Kesälaitumet ja kesän projektit edessä

Edellinen Seuraava

Maire - kivisydäminen tyttö

Maire, tuo kivenkova mimmi, on muuttanut Poriin. Tapasin hänet perjantaina 09.05.2014 istuskelemassa tutulla penkillään sateisella Eetunaukiolla, Porin kävelykadun varrella.

Aukiolla oli sateesta huolimatta lujasti EU-vaalihurmosta, mutta Mairen polvea ei vielä kukaan ollut taputtelemassa. Nestepisarat Mairen kasvoilla eivät ole kyyneleitä.

Viime vuonna tapasimme Mairen Raumalla taidemuseon edustalla jutussa #228.

Maire on muuten hyvässä vedossa jalomuotoisine säärineen ja elävine silmineen, mutta hänen tukkansa kaipaisi mielestäni jo hiukan laittamista. Ja myös taideteoksen kilpi saisi olla sellainen että siitä saisi jotakin selvääkin ilman suurennuslasia ja rähmällään kadulla konttaamista.

Toukokuu on jo hyvässä vauhdissa ja kesä tulee ennenkuin arvaakaan. Kesällä on paljon tekemistä, joten ei voi jäädä pahnoilla makoilemaan.

Vladimir Putinin Pietaria,
mm. syntymäkoti nro 1.

Olen tosin selviytynyt koulun kemiasta ja metalliopista mutta en koe ansainneeni näiden aineiden hyviä arvosanoja. Kemian tentissäkin selitin elektrolyyttisen metallilla pinnoituksen väärin kun meni sekaisin sähköparin kanssa. Tulen vielä paneutumaan näihin aiheisiin paremmin.

En voi lähteä pyhiinvaellusmatkalle Pietariin, mutta mm. Mathcad-ohjelmaa aion opetella ahkerasti. Vaikka en olekaan maksullisiin ohjelmiin erikoisemmin ihastunut. Kuvittelen että hyvällä laskimella ja sellaisen käyttötaidolla pärjää vastaavissa tehtävissä ihan simona.

Jotkut ilmeisesti pitävät todennäköisyyslaskentaa ja statistiikkaa eli tilastotiedettä matematiikan kulminaatiopisteenä, mutta en voi yhtyä heidän näkemykseensä.

Veroerittelystä minun on pian tehtävä pieni juttu ennenkuin olen sujut ALV:n laskennan kanssa. Haluan esittäää miten tehdään veroerittely verokannoittain jos käytettävissä on vain laskujen verokanta ja verollinen hinta. Tällaista taitoa voi tarvita ainakin henkilö joka laatii Finvoice-verkkolaskuja. Jotkut tietokantasuunnittelijat ovat nimittäin kokemukseni mukaan sitä mieltä että verotonta hintaa ei tarvitse tallentaa kantaan, mutta tietokannassa täytyy olla esim. asiakasnumero sekä numeerisena että tekstinä ja mitä niistä saman tiedon eri esitystapaa kukakin sitten päivittää ja mitä käyttää, se on jonkun toisen murhe ja päänsärky.

Matematiikan huippu minun katsannossani on kuitenkin geometria ja 3D-grafiikka. Niiden alalla aion vielä joskus jotakin saada aikaiseksi. Näiden ei tarvitse sinänsä olla mitään erikoisen vaativia aiheita matemaattisesti.

Tieteis- ja jännityskirjallisuuden historia on kiehtova aihe. Se on kuitenkin "vain" viihdettä.



Kahta en konsanaan vaihda, mäntysuopaa ja ideaa esteettä kuvaavasta vinosta pallopeilistä

Edellä mainittu insinöörifysiikan lämpöopin ja värähtelyiden portfolion esteetön vino pallopeili ei jätä minua rauhaan. Aion laskea sille parempia tietoja. Spot-diagrammojakin myöhemmin, mutta aluksi vaan yksinkertainen meridionaalinen laskenta. Järkevä kompromissi ehkä suunnilleen olisi peilin halkaisija d = 100 mm ja aukkosuhde f/25 eli polttoväli 2500 mm.

Seuraavissa kuvissa mittasuhteet ovat havainnollisuuden saavuttamiseksi tahallisesti aivan väärin, polttoväli f pitäisi olla etäisyydellä 25 * d, eli oikeasti kaukoputki olisi hyvin pitkä suhteessa peilin halkaisijaan.

Pienihän kuvakulmasta noin pitkällä polttovälillä tulee, vaikka ilmaisin olisi kinofilmikokoa 36 mm * 24 mm, mutta tuon peilin ympärillähän voisi olla vaikkapa 5 tai 7 ilmaisinta säteittäisesti niin että yksikään ei ole toistensa valon tiellä. Ja kenties optisella akselillakin olisi pieni Newton-tyyppinen apupeili joka heijastaisi valon suorassa kulmassa sivulle tarjoten kuvan vielä yhdelle ilmaisimelle. Sellainen apupeili ei olisi muiden ilmaisinten valonsäteiden tiellä ja ehkä sen yhden apupeilin pidinkin voitaisiin järjestää niin että se ei ole muiden ilmaisinten valon edessä. Saman peilin ilmaisinten tuottamat kuvat eivät luultavasti menisi päällekkäin, mutta fiksu ohjelmisto voisi yhdistellä ilmaisinten kuvia muuttuva kuvaussuunta huomioiden ja synnyttää kuvan paljon isommasta alueesta kuin mitä yksi ilmaisin kuvaa.


Kuvittelen että tällaiselle voisi hyvinkin löytyä käyttöä esim. automaattisissa passiivissa ilmavalvonta-asemissa jotka ehkä olisivat liikuteltavalla ajoneuvoalustalla saksilavalla ja voisivat kenties maastoon verkostona noin 5 km välein sijoitettuna löytää taivaalta lämpökameralla stealth-hävittäjiä, taistelulennokkeja, taisteluhelikoptereita sekä risteilyohjuksia ja välittää tiedot hajaspektriradiolla eteenpäin. Häivehävittäjä ehkä näkyy tutkassa heikosti, mutta visuaalisesti se voisi olla helpommin havaittavissa ja tuottaahan suuritehoinen kone runsaasti hukkalämpöä jota se ei pysty minnekään piilottamaan. Infrapunasäteily tietääkseni näkyy sumussakin aika hyvin.

