Harjakaton yksinkertaisia kattotuoleja elementtimenetelmällä

Harjoituksen aiheena on kehitellä omatoimisesti kattoristikoiden lujuusanalyysia elementtimenetelmää käyttäen. Tämä menetelmä osittain pohjautuu kirjaan Matti K. Hakala, LUJUUSOPIN ELEMENTTIMENETELMÄ (Otatieto 1980/1994, 5.painos), sen esimerkkiin 2.9.6 ja lähteessä listattuun vanhaan FORTRAN-kieliseen ELMO-ohjelmaan. Kyseisessä esimerkissä käsitellään 16-vapausasteista teräksistä ristikkokannatinta, jonka kuormat ovat suoraan solmuihin kohdistuvia pistevoimia. Tästä ristikkokannattimen laskennasta on olemassa aiempi harjoitus- ja testaus-toteutus.

Hakalan kirjan pakkosiirtymien laskentaa ei ole tässä toteutettu. Pakkosiirtymä on sellainen joka vaan toteutuu, halutaan tai ei, ja siihen on käytettävissä niin paljon voimaa kuin mitä siihen tarvitaan, vaikka kuinka paljon, kunnes vaadittu siirtymä toteutuu.

Kattotuolit ovat kuitenkin hiukkasen erilaisia. Tarkoitus on mallintaa lähinnä lumikuormaa, joten kuormitus ei voi olla pelkkä suoraan solmuun kohdistuva pistekuorma. Elementtikuormien käsittely on tässä oleellista ja ne yleensä jakautuvat koko yläpaarteen matkalle. Palkkeja tässä ovat ainakin yläpaarteet, eivätkä ne voi olla vaakasuoria, joten kuorma ei voi olla kohtisuorassa palkkeja vasten. Kehän tuet eivät voi olla aivan reunoilla, koska yläpaarteiden täytyy ulottua kantavan seinän ulkopuolelle. Kattotuolien materiaali on pientaloissa yleensä puuta eikä terästä.

Toteutus selaimessa JavaScriptiä käyttäen on toki kovin erilaista kuin lähteen FORTRAN-koodi. Grafiikkaa pyritään piirtämään HTML5 Canvas-elementille, mutta pelkkä numeerinenkin tulostus toiminee perustasolla jos grafiikka ei ole käytettävissä. Erikoisesti kuormituksen kokonaisuuden hahmottaminen on kuitenkin graafisesta tulostuksesta helpompaa. Esimerkiksi palkkien taivutusmomentista elementin alueella muodostunee melko monimutkainen käyrä koska kuorma on tässä nimenomaan elementin alueella.

Tavoitteena on hyvä analyysi joka tuottaa helposti tulkittavia tuloksia. Rakennusmateriaalin poikkileikkauksen muoto (sahatavarassa normaalisti suorakaide) ja mitat tunnetaan, joten sen pohjalta on mahdollista myös tutkia taivutusmomentin vaikutusta palkkeihin. Leikkausvoimien suhteen voitaneen myös arvioida paljonko pinta-alaa niiden turvallinen käsittely tarvitsee.

Lähdetään liikkeelle hyvin yksinkertaisesta ja edetään kohti monimutkaisempia rakenteita. Alkuperäinen idea tässä on ollut että vain yläpaarre on palkkeja ja muut elementit ovat veto-/puristus-sauvoja jotka tukevat yläpaarretta. Voisi ehkä kuitenkin kokeilla palkkeja muuallakin kuin yläpaarteessa, ainakin alapaarteessa? Perusidea on kuitenkin sellainen että rakenteessa on sekä palkkeja että sauvoja.

Räystään pituus on tässä vakio 0,5 m eli 50 cm.

Tässä ensimmäisessä kattotuolissa yläpaarre on jaettu neljään palkkielementtiin ja lisäksi on yksi vetosauva joka koettaa pitää kokonaisuuden kasassa. Vasemman kiinteän tuen paikka on aina origossa. Räystäät voivat ulottua negatiivisiin koordinaatteihin.

Palkkien ja sauvojen materiaali on toistaiseksi sama, vanha tuttu "kakkosnelonen" eli 2" x 4" puulankku pystyssä, poikkileikkauksen mitat 2 tuumaa * 4 tuumaa eli 5 cm * 10 cm.

