Edellinen | Seuraava |
Eräs minulle suurta päänvaivaa aiheuttanut yksinkertainen mutta tärkeä jippo. Se on eri lähteissä esitetty eri tavalla. Sitä täytyy vaan opetella käyttämään. Kyse on implisiittisessä muodossa olevasta yhtälöstä kuten F(x, y) = x2 + y2 - 25 = 0
, jota ei välttämättä aina pysty ratkaisemaan eksplisiittiseen muotoon kuten y = f(x). Ratkaisuna on differentioida yhtälö x:n suhteen, pitäen y:tä x:n funktiona jolla on derivaatta dy/dx eli lyhyemmin y'.
Esimerkiksi y2 = x ; Mitä on dy/dx ?
Differentioidaan yhtälön molemmat puolet x:n suhteen kohdellen y:tä x:n differentioituvana funktiona.
d/dx(y2) = d/dx(x) ; Huom: d/dx(y2) = 2y·dy/dx 2y·dy/dx = 1 ; Huom: d/dx(x) = 1 dy/dx = 1/(2y) ; Ratkaisu siirtämällä 2y oikealle puolelle
Toisenlaisella notaatiolla tämä ehkä selvempi:
2y·y' = 1 y' = 1/(2y)
Toinen esimerkki: Yhtälö x2 + y2 = 25
esittää ympyrää jonka keskipiste on origossa ja säteen pituus on 5. Ympyräviiva kulkee pisteen (3, -4) kautta, mikä on sen kulmakerroin eli dy/dx tässä pisteessä?
Pidämme jälleen y:tä x:n funktiona jolla on derivaatta y' eli dy/dx
d/dx(x2) + d/dx(y2) = d/dx(25) 2x + 2y·dy/dx = 0 ; Huom: vakion differentiaali on nolla dy/dx = -x/y Kulmakerroin ko. pisteessä on siten -3/-4 = 3/4
Lyhyempi notaatio lie selkeämpi:
2x + 2y·y' = 0 y' = -2x/(2y) y' = -x/y
Voidaan käsitellä myös korkeamman asteisia derivaattoja. Esimerkiksi x·y + y2 = 2·x
; paljonko on y:n toinen derivaatta y'' = d2y / dx2
; tämä vaatii differentioimaan kahdesti molemmat puolet x:n suhteen. Huomattakoon mm. että x·y on tulo jossa täytyy käyttää sääntöä D(x·y) = x' · y + x · y'
x·y + y2 = 2·x ; differentioidaan x:n suhteen y + x·y' + 2·y·y' = 2 ; differentioidaan edelleen y' + y' + x·y'' + 2 · (y')2 + 2 · y · y'' = 0
Tästä voidaan ratkaista
y' = (2 - y) / (x + 2y) y'' = -8 / (x + 2y)2