Vaikka kovin hidashan tuollainen f/25 optiikka olisi kuvia ottamaan. Teoriassa kuitenkin mielenkiintoinen. Tässä esitän vain yksinkertaisen virhearvion laskennan tasossa joka kulkee peilin optisen akselin ja polttotasolla hiukan sivussa sijaitsevan ilmaisimen kautta.

Valon kulkua estämättömän ilmaisimen paikka polttotasolla

Ensin on mietittävä ilmaisimen paikkaa polttotasolla. Haluamme ilmaisimen polttotasolle mahdollisimman lähelle optista akselia, mutta kuitenkin niin ettei se estä sitä peiliin saapuvaa valoa jonka on määrä peilistä ilmaisimeen heijastua. Oletamme että peiliin saapuva valo on yhdensuuntaista eli se tulee kaukaa, "äärettömyydestä". Pyöreän peilin halkaisijaa merkitään d.

Jos ajatellaan rajatapauksena vain yhtä pistettä polttotason etäisyydellä f niin matkan d/4 optisen akselin sivusta lähtevä valo heijastuu peilin keskeltä optisen akselin toiselle puolelle saman matkan d/4 päähän. Optimaalisesti muihin peilin pinnan pisteisiin samansuuntaisena (äärettömyydestä) saapuva valo heijastuisi polttotasolle samaan kohtaan. Mainittujen optisen akselin eri puolilla olevien pisteiden välillä on jo etäisyys 2 * d/4 = d/2 eli peilin halkaisijan puolikas, mutta ilmaisin ei ole pistemäinen, joten sen on oltava hiukan kauempana optisesta akselista. Ilmaisimessa luultavasti tarvitaan jäähdytys lämpökohinan vähentämiseksi mutta oletan ettei se oleellisesti kasvata ilmaisimen mittoja optisen akselin suuntaan. Toisella puolella kyllä on tilaa.

Jos kinofilmikokoisen ilmaisimen keskikohta on peilin optisesta akselista sivussa kohtisuoraan matkan d/4 + 15 mm polttovälin etäisyydellä f niin silloin ilmaisimen keskikohtaan peilin keskeltä heijastuva valo tulee optisen akselin toiselta puolelta polttovälin etäisyydellä saman matkan d/4 + 15 mm päästä. Niinpä etäisyydellä f näiden valonsäteiden väliin jää väliä 2 * (d/4 + 15 mm) joka tässä tapauksessa on 2 * (25 mm + 15 mm) = 2 * 40 mm = 80 mm (kun d = 100 mm). Samansuuntainen valonsäde joka osuu peilin yläreunaan on ilmaisimen keskikohtaa lähempänä suunnilleen matkan d/2 eli noin 50 mm, joten jos ajatellaan ilmaisimen ulkomitaksi y-suunnassa vaikkapa ±15 mm, niin väliä ilmaisimen reunaan jää 80 mm - 50 mm - 15 mm = 15 mm joka voisi ehkä riittää.

Ilmaisimen paikka täytyy kuitenkin mitoittaa sen valonsäteen mukaan joka osuu ilmaisimen alaosaan, eli lähimmäs optista akselia, koska tämä valo kulkee peiliin tullessaan lähimpää ilmaisimen reunaa. Valitaan aivan kinofilmikokoisen ilmaisimen reunalla 12 mm keskikohdan alapuolella oleva kohta. Tämä on siis optisesta akselista matkan d/4 + 3 mm päässä kun ajatellaan peilin keskeltä heijastuvaa valonsädettä. Niinpä valonsäteiden välissä on etäisyydellä f matka 2 * (d/4 + 3 mm) = 2 * 28 mm = 56 mm. Kun d/2 = 50 mm, niin tuohon jää vielä 6 mm pelivaraa joka ehkä riittäisi kinofilmikokoisen jäähdytetyn ilmaisimen reunaa varten, vaikka peilillä täytyykin voida kuvata hiukan eri suunnista tulevaa valoa.

Niinpä voinemme lähteä siitä että kinofilmikokoisen ilmaisimen keskikohta voi olla polttovälin f etäisyydellä peilistä optisesta akselista matkan d/4 + 15 mm = 40 mm sivussa ilman että ilmaisin haittaa peiliin tuleva valoa. Ilmaisimella voimme tutkia esimerkiksi kohtia joiden y-koordinaatit ovat d/4 + 5 mm, d/4 + 15 mm ja d/4 + 25 mm eli ±10 mm keskikohdan molemmin puolin. Nämä eivät ole aivan kinofilmikokoisen ilmaisimen reunalla joka olisi ±12 mm keskikohdasta. Yleensä riittää että kaukoputki piirtää tarkasti kuvan keskellä.

Laskennassa tarvittavat pallopeilin pinnan pisteet Pythagoran lauseella

Tarkastelemme pallopeiliä vain kahdessa ulottuvuudessa. Sijoitamme suorakulmaisen koordinaatiston origon peilin pinnan keskipisteeseen siten että X-akseli on optisen akselin suuntainen, positiivinen oikealle ja Y-akseli on positiivinen ylöspäin. Näin kaikki X-koordinaatit tulevat olemaan positiivisia.

Valo tulee oikealta ja heijastuu peilistä oikealle jossa ovat polttotaso ja ilmaisin. Huomattakoon että optisen akselin alapuolella Y-koordinaatit ovat negatiivisia.

Pallopeilin pinnan pisteen koordinaatit saamme ympyrän kaavan avulla. Pallopinnan kaareutumiskeskipiste on optisella akselilla etäisyydellä r = 2 * f. Peilin pinnan Y-koordinaatit voimme valita vapaasti mutta niitä vastaava X-koordinaatti täytyy laskea.

Jokaisesta peilin pinnan pisteestä on kaareutumiskeskipisteeseen sama matka r. Tämä r on hypotenuusa suorakulmaisessa kolmiossa jonka kateetteina ovat y eli peilipinnan valitun pisteen Y-koordinaatti ja r - x joka on siis kaareutumissäteen ja peilin pinnan ko. pisteen X-koordinaatin erotus.

Kun r on suorakulmaisen kolmion hypotenuusa, Pythagoran lauseen mukaan on: r2 = y2 + (r - x)2 ja peilin pinnalla valittua Y-koordinaattia vastaava X-koordinaatti voidaan ratkaista kaavalla: x = r - ( r2 - y2 )1/2 jossa eksponentti 1/2 tarkoittaa neliöjuurta ja suurin y2 on tässä pyöreän peilin halkaisijan puolikkaan mukainen (d / 2)2.