Poikkileikkaukseltaan suorakulmaisen pystyasentoisen (pisin sivu pystyssä) palkin aksiaalinen jäyhyysmomentti eli (pinta)neliömomentti I (vaaka-asentoisen z-akselin suhteen) lasketaan kaavalla:

      b· h3
Iz =  -----
       12

Kaavassa b on poikkileikkauksen leveys ja h on sen korkeus. Kakkosnelosen lankun b = 0,05 m ja h = 0,10 m joten sille jäyhyysmomentti Iz = 4,167·10-6 m4 .

Sama lankku "lappeellaan", kun b = 0,10 m ja h = 0,05 m jäyhyysmomentti olisi vain I = 0,1042·10-6 m4 , lähes neljäskymmenesosa edellisestä, joten palkki kannattaa todella pitää poikkileikkauksen suuri mitta pystyasennossa että jäykkysominaisuuksista saadaan paras hyöty pystysuoran gravitaatiokuorman alla. Sauvan suhteen lankun asennolla ei ole väliä koska sitä ei taivuteta.

Puumateriaalin kimmomoduuli E on hiukan ongelmallinen valittava. Puumateriaalin laatu vaihtelee. Tässä on käytetty vakioarvoa E = 10·109 N/m2 = 10 GPa joka ehkä on hiukan optimistinen?

Millaista jännitystä puumateriaalin voisi odottaa kestävän? Tämäkin hiukan riippuu, mutta arvelisin että vetojännitys +100 N/mm2 eli +100 MN/m2 = +100 MPa on jo iso jännitys hyvällekin rakennuspuutavaralle. Valitettavasti puumateriaali ei kestä puristusjännitystä aivan yhtä hyvin. Uskoakseni -45 N/mm2 on hyvällekin puumateriaalille aika iso puristusjännitys.

Puristuksessa etumerkki on negatiivinen koska puristuksessa mitat pienenevät. Vedossa lankku venyy, joten mitta kasvaa ja jännityksen etumerkki on positiivinen.

Puun erilaiset kestävyydet vedossa ja puristuksessa aiheuttavat sen että tavallisissa suorakulmaisissa lankuissa puristusjännitys määrää taivutuksessa materiaalin kestävyyden. Suorakulmaisen poikkileikkauksen vuoksi neutraaliakseli on korkeussuunnassa lankun keskellä. Niinpä taivuttavan voiman alla lankun yläpinnassa on (itseisarvona) yhtä paljon puristusta kuin mitä alapinnassa on vetoa. Pinta-alojen ollessa samoja ylä- ja alapinnassa, puun kestämä puristusjännitys ylittyy ensin lankun yläpinnassa kuormaa lisättäessä. Niinpä tavallisen puutavaran suhteen sallittu puristusjännitys määrää mitoituksen.

Voisi arvella että oikeastaan on parempi että puumateriaali kestää enemmän vetoa kuin puristusta. Jos asia olisi toisin päin, jos puu kestäisikin paremmin puristusta kuin vetoa, niin silloin gravitaation kuormittaman taivutuspalkin vetojännityksessä oleva alaosa määräisi palkin kestävyyden. Kadun miehen logiikalla voisi ajatella että lujuusominaisuuksien ylityksellä olisi tällöin helpommin katastrofaalisia seurauksia. Liian suuressa puristuksessa oleva kattopalkin yläosa ei ehkä välittömästi romahduttaisi kattoa, vaikka se menisikin hiukan kasaan, mutta liian suuressa vedossa oleva palkin alaosa ei saa lisää tukea mistään. Jos se alkaa revetä auki, niin repeämä jatkuu syvemmälle ja taipuma kasvaa, aiheuttaen suuremman jännityksen. Kattotuoli romahtaa.

Puun lujuusominaisuudet voisi ehkä käyttää paremmin hyödyksi siten että taivutuspalkin yläosa olisi poikkileikkauksessa noin kaksi kertaa paksumpi kuin alaosa, mutta on huomattava että myös neutraaliakselin paikka siirtyisi tällöin ylemmäs, eikä olisi korkeussuunnassa keskellä, koska palkin ohuempi alaosa taipuisi helpommin kuin paksu yläosa. Joka tapauksessa normaali kattotuolien rakennustavara ei ole tuollaista, joten ei kannata spekuloida sillä sen enempiä.

