisu siirtämällä 2y oikealle puolelle

Toisenlaisella notaatiolla tämä ehkä selvempi:

2y·y' = 1
y' = 1/(2y)

Toinen esimerkki: Yhtälö x2 + y2 = 25 esittää ympyrää jonka keskipiste on origossa ja säteen pituus on 5. Ympyräviiva kulkee pisteen (3, -4) kautta, mikä on sen kulmakerroin eli dy/dx tässä pisteessä? Pidämme jälleen y:tä x:n funktiona jolla on derivaatta y' eli dy/dx

d/dx(x2) + d/dx(y2) = d/dx(25)
2x + 2y·dy/dx = 0          ; Huom: vakion differentiaali on nolla
dy/dx = -x/y

Kulmakerroin ko. pisteessä on siten -3/-4 = 3/4

Lyhyempi notaatio lie selkeämpi:

2x + 2y·y' = 0
y' = -2x/(2y)
y' = -x/y

Voidaan käsitellä myös korkeamman asteisia derivaattoja. Esimerkiksi x·y + y2 = 2·x ; paljonko on y:n toinen derivaatta y'' = d2y / dx2 ; tämä vaatii differentioimaan kahdesti molemmat puolet x:n suhteen. Huomattakoon mm. että x·y on tulo jossa täytyy käyttää sääntöä D(x·y) = x' · y + x · y'

x·y + y2 = 2·x			; differentioidaan x:n suhteen
y + x·y' + 2·y·y' = 2		; differentioidaan edelleen
y' + y' + x·y'' + 2 · (y')2 + 2 · y · y'' = 0

Tästä voidaan ratkaista

y' = (2 - y) / (x + 2y)

y'' = -8 / (x + 2y)2


... to be continued ...


Galleria