Ylläolevalla kaavalla ratkaistaan heijastuneen valon lähtöpiste peilin pinnalla (x0, y0). Peilin halkileikkaushan on symmetrinen X-akselina toimivan optisen akselin suhteen joten sama x pätee sekä arvolle y että sitä vastaavalle negatiiviselle arvolle -y.

Kulmat joissa valo tulee peiliin ja heijastuu siitä

Laskennan yksinkertaistamiseksi kulmia käsitellään tässä esimerkissä melko vapaamielisesti ja epäortodoksisesti. Suunnat täytyy ajatella talonpoikaisjärjellä. Matemaattisempikin esitystapa olisi mahdollinen, mutta jääköön myöhemmäksi. Oikeasti laskenta pitäisi tehdä vektoreilla ja suuntakosineilla.

Valo heijastuu peilistä siten että tuleva valonsäde ja heijastuva valonsäde muodostavat yhtä suuren kulman peilin pinnan normaalin (pintaa vasten kohtisuoran suunnan) kanssa, mutta ovat sen eri puolilla. Niinpä tarvitsemme tiedon peilipinnan normaalin suunnasta niissä peilin pisteissä joista heijastuvaa valoa tutkimme.

Peilin keskipiste on erikoisen helppo tapaus koska peilipinta on siinä pystysuorassa ja siis kohtisuorassa optista akseli vasten. Niinpä peilin keskipisteestä valo heijastuu optiseen akseliin nähden samansuuruisessa kulmassa kuin missä se peiliin tulee.

Peilin keskeltä polttovälin etäisyydelle x = f ilmaisimen pinnan koordinaattiin y tuleva valo täytyy tulla kulmassa θ jolle pätee tan(θ) = y / f eli siis tavanomaisella merkintätavalla kulma saadaan käänteisellä tangentilla θ = tan-1(y / f). Kun pinta on peilin keskellä pystysuora, on myös valon tulokulma peiliin saman suuruinen (joskin oikeastaan kulman etumerkki pitäisi olla erilainen matemaattisesti ajatellen, mutta suunnat ajattelemme tässä vain maalaisjärjellä).

Pallopeilin pinta on kaikkialla kohtisuorassa kaareutumiskeskipisteeseen osoittavaa janaa vasten. Kaareutumiskeskipiste on etäisyydellä r = 2 * f. Niinpä pinnan normaalin suuntaa edustavan kulman saamme ympyrän kaarelta kaavalla sin(θ) = y / r eli kulma ratkaistuna käänteisellä sinillä θ = sin-1(y / r)

Seuraavaksi tarvitaan sitä talonpoikaisjärkeä. Tarkoitus on päätellä missä kulmassa heijastunut valonsäde lähtee peilin pinnalta optiseen akseliin nähden. Jokaisessa tapauksessa valo tulee peiliin kaukaisuudesta siinä samassa kulmassa joka saadaan peilin keskipisteen ja ilmaisimella tähdätyn kohdan mukaan (koska ajattelemme äärettömyydessä olevaa kohdetta).

Tässä lienee yksinkertaisempaa ajatella kaikki kulmat samanmerkkisiksi, positiivisiksi. Negatiivista kulmaa tarvitsemme vasta sitten kun täytyy ottaa kulman sini. Itseisarvoltaan samansuuruisten negatiivisten ja positiivisten kulmien kosinit ovat samoja. Joten ajatellaanpa kulmat toistaiseksi positivisiksi ja oikeasta etumerkistä pidetään kirjaa vain sillä kulkeeko valo yläviistoon vaiko alaviistoon.

Peilin keskeltä ilmaisimen keskelle valo tulee optisen akselin suhteen kulmassa θ jolle pätee tan(θ) = (d/4 + 15 mm) / f. Ilmaisimen yläosaan 10 mm keskikohdasta ylös valo tulee kulmassa jolle tan(θ) = (d/4 + 25 mm) / f ja ilmaisimen alaosaan 10 mm keskikohdasta alas tan(θ) = (d/4 + 5 mm) / f. Tämä siis pätee peilin keskeltä heijastuvalle valolle jonka alkuperäinen tulokulma oikealta on samansuuruinen (joskin erisuuntainen).

Muissa peilin kohdissa täytyy harkita myös pinnan normaalin suuntaa. Valo tulee peiliin aina ilmaisimen alapuolelta, joten se heijastuu pinnan normaaliin nähden ylöspäin, kuten kuvasta näkyy. Peilin yläreunasta valo heijastuu alaviistoon optiseen akseliin nähden, mutta tällöinkin se kuitenkin heijastuu yläviistoon pinnan normaaliin nähden.

Peilin alareunaan osuva valo heijastuu oikealle kulmassa joka saadaan laskemalla yhteen normaalin suuntakulma N ja valon suuntakulma normaaliin nähden S + N. Kulma S on valon alkuperäinen tulokulma ko. tapauksessa. Kulma N on se kulma jossa ko. piste peilin pinnalla näkyy pallopinnan kaarevuuskeskipisteeseen. Normaalin suuntaa edustava kulma N on siis otettava kahteen kertaan että saadaan se kulma jossa heijastunut valo lähtee pinnalta optisen akselin suhteen. Alareunalla lähtökulma on optisen akselin suhteen siis φ = N + S + N = 2 * N + S

Peilin yläreunalla pinnan kaarevuuden suunta on erilainen optiseen akseliin nähden, joten heijastuneen valon laskentatapakin on erilainen. Pinnan normaali osoittaa eri suuntaan. Valonsäde tulee normaaliin nähden kulmassa S - N kun S > N.

Jos valo heijastuu alaspäin optisen akselin suhteen niin heijastunut valo lähtee alaviistoon kulmassa joka on määrällä S - N pienempi kuin N eli φ = N - ( S - N ) = 2 * N - S. Matemaattisemmin voisi ajatella myös että kulma on negatiivinen koska valo liikkuu alaviistoon optisen akselin suhteen.

Kuitenkin lähempänä peilin keskustaa heijastunut valo lähtee peilin yläosassakin yläviistoon kulmassa φ = S - 2 * N koska tuleva valo muodostaa pinnan normaalin kanssa kulman S - N ja heijastuva valo lähtee pinnan normaalin toiselle puolelle samassa kulmassa muodostaen optisen akselin kanssa pinnan normaalin suuntakulmaa pienemmän kulman φ = S - N - N = S - 2 * N.

