Osamurtoihin jako integroinnin yhteydessä

Edellinen Seuraava

Kaavasto on sallittu ammattikorkeakoulun matematiikan tentissä. Oheiset kuvat kertovat mitä Kaavastolla on sanottavaa osamurtoihin jako -nimisestä menetelmästä jota voi soveltaa esim. eräiden hankalahkojen lausekkeiden integroinnissa.

Ei ehkä kovinkaan valaisevaa?

Tässä on kuitenkin tarkoitus harjoitella osamurtoihin jakoa integroinnin apuvälineenä ja Kaavasto saa luvan kelvata hädän hetkellä. Kaavastoon insinööriopiskelija tarrautuu uusintatentissä kuin hukkuva oljenkorteen. Ei ole tarpeen eikä järkevää opetella ulkoa sitä minkä voi katsoa Kaavastosta. Osamurtoihin jaon tekniikan opettelussa on tavalliselle sällille aivan riittävästi haastetta.

Tämä menetelmä ei sisälly normaaliin perustason insinöörimatikkaan, mutta tarunhohtoista DI-titteliä tavoittelevan olisi syytä tutustua siihen. Insinöörin ilme ei kehity täydelliseksi ilman tätä matemaattista apuneuvoa, vaan jää puolinaiseksi, epäuskottavaksi ja tuskantäyteiseksi irvistykseksi.

Aivan ekaksi on syytä painaa mieleensä se että osamäärän integraalille ei ole olemassa yleistä kaavaa. Monille muille tapauksille on olemassa yksinkertainen yleispätevä integroimiskaava, mutta osamäärälle ei ole eikä tule.

Toiseksi on aina varmistettava että murtolauseke on alinta mahdollista astetta ennenkuin aletaan edes miettiä osamurtoihin jakoa. Lauseke on ennen integrointia supistettava niin pitkälle kuin mahdollista. Muuten on piru merrassa. Jos osoittajan asteluku on yhtäsuuri tai korkeampi kuin nimittäjän asteluku, on ensin suoritettava jakolasku.

Antti Majaniemen insinöörikoulutuksessa suosittujen huokeahkojen vihkosten osa "Matematiikka II ; Differentiaali- ja integraalilaskentaa sekä differentiaaliyhtälöitä" sisältää melko ansiokkaan ja intuitiivisen esityksen asiasta luvussa 4. Murtofunktion integrointi.

Tässä ei kuitenkaan ole tarkoitus seurata Majaniemeä, vaan Matematiikka -modulin kurssikirjaa "Calculus - A Complete Course", Robert A. Adams & Christopher Essex ( 7. painos, 2010 ).

Tämän kupletin juoni ja kuvaelman tarkoitus on osamurtokehitelmän laatiminen. Sillä voi olla muutakin käyttöä.

Mutta ei hitto sentään, otetaan kuitenkin ekaksi eräänlaisena johdantona ja sormiharjoitteluna simppeliä murtofunktioiden integrointia Majaniemen kakkos-vihkon mukaan. Se itse asiassa oli Matematiikka-modulin kolmoskurssillakin lähtökohtana lähdettäessä samoilemaan kohti osamurtojen viidakkoa. Jenkkilähde ei välttämättä ole tässä mahdollisimman selkeä.

Murtofunktioiden perustapauksien integrointia esimerkkeinä

Merkintätavat ovat hiukan kehittelyn alla ja alkeellisia, mutta koetetaan porskuttaa.

1.
 1 / (2x + 1) dx =  dx / (2x + 1) = ½ ·  2·dx / (2x + 1) = ½ · ln|2x+1| + C

Näin kertoo Majaniemi, mutta täytyy kysyä kuin kinkereillä katekismuksesta että miten tämä selitetään. Mystillinen kuin tyhjästä integraalin eteen ilmestynyt puolella kertominen ja integrointimerkin sisään ilmestynyt kahdella kertominen kumoavat toisensa. Puoli kertaa kaksi ei muuta kokonaisuutta koska se on yhtä kuin yksi ; ½ · 2 = 1.

Otetaan käyttöön apumuuttuja t = 2x + 1 joka sisältää nimittäjän ja differentioidaan se

t = 2x + 1		// differentioidaan apumuuttuja
dt = 2 · dx		// ratkaistaan tästä dx
dx = dt / 2

Apumuuttuja t = 2x + 1 ja ratkaistu dx sijoitetaan sitten kaavaan jolloin villakoiran ydin paljastuu.