Kulmien etumerkkien käsittely tässä kieltämättä on puutteellinen, mutta koetan nyt kuitenkin viedä tämän harjoituksen näillä talonpoikaisjärjen mukaisilla konsepteilla läpi, vaikka naama vinossa jos on tarpeen.

Harjoituksen vuoksi ajatellaan peilin pinnan pistettä jossa y0 = +25 mm eli neljäsosa peilin halkaisijasta keskikohdasta ylöspäin. Tässä pinnan normaali tekee N = sin-1(25/5000) = 0,28648° kulman optisen akselin kanssa ja normaali osoittaa alaviistoon. Ilmaisimen yläosaan kohtaan y = d/4 + 25 mm heijastuvaksi tähdätty valonsäde tulee peilin tähän pisteeseen alaviistosta optiseen akseliin nähden kulmassa S = tan-1(50/2500) = 1,14576°. Normaalin ja saapuvan valonsäteen välillä on siis S - N = 0,85928° kulma. Heijastunut valonsäde lähtee pinnan normaaliin nähden saman suuruisessa kulmassa yläviistoon ja tuon kulman suuruus optiseen akseliin nähden on ... hmmm ... (luvun etumerkki sivuuttaen) ... N - ( S - N ) = 0,57280° yläviistoon.

Peilin samasta pisteestä kohtaan 10 mm ilmaisimen keskikohdan alapuolelle tähdätty valo tulee kulmassa S = tan-1(30/2500) = 0,68752° alaviistosta. Normaaliin nähden kulmaksi muodostuu S - N = 0,40104° joten yläviistoon tämäkin optisen akselin suhteen lähtee kulmassa 0,11456°.

Ajatellaanpa sitten peilin yläreunan pistettä jossa y0 = +50 mm. Tuossa pinnan normaali tekee kulman N = sin-1(50/5000) = 0,57297° optisen akselin suhteen alaviistoon. Ilmaisimen yläosaan tähdätty säde tulee optisen akselin suhteen tutussa kulmassa S = tan-1(50/2500) = 1,14576° alaviistosta. Normaaliin nähden valonsäteellä on siis kulma S - N = 0,57279°, joten heijastunut säde ilmeisesti lähtee kulmassa 0,00018° oikealle alaviistoon. Tämä kulma lienee parasta merkitä negatiiviseksi sini-funktiota käytettäessä koska negatiivisen kulman sini on negatiivinen.

Huh-huh. Kulmien päättely tällä tavalla on sen verran työlästä että tätä tyyliä tuskin enää jatkan.

Pientä kaavojen yhteenvetoa kulmien laskennasta

Yritänpä tässä vielä esittää hiukan takkuisen kulmien laskennan mahdollisimman selkeästi.

Ensinnäkin missä kulmassa θ optisen akselin suhteen tulee "äärettömyydestä" se yhdensuuntainen valo jonka on määrä osua polttotasolla eli x-koordinaatissa f ilmaisimelle tiettyyn y-koordinaattiin, eli pisteeseen (f, y)? Tämä kulma riippuu koordinaatista y ja polttovälistä f. Ilmaisimen jokaista tutkittavaa y-koordinaattia varten lasketaan oma kulmansa, valon tulokulma θ. Havainnollisuuden vuoksi ajattelemme että valo tulee oikealta alaviistosta.

θ = tan-1( y / f )     { jatkossa tämä kulma on S }

Toiseksi haluamme tietää jokaiselle tutkittavalle peilin pinnan pisteelle sen kulman jonka pinnan normaali siinä kohdassa muodostaa optisen akselin suhteen. Tämän kulman voimme ratkaista peilipinnan kaareutumissäteen r ja valitun pisteen y-koordinaatin avulla. Jokaiselle tutkittavalle peilin pinnan pisteelle tarvitaan oma arvo, mutta kulmat ovat symmetrisiä optisen akselin eri puolilla jos huomioidaan erikseen kulman etumerkki.

θ = sin-1( y / r)     { jatkossa tämä kulma on N }

Sitten pitäisi edelläolevien kulmien avulla päätellä jokaiselle peilin pinnan tutkittavan pisteen ja ilmaisimen pinnan tutkittavan pisteen yhdistelmälle missä kulmassa φ optisen akselin suhteen heijastunut valo lähtee peilin pinnalta kohti polttotasoa. Merkitään harkittavia kulmia seuraavasti:

  • S = kulma jossa yhdensuuntainen valo tulee peiliin optisen akselin suhteen.
  • N = kulma jonka peilipinnan normaali tutkittavassa pisteessä muodostaa optisen akselin kanssa.

    Alhaalta ylöspäin lähtien äkkiseltään tulee mieleen neljä erilaista tapausta peilin pinnan y-koordinaatin mukaan:

    1. Peilin ylöspäin kuperassa alaosassa kulmat summataan φ = 2 * N + S
    2. Peilin pystysuorassa keskiosassa y0 = 0, normaalin suunta N = 0 ja kulma on yksinkertaisesti φ = S
    3. Peilin alaspäin kuperassa yläosassa on N aluksi pieni ja φ = S - 2 * N
    4. Peilin ylälaidassa 2 * N kasvaa suuremmaksi kuin S ja kulma φ muuttuu oikeastaan negatiiviseksi, mutta jos tyydytään siihen tietoon että heijastunut valo kulkee alaviistoon kun 2 * N > S, voi kulman ilmaista : φ = 2 * N - S

    Kulmien etumerkit täytyy siis tässä hanskata erikseen, maalaisjärkeä käyttäen. On hahmotettava kulkeeko valo yläviistoon vaiko alaviistoon. Kolmessa ensimmäisessä kohdassa oikealta alaviistosta tuleva valonsäde heijastuu peilistä yläviistoon oikealle. Viimeisessä kohdassa valo heijastuu alaviistoon optisen akselin suhteen.

    Ja näkeehän heijastuneen valon lähtöpisteen ja ilmaisimella tähtätyn pisteen Y-koordinaatteja vertailemallakin yleensä sen pitäisikö kulman φ olla positiivinen vaiko negatiivinen. Jos heijastunut valo lähtee peilistä korkeammasta Y-koordinaatista kuin mihin sen pitäisi ilmaisimella osua niin kulmahan täytyisi olla negatiivinen koska valon pitäisi lähteä alaviistoon.

    Vielä ennen varsinaista valonsäteen kulun laskentaa on hyvä myös ratkaista jokaiselle tutkittavalle peilin pinnan pisteelle y-koordinaattia vastaava x-koordinaatin arvo eli heijastuneen valon lähtöpisteiden koordinaatit (x0, y0). Tässä tarvitaan pallopeilin pinnan kaareutumissädettä r ja ko. pisteen y-koordinaattia sekä neliöjuurta joka tässä esitetään potenssiin puoli korottamisena.

    x0 = r - ( r2 - y2 )1/2 
    

    Peilipinnan X-koordinaatit ovat symmetrisiä optisen akselin suhteen joten riittää kun laskee vain yhdelle puolelle ja kopioi arvot symmetrisesti akselin toiselle puolelle.

    Yksinkertainen kaava valonsäteen osumapisteen laskentaan

    Tässä optisessa järjestelmässä tapahtuu vain yksi valon heijastus eikä lainkaan valon taittumista, joten osumapiste ilmaisimen pinnalla on helppo laskea käsilaskunakin sitten kun valonsäteen lähtökulma φ peilin pinnalta optisen akselin suhteen on ratkaistu.

    Peilin pinnan pisteeseen (x0, y0) osuva valonsäde kulkee oikealle kulmassa φ kohti polttotasoa ja ilmaisimen pintaa joka on X-koordinaatissa f. Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa olkoon c

    Heijastunut valo lähtee siis pisteestä (x0, y0) kulmassa φ optisen akselin suhteen ja saapuu perille kun sen X-koordinaatti on polttotason mukainen f.

    x0 + c * cos(φ) = f        
    
    (tästä ratkaistaan hypotenuusa c:)
    
    c = ( f - x0 ) / cos(φ)
    

    Kun hypotenuusa c on ratkaistu, saadaan valon osumapisteen Y-koordinaatti ilmaisimen pinnalla:

    y = y0 + c * sin(φ)
    

    Tätä verrataan "oikeaan" osumakohtaan ja lasketaan kuvausvirhe Δy

    Δy = yoikea - y
    

    "Oikea" osumakohta on ilmaisimen se y-koordinaatti jonka mukaan valon alkuperäinen tulokulma heijastuksena peilin keskeltä on ratkaistu.

    Tuloksena karkeita arvioita vinon peilin kuvausvirheelle

    Kulmien etumerkkien kanssa joutuu hiukan temppuilemaan, mutta kun peilin pisteet (x0, y0) ja kulmat φ on selvitetty niin laskenta käy kuin tanssi näillä kaavoilla :

    c = ( f - x0 ) / cos(φ)
    y = y0 + c * sin(φ)
    

    Virhe Δy polttotasolla likimääräisesti d = 100 mm, f/25 pallopeilillä vinosti kuvattaessa
    ( f = 2500 mm, r = 2 * f = 5000 mm)
    Ilmaisimen yläosa Ilmaisimen keskikohta Ilmaisimen alaosa
    y = d/4 + 25 mm = 50 mm
    Valon tulokulma S = 1,1458°
    y = d/4 + 15 mm = 40 mm
    Valon tulokulma S = 0,9167°
    y = d/4 + 5 mm = 30 mm
    Valon tulokulma S = 0,6875°
    Peilin ylä-reuna
    y0 = +50 mm
    x0 = 0,2500 mm
    Pinnan N = -0,5730°
    φ = -0,0002°
    y = 49,991 mm
    Δy = -0,009 mm
    φ = -0,2293°
    y = 39,996 mm
    Δy = -0,004 mm
    φ = -0,4585°
    y = 29,996 mm
    Δy = -0,004 mm
    Peilin
    y0 = +25 mm
    x0 = 0,0625 mm
    Pinnan N = -0,2865°
    φ = 0,5728°
    y = 49,993 mm
    Δy = -0,007 mm
    φ = 0,3437°
    y = 39,997 mm
    Δy = -0,003 mm
    φ = 0,1145°
    y = 29,996 mm
    Δy = -0,004 mm
    Peilin
    y0 = 0,0 mm
    x0 = 0,0000 mm
    Pinnan N = 0,0000°
    φ = 1,1458°
    y = 50,002 mm
    Δy = +0,002 mm
    φ = 0,9167°
    y = 40,002 mm
    Δy = +0,002 mm
    φ = 0,6875°
    y = 29,999 mm
    Δy = -0,001 mm
    Peilin
    y0 = -25 mm
    x0 = 0,0625 mm
    Pinnan N = 0,2865°
    φ = 1,7188°
    y = 50,017 mm
    Δy = +0,017 mm
    φ = 1,4897°
    y = 40,013 mm
    Δy = +0,013 mm
    φ = 1,2605°
    y = 30,007 mm
    Δy = +0,007 mm
    Peilin ala-reuna
    y0 = -50 mm
    x0 = 0,2500 mm
    Pinnan N = 0,5730°
    φ = 2,2918°
    y = 50,042 mm
    Δy = +0,042 mm
    φ = 2,0627°
    y = 40,032 mm
    Δy = +0,032 mm
    φ = 1,8335°
    y = 30,021 mm
    Δy = +0,021 mm
    Pisteen kuvan suurin hajonta : 51 μm 36 μm 25 μm

    Onko kulmien esitys neljällä asteen desimaalilla riittävän tarkka vai pitäisikö laskea peräti viidellä desimaalilla? Hmm hmmm hmmmm. Laiskuus voittaa?

    Noh, jos kuitenkin vielä tarkistuksen vuoksi yrittäisi asteen viidellä desimaalilla laskien, koska tämä menetelmä käyttää pienten kulmien kosinia ja esimerkiksi 1,0° ja 1,001° kulmien kosineissa on eroa vasta seitsemännessä desimaalissa. Ja kulmien 1° ja 1,0001° kosinit eroavat vasta kahdeksannessa desimaalissa. Hirmuista, sanoisi J.K.Paasikivi? Pienten kulmien kosineiden käyttäminen tällä tavalla ei oikeastaan taida olla oikein järkevää vaikka laskin esittääkin 10 desimaalia ja mahdollisesti sisäisesti laskee vielä parilla lisädesimaalilla?