½ ·  2·dx / (2x + 1) 		// sijoitukset  dx = dt/2  ja  t = 2x + 1
½ ·  2·(dt/2) / t
½ ·  dt / t
½ ·  1/t · dt			// normaalimpi merkintätapa

Ihan peruskaava kertoo että t-1 · dt = ln|t| + C (jossa pystyviivat merkitsevät itseisarvoa), mutta täytyy vielä muistaa että t on vain apumuuttuja ja mitä se merkitsee. On sijoitettava se arvo jonka t korvasi. Niinpä lopullinen tulos on tuo alussa ilman kummempia perusteluja esitetty ½ · ln|2x+1| + C

2.
 dx / (2x + 1)3 = ½ ·  (2x + 1)-3 · 2 dx

Tässä on aluksi sama puolella ja kahdella kertominen joka ei muuta tulosta. Tästä muodosta huomaamme tietysti oitis että dx:n kerroin 2 on sisäfunktion (2x + 1) derivaatta. Voimme soveltaa apumuuttujaa.

t = 2x + 1		// apumuuttuja
dt = 2 · dx		// differentioitu
dx = dt / 2

Sijoitetaan t = 2x + 1 ja dx = dt / 2

½ ·  (2x + 1)-3 · 2 · dx
½ ·  t-3 · 2 · (dt / 2)
½ ·  t-3 · dt

Sovelletaan peruskaavaa t-3 · dt = t-3+1 / (-3+1) + C = t-2 / (-2) + C ja saadaan kun vielä sijoitetaan se arvo jonka apumuuttuja t korvasi

½ ·  t-3 · dt
= ½ · t-2 / (-2) + C
= ½ · (2x + 1)-2 / (-2) + C
= - 1 / (4 · (2x + 1)2 ) + C		// sori vaan vakion C käsittelystä ...
3.
 x / (x2 + 3) · dx = ½ ·  2x / (x2 + 3) · dx =  ½ · ln (x2 + 3) + C

Puolikkaalla ja kahdella kertomistemppuilu vaan jatkuu. Apumuuttujana on nyt nimittäjästä löytyvä t = x2 + 3 joka differentioidaan ja ratkaistaan dx joka voidaan sijoittaa kaavaan.

t = x2 + 3		// apumuuttuja
dt = 2x · dx		// differentioitu
dx = dt / (2x)

Sijoituksissa käy siis näinikään koska dx kuuluu jakoviivan yläpuolelle

½ ·  2x / (x2 + 3) · dx
= ½ ·  2x · dt / (t · 2x)		// 2x supistuu pois
= ½ ·  dt / t

No tietenkin on dt / t = 1 / t · dt = t-1 · dt = ln|t| + C ja kun sijoitetaan t ja luovutaan parillisen eksponentin yhteydessä tarpeettomista itseisarvomerkeistä (plus kolmonen ei voi viedä miinukselle) niin saadaan Majaniemen esittämä lopputulos:

½ ·  dt / t
= ½ ·  t-1 · dt
= ½ · ln|t| + C
= ½ · ln|x2 + 3| + C			// Anteeksi taas C:n kohtelu

Oisko seuraava jo hiukkasen vaativampi?

4.
 dx / (x2 + 4) = ½ · arctan(x/2) + C

Lyhyestä virsi kaunis, mitäh? Apua tarjoaa Kaavaston antama kaava 1 / (x2 + a2) · dx = 1/a · arctan(x/a) + C . Tässä tapauksessa siis olisi a2 = 4 ja siis a = 2 josta se tulee suoraan

Jos tuota yrittäisi itsenäisesti ratkoa ilman kaavaston apua, niin jotenkin tulee mieleen että ympyrän kanssa tuolla tekijällä 1 / (x2 + 4) täytyy olla jotakin tekemistä.

5.
 dx / (x2 - 4) = 1/4 · ln |(x-2)/(x+2)| + C

Samantapainen mutta nimittäjän nelosen erilaisen etumerkin vuoksi ratkaisevasti erilainen tehtävä. Kaavasto tarjoaa taasen aluliisti apuaan tehtävän ymmärtämiseen: 1 / (x2 - a2) · dx = 1/2a · ln |(x-a)/(x+a)| + C ja mitäpä tuohon osaa lisätä.