    Yksinkertainen meridionaalinen ray-trace vinosti kuvaavalle pallopeilille
    Pyöreän peilin halkaisija d = 100mm, f/25, polttoväli f = 2500mm, r = 2*f = 5000mm
    Kuvausvirhe Δy polttotasolla äärettömyydessä olevalle pistemäiselle kohteelle
    ( <== yläosa ) ILMAISIN - sivussa optiselta akselilta ( alaosa ==> )
    Tähdätty y = 50 mm
    S = 1,14576°
    Tähdätty y = 40 mm
    S = 0,91665°
    Tähdätty y = 30 mm
    S = 0,68752°
    P
    E
    I
    L
    I
    y0 = +50mm
    x0 = 0,25001 mm
    N = 0,57297°
    φ = -0,00018°
    y = 49,9921 mm
    Δy = -0,0079 mm
    φ = -0,22929°
    y = 39,9963 mm
    Δy = -0,0037 mm
    φ = -0,45842°
    y = 29,9992 mm
    Δy = -0,0008 mm
    y0 = +25mm
    x0 = 0,06250 mm
    N = 0,28648°
    φ = 0,57280°
    y = 49,9933 mm
    Δy = -0,0067 mm
    φ = 0,34369°
    y = 39,9961 mm
    Δy = -0,0039 mm
    φ = 0,11456°
    y = 29,9985 mm
    Δy = -0,0015 mm
    y0 = 0 mm
    x0 = 0 mm
    N = 0°
    φ = 1,14576°
    y = 49,9999 mm
    Δy = -0,0001 mm
    φ = 0,91665°
    y = 39,9998 mm
    Δy = -0,0002 mm
    φ = 0,68752°
    y = 30,0002 mm
    Δy = +0,0002 mm
    y0 = -25mm
    x0 = 0,06250 mm
    N = 0,28648°
    φ = 1,71872°
    y = 50,0139 mm
    Δy = +0,0139 mm
    φ = 1,48961°
    y = 40,0095 mm
    Δy = +0,0095 mm
    φ = 1,26048°
    y = 30,0063 mm
    Δy = +0,0063 mm
    y0 = -50mm
    x0 = 0,25001 mm
    N = 0,57297°
    φ = 2,29170°
    y = 50,0376 mm
    Δy = +0,0376 mm
    φ = 2,06259°
    y = 40,0274 mm
    Δy = +0,0274 mm
    φ = 1,83346°
    y = 30,0191 mm
    Δy = +0,0191 mm
    Pisteen kuvan suurin hajonta : 46 μm 31 μm 21 μm

    Paremmalla laskentatarkkuudella todellakin on tässä vaikutusta tuloksiin, vaikka ne ovatkin samansuuntaisia kuin edellä. Meridionaalisessa tasossa vain peilin alareunan kuvausvirhe on sinänsä merkittävä eli suurempi kuin 20 μm.

    Siis tuo kuvattu kohde on oikeasti periaatteessa pistemäinen ja peiliin tuleva valo on yhdensuuntaista. Hajonta kuuluisi siis ideaalisesti olla tasan nolla sädeoptiikan mukaan. Aalto-optiikka kertoo ettei hajonta voi koskaan olla tasan nolla, mutta se on eri asia. Tässä tutkitaan nimenomaan peilin vinosta kuvauksesta johtuvaa efektiä jolla ei ole aalto-optiikan kanssa mitään tekemistä.

    Pistemäisen kohteen kuvan suurin hajonta on siis peilin polttotasolla sijaitsevan ilmaisimen pinnan tietyn kohdan suurimpien positiivisten ja negatiivisten Δy -arvojen itseisarvojen summa mikrometrin tarkkuuteen pyöristettynä.

    Mitä ylläolevat tulokset käytännössä merkitsevät?

    Nämä ovat vain alustavia tuloksia. Tarkempia ja kuvaavampia tuloksia voisi laskea kunnollisella ray-tracingillä joka ei rajoitu vain yhteen tasoon, vaan tutkii myös valonsäteiden kulkua tätä vasten kohtisuorassa sagittaalisessa suunnassa. Tarkoitus on tässä vain alustavasti kokeilla millainen virhe Δy tai oikeastaan pisteen kuvan hajonta positiiviseen ja negatiiviseen suuntaan yhteensä suunnilleen voisi olla suurimmillaan.

    Selvästi suurimmat kuvausvirheet tulevat peilin alimmasta osasta joka on kauimpana ilmaisimesta. Toki täytyy muistaa että alimman osan pinta-ala on suhteellisen pieni, joten se ei merkitse lopputuloksessa kokonaisuutena niin paljon. Suurin kuvausvirhe oletettavasti tulisi kinofilmikokoisen ilmaisimen ylänurkkiin jotka ovat keskikohdasta 12 mm ylöspäin ja ±18 mm sivulle. Tuota virhettä tässä yksinkertaisessa laskentatavassa ei pysty arvioimaan.

    Jos ajatellaan että kinofilmikokoisen ilmaisimen 24 mm matkalla on vaikkapa 1000 kuvaelementtiä eli pikseliä, niin yhden pikselin mitaksi tulisi 24 * 10-3 m / 1000 = 24 * 10-6 m = 0,024 mm. Suurin kuvausvirhe ei saisi olla juurikaan tuota suurempi että ilmaisimen ominaisuudet tulisivat optimaalisesti käytetyksi hyödyksi. Muutaman millimetrin tuhannesosan suuruiset virheet ovat merkityksettömiä, mutta useampi millimetrin sadasosa koettelee jo kipukynnystä. Millimetrin kymmenesosien suuruiset virheet olisivat kauhistus. Valokuvausfilmille erotuskykynä on yleensä käytetty 0,025 mm joka aika hyvin sopii eo. kanssa yksiin.

    Kaukoputki ja ilmaisin on järkevää sovittaa yhteen siten että peili piirtää riittävän tarkasti, mutta ei tarpeettoman tarkasti. Yhden pikselin sisällä ei nimittäin ole mitään erotuskykyä, vaan yhdellä pikselillä on vain yksi arvo. Peilin ominaisuudet menevät osittain hukkaan jos sen kuvausvirheet ovat paljon pienempiä kuin ilmaisimen erotuskyky. Optimaalisesti peilin suurin kuvausvirhe ja ilmaisimen erotuskyky ovat samaa luokkaa.

    Pitkä polttoväli muistaen täytyisi kuitenkin myös tarkistaa että yhtä pikseliä vastaava kulma kohteessa ei ole paljon pienempi kuin yksi kulmasekunti, sillä ainakin kauemmas kuvattaessa sellainen lienee epärealistista ilmakehän rauhattomuuden vuoksi. Tokkopa vaan haluamme erikoisesti kuvata ilmakehän häiriöitä?

    Miten isossa kulmassa 24 mm korkea ilmaisin näkyy peilin keskipisteeseen polttotason etäisyydeltä f?

    Ilmaisimen yläreunan kulma optiseen akseliin nähden ; tan φ = (d/4 + 15 mm + 12 mm) / f, joten φ = tan-1(52 / 2500) = 1,1916°

    Ilmaisimen alareunan kulma optiseen akseliin nähden ; tan φ = (d/4 + 15 mm - 12 mm) / f, joten φ = tan-1(28 / 2500) = 0,6417°

    Kulmien erotus on 0,5499° eli noin 1980 kulmasekuntia, joten ilmaisimessa pitäisi olla tuossa suunnassa kuvaelementtejä paljon yli 2000 ennenkuin yhtä elementtiä vastaisi yhtä kulmasekuntia oleellisesti pienempi kulma. Tilanne ei sikäli vaikuta hälyttävältä koska ymmärtääkseni valolle herkimpien ilmaisinten pikselit ovat melko kookkaita ja herkkää ilmaisinta tarvitsemme jos aiomme kuvata f/25 optiikalla. Kuvaan voisi mahtua esim. täysikuu mutta ei paljon muuta. Pikkurillin paksuuden puolikas näkyy suunnilleen samassa kulmassa ojennetun käden mitan päästä.

    Ilmaisimen mitat ja sen pikseleiden koko siis oikeastaan pitäisi olla laskennan lähtökohta. Peili tehdään sellaiseksi että vaatimukset täyttyvät ilmaisimen keskiosassa tai koko ilmaisimen alueella, valinnan mukaan. Jos tarkoitus on havaita vain tietty pieni kohde (kuten kaksoistähti) niin piirtokyvyllä ilmaisimen laita-alueella ei lie suurta merkitystä, mutta pintakohdetta kuvattaessa kuvausvirhe olisi jäätävä hyväksyttävälle tasolle ilmaisimen koko alueella. Suorat viivat eivät uskoakseni näy vinosti kuvaavassa peilissä aivan suorina.

    Ja tietysti fysiikasta puheen ollen täytyy mainita että 100 mm peilillä ei muutenkaan voi edes teoriassa päästä kovin hyvään erotuskykyyn vaikka olisi miten rauhallinen ilmakehä - tai ei ilmakehää ollenkaan. Tokkopa vaan haluamme erikoisesti kuvata peilin pienehköstä koosta johtuvia optisia rajoitteita.

    Tällainen kaukoputki olisi väkisinkin melkoinen kompromissi valoa keräävän pinta-alan, valovoiman, polttovälin, ilmaisimen ja kuvakulman välillä. Yleiskäyttöiseksi astronomian kaukoputkeksi siitä ei ole. Parhaimmillaan se voisi olla visuaalikäytössä mutta korkealla sijaitseva okulaari olisi hankala koska vaatisi tikapuut. Pitkän putken jalustasta tulisi kookas ja vaativa. Portfoliossa kokeilin vinoon kuvaavia peilejä 8-tuumaista d=200 mm f/15 ja 6-tuumaista d=150 mm f/20 joilla molemmilla polttoväli on 3 metriä ; kiusallisen paljon harrastajan laitteeseen. Ne eivät tuntuneet kuvausvirheiltään kovin hyviltä, eli putken olisi ollut oltava vieläkin pitempi, mutta neljän tuuman f/20 ... f/25 peilin kanssa ehkä voisi jopa elää? Tapausta pitäisi kuitenkin ennen juryn lopullista päätöstä tutkia tarkemmin peilin ja ilmaisimen koko pinnan kattavalla ray-tracingillä ja havainnollisin spot-diagrammoin.

    Vinosti kuvaavan pallopeilin lievä parannusehdotus

    Kuvausvirheen kannalta ongelmallisin osa vinosti kuvaavassa pallopeilissä (meridionaalisessa tasossa) on se osa joka on y-suunnassa kauimpana ilmaisimesta. Jos se poistetaan niin valoa keräävä pinta-ala tietenkin pienenee, mutta kuvausvirhe jää pienemmäksi meridionaalisessa tasossa. Tätä tasoa vasten kohtisuoraa sagittaalista suuntaa tässä ei tutkita.

    Niinpä voisi lähteä 8-tuumaisesta d=200 mm pallopeilistä aukkosuhteella f/12,5 jonka polttoväli on myös 2,5 metriä ja kaarevuussäde sama 5 metriä kuin 4-tuumaisella d=100 mm f/25 peilillä.

    Kun 8-tuumaisesta sahataan alaosa pois, on jäljelle jäävän osan polttoväli edelleen 2,5 metriä, mutta suurimmat kuvausvirheet voisivat olla pienempiä vinossa kuvauksessa. Sahatun 8-tuumaisen peilin valoa keräävä pinta-ala on kuitenkin huomattavasti suurempi kuin sahaamattoman pyöreän 4-tuumaisen pinta-ala.

    Ympyrän pinta-ala kasvaa säteen neliössä, joten 8-tuumaisen pinta-ala on nelinkertainen 4-tuumaiseen verrattuna. Vaikka 8-tuumaisesta sahattaisiin puolet pois niin sen pinta-ala olisi edelleen kaksi kertaa suurempi kuin 4-tuumaisen. Eikä siitä niin paljon tarvitse sahata pois sillä kuvausvirhe jää pieneksi hiukan peilin alkuperäisen keskikohdan alapuolella.

    Olisi helppo esittää parempia peilin pinnan muotoja tähän tarkoitukseen. Pallopeili on kuitenkin helppo valmistaa ja testata, kotioloissakin. Peilipinnan päällystys ohuella ja hyvin heijastavalla alumiinikalvolla on toki operaatio sinänsä, sitä ei kannattane kotikeittiössä yrittää, vaan käyttää yritysten palveluita.