Ja vielä viimeinen Majaniemen esimerkki jossa apuna on neliöksi täydentäminen:

6.
 dx / (4x2 + 4x + 5) 
=  dx / ( (2x + 1)2 + 4)

Sillä onhan (2x + 1)2 = 4x2 + 2 · 2x + 1 . Sitten lievä apumuuttuja

t = 2x + 1
dt = 2 · dx
dx = dt / 2

Sijoituksen kautta kaava muuttuu edellisen mukaisesti muotoon

 dx / ( (2x + 1)2 + 4)
=  (dt/2) / (t2 + 4)
= ½ · ½ · arctan(t/2) + C
= 1/4 · arctan ((2x+1) / 2) + C

Sitten katsotaan ihan oikeasti osamurtoja ...

Rohkea rokan syö joten kokeillaan jenkkilähteen mukaan. Polynomi Q(x) olkoon astetta n ja sen korkein termi kertoimella yksi on xn. Polynomi jakautuu alkutekijöihin kauniisti Q(x) = (x - a1)·(x - a2) · ... (x - an) . Edetään tietyillä järkevillä oletuksilla. Polynomi P(x) on alempaa astetta kuin Q(x) ja näiden osamäärä ...

P(x)   A1   A2       An

=
+
+ ... +
Q(x)   x - a1   x - a2       x - an

Tekijöiden A1, A2, ... An arvojen määrittäminen on temppu sinänsä. Majaniemenkin käyttämä keino on ehkä helpointa kuvata esimerkin avulla. Olkoon tehtävänä integroida seuraava jossa osoittaja selvästikin on jo valmiiksi alempaa astetta kuin nimittäjä.

 
x + 4 dx

x2 - 5·x + 6

Nimittäjän alkutekijät löytyvät tunnetulla kaavalla tämän toisen asteen yhtälön x2 - 5·x + 6 = 0 juurista x1 = 2, x2 = 3 eli nimittäjä jakautuu tekijöihin näin x2 - 5·x + 6 = (x - 2)·(x - 3)

Osamurtokehitelmää ja tuntemattomia A ja B voidaan lähteä ratkomaan seuraavalta pohjalta

 
x + 4   x + 4   A   B

=
=
+
x2 - 5·x + 6   (x - 2)·(x - 3)   (x - 2)   (x - 3)

Murtolausekkeet lavennetaan samannimisiksi ja lasketaan yhteen

 
A   B   A · (x - 3)   B · (x - 2)   A·x - 3·A + B·x - 2·B

+
=
+
=
(x - 2)   (x - 3)   (x - 2)·(x - 3)   (x - 2)·(x - 3)   (x - 2)·(x - 3)

Kun laskettua osoittajaa verrataan alkuperäiseen osoittajaan x + 4 , on tästä fiksusti vedettävä sellaiset johtopäätökset että A + B = 1 ja -3·A - 2·B = 4 koska x:n kerroin ja vakiotermi on saatava samoiksi kuin alkuperäisessä osoittajassa. Meillä on siis ratkaisua vaativa yhtälöryhmä

   A + B = 1
-3·A - 2·B = 4

Tämä voidaan ratkaista vaikkapa sillä perusteella että A = 1 - B joka sijoitettuna toiseen yhtälöparin yhtälöön antaa tulokseksi

 
-3·(1 - B) - 2·B = 4 
-3 + 3·B - 2·B = 4 
3·B - 2·B = 4 + 3
B = 7

Kun nyt tiedämme että B = 7 niin saamme toisen tuntemattoman A = 1 - B = 1 - 7 = -6 joten osamurtokehitelmä on siis

 
x + 4   -6   7

=
+
x2 - 5·x + 6   (x - 2)   (x - 3)

Integrointitehtävä on siis toisin sanoen muuttunut seuraavan kaltaiseksi

 
x + 4 dx = -6 + 7 dx = -6· 1 dx + 1 dx





x2 - 5·x + 6 x - 2 x - 3 x - 2 x - 3

Mikä tässä on erikoisen hienoa, on se että murtolausekkeet voidaan integroida erikseen ja osoittajissa on vain vakioita jotka voi siirtää integrointimerkin eteen. Niinpä integroinnin pystyy tekemään ihan oikeasti. Voi helposti todeta että integraalin arvo täytyy tunnetun peruskaavan mukaan olla -6·ln|x-2| + 7·ln|x-3| + C


... to be continued ...


Galleria