    Tässä tietenkin on kyse vain siitä millainen peilin tulisi olla. Todellisten peilien polttovälit epäilemättä hiukan vaihtelevat. Ilmaisimen kiinnityksessä täytynee olla säätömahdollisuus niin että se voidaan kalibroida optimaaliseen paikkaan. Ehkä on myös voitava fokusoida erilaisille etäisyyksille tapauskohtaisesti, varsinkin jos ei kuvata tähtitaivasta jolle ääretön etäisyys on toimiva valinta. Esimerkiksi putken lämpölaajeneminen voi myös vaatia omat temppuilunsa. Mahdollisesti myös ilmaisimen kallistuskulmaa optisen akselin suhteen pitäisi voida säätää jos hajontakuviota siten saisi hiukan pienemmäksi?

    Jaetaanpa kinofilmikokoisen ilmaisimen pystysuunta tällä kertaa 6 mm osiin jotka menevät tasan 24 mm kanssa. Peilistä voisi ehkä leikata noin 5 tuumaa eli 125 mm korkean poistamalla alareunasta 3 tuumaa. Kokeilen nyt ainakin alustavasti tällaista ratkaisua.

    d=200 mm f/12,5 peili alaosa leikattuna pois, f = 2500 mm, r = 2 * f = 5000 mm
    Meridionaalinen ray-tracing
    YLÄOSA ILMAISIN ALAOSA
    y = d/4 + 27mm = 77mm
    S = 1,76415°
    y = d/4 + 21mm = 71mm
    S = 1,62676°
    y = d/4 + 15mm = 65mm
    S = 1,48935°
    y = d/4 + 9 mm = 59mm
    S = 1,35193°
    y = d/4 + 3 mm = 53mm
    S = 1,21449°
    P
    E
    I
    L
    I
    y0=100mm
    x0=1,0001mm
    N = 1,14599°
    φ = -0,52783°
    y = 76,9776mm
    Δy = -0,0224mm
    φ = -0,66522°
    y = 70,9846mm
    Δy = -0,0154mm
    φ = -0,80263°
    y = 64,9904mm
    Δy = -0,0096mm
    φ = -0,94005°
    y = 58,9953mm
    Δy = -0,0047mm
    φ = -1,07749°
    y = 52,9989mm
    Δy = -0,0011mm
    y0=75mm
    x0=0,5625mm
    N = 0,85947°
    φ = +0,04521°
    y = 76,9722mm
    Δy = -0,0278mm
    φ = -0,09218°
    y = 70,9788mm
    Δy = -0,0212mm
    φ = -0,22959°
    y = 64,9844mm
    Δy = -0,0156mm
    φ = -0,36701°
    y = 58,9896mm
    Δy = -0,0104mm
    φ = -0,50445°
    y = 52,9936mm
    Δy = -0,0064mm
    y0=50mm
    x0=0,2500mm
    N = 0,57297°
    φ = 0,61821°
    y = 76,9728mm
    Δy = -0,0272mm
    φ = 0,48082°
    y = 70,9781mm
    Δy = -0,0219mm
    φ = 0,34341°
    y = 64,9828mm
    Δy = -0,0172mm
    φ = 0,20599°
    y = 58,9871mm
    Δy = -0,0129mm
    φ = 0,06855°
    y = 52,9908mm
    Δy = -0,0092mm
    y0=25mm
    x0=0,0625mm
    N = 0,28648°
    φ = 1,19119°
    y = 76,9817mm
    Δy = -0,0183mm
    φ = 1,05380°
    y = 70,9847mm
    Δy = -0,0153mm
    φ = 0,91639°
    y = 64,9875mm
    Δy = -0,0125mm
    φ = 0,77897°
    y = 58,9902mm
    Δy = -0,0098mm
    φ = 0,64153°
    y = 52,9925mm
    Δy = -0,0075mm
    y0=0,0000mm
    x0=0,0000mm
    N = 0,00000°
    φ = 1,76415°
    y = 76,9999mm
    Δy = -0,0001mm
    φ = 1,62676°
    y = 70,9999mm
    Δy = -0,0001mm
    φ = 1,48935°
    y = 64,9998mm
    Δy = -0,0002mm
    φ = 1,35193°
    y = 59,0000mm
    Δy = ±0,0000mm
    φ = 1,21449°
    y = 53,0001mm
    Δy = +0,0001mm
    y0 = -25mm
    x0=0,0625mm
    N = 0,28648°
    φ = 2,33711°
    y = 77,0297mm
    Δy = +0,0297mm
    φ = 2,19972°
    y = 71,0257mm
    Δy = +0,0257mm
    φ = 2,06231°
    y = 65,0219mm
    Δy = +0,0219mm
    φ = 1,92489°
    y = 59,0187mm
    Δy = +0,0187mm
    φ = 1,78745°
    y = 53,0156mm
    Δy = +0,0156mm
    Pistemäisen kohteen kuvan suurin hajonta Δymax polttotasolla: 58 μm 48 μm 39 μm 32 μm 25 μm

    Kuvausvirheen itseisarvon alle 30 μm ei sinänsä tunnu pahalta, mutta sagittaalisessa suunnassa se varmaan olisi enemmän. Sitäpaitsi kuvausvirhe on isompi kun huomioidaan esim. ilmaisimen yläosaan tulevien valonsäteiden osumapisteiden etumerkki, peilin yläosasta -28μm ja peilin alareunasta +30μm tekee hajontaa yhteensä 58μm eli yli tuplasti normiarvoon nähden. Normaali tavoite olisi suunnilleen 25μm hajonta joka tässä saavutetaan vain ilmaisimen siinä osassa joka on lähimpänä optista akselia.

    Lopullinen totuus, koko totuus ja vain totuus, voisi löytyä kunnollisesta ray-tracingistä jota seuraavassa symbolisoi muutama ote tähtivalokuvausta painottavasta kirjasta Telescope Optics. Sellainen ohjelma ei ole mitenkään ylivoimainen itsekään laatia ja HTML5:n canvas-elementillä pystyy havainnollista grafiikkaa piirtämään dynaamisesti ihan kivasti JavaScript-ohjelmalla.

    Tällainen yksinkertainen meridionaalinen ray-tracing ei siis riitä, mutta tässäkin on vielä miettimistä. Yritän ehkä vielä saada parempaa järkeä noihin kulmien laskentoihin jotka tässä ovat olleet hiukan noin niinkuin matemaattisesti epämääräisiä ja ainoastaan tässä urbanisoituvassa nykymaailmassa nopeasti niukkenevalla resurssilla - talonpoikaisjärjellä - hanskattavissa.


    Galleria