Veto-/puristus-sauvoissa taipumisesta ei tarvitse välittää, ainakaan jos nurjahdusta ei tarvitse pelätä puristuksessa. Vetosauvana puutavara on paremmin edukseen koska hyvä puumateriaali kestää vetoa ainakin tuplasti puristukseen nähden. Rakennuspuun syiden suunta ei tietenkään saa olla epäedullinen. Toivottavasti monimutkaisemmissakaan kattotuoleissa ei ole vaihtokuorma mahdollista, nimittäin sellainen että samassa sauvassa tai palkissa vetojännitys muuttuisi puristusjännitykseksi jossakin kuormitustilanteessa. Sellainen voisi olla kovin turmiollista pitemmän päälle. Kuormituksen määrä saa hitaasti vaihdella, vaikka mitoitus tapahtuu staattisen periaatteen mukaan, mutta kuorman suunnan vaihtelu ei ole hyvä asia.

Tietenkään emme tahdo palkkien ja sauvojen kuormituksen normaalissa käyttötilanteessa olevan lähelläkään materiaalin kestävyyden äärirajoja. Täsmällisiä puun lujuusominaisuuksia on vaikea varmuudella tietää, joten sikälikin pelivaraa on syytä jättää. Ideana on altistaa elementit sellaisille kuormille jotka aiheuttavat ainoastaan kimmoisia muutoksia, sellaisia joiden jälkeen rakenne palaa täysin entiselleen kun kuorma poistetaan. Siis ei pidä sallia sellaisia kuormituksia jotka aiheuttaisivat rakenteeseen palautumattomia muutoksia. Silloin oltaisiin selvästikin jo riskirajoilla.

Tulokset ovat toki teoreettisia ja edellyttävät että rakenne kestää ja toimii riittävän lineaarisesti. Jos jokin elementti joutuu liian kovaan kuormitukseen, ovat tulokset kokonaisuutena merkityksettömiä, sillä rakenne hajoaa, katto ei kestä vaan ehkä jopa romahtaaa alas. Rakenteen yhden elementin pettäminen helpostikin aiheuttaa muihin elementteihin runsaasti kasvavan kuormituksen joka voi rikkoa koko rakenteen. Sellaista erikoistilannetta tässä ei yritetä mallintaa. On siis ensin tutkittava elementtien jännitykset, palkkien leikkausvoimien ja taivutusmomenttien vaikutukset ennenkuin uskoo esim. laskentasolmujen siirtymiin. Tulokset voivat olla luotettavia ainoastaan jos rakenteen mikään elementti ei joudu kohtuuttomaan rasitukseen.

Tässähän kattotuolin yläpaarteeseen kohdistuu pelkästään pystysuora elementtikuorma. Kuormitus on siis oikeasti laskentasolmujen välissä. Niinpä normaalijännitys ei ole palkissa sama koko matkalla. Myös leikkausvoima ja taivutusmomentti elementin alueella ovat monimutkaisempia kuin sellaisessa yksinkertaisessa kuormitustapauksessa jossa kuormat kohdistuvat suoraan laskentasolmuihin.

Tästä äärimmäisen yksinkertaisesta kattotuolirakenteesta toivon käyvän ilmi sellaisen yleisen viisauden että loivalle katolle mahdollisimman yksinkertainen kattoristikko on huono ajatus, koska yläpaarre joutuu lumikuorman alla kovaan taivutukseen. Jyrkälle katolle tällainen hyvin simppeli rakenne saattaisi riittääkin, ainakin ellei jänneväli ole kovin iso. Loivalle katolle yläpaarretta paremmin tukeva rakenne on ehdottomasti suositeltavampi vaikka se onkin monimutkaisempi.

Tähän täytyy lisätä vielä pistekuorma keskelle pitkää palkkia vain toiselle lappeelle, niin että voi testata epäsymmetrisen kuormituksen vaikutusta. Epäsymmetrinen kuormitus voi joissakin tapauksissa aiheuttaa rakenteelle suurempia rasituksia kuin suurehko symmetrinen kuorma.

Kattorakenteiltahan edellytetään 100 kg painoisen pistekuorman kestoa. Eli katon pitäisi kaiken muu kuorman lisäksi hyvinkin kestää se että normaalipainoinen henkilö kävelee katon päällä rauhallisesti. Ja voipa kai heitä siellä olla useampikin. Tässä kuitenkin lie kyseessä enemmänkin katemateriaalin ja ruoteiden kestävyys "pistekuorman" alla.

Teräväkorkoisia korkokenkiä tuskin saa käyttää kattotöissä. Tai ei mielestäni ainakaan kannata. Niissähän voisi ehkä joissakin tilanteissa kohdistua neliösentille - tai kenties pienemmällekin pinta-alalle - sadan kilon paino. Se on jo käytännössä aika julma paine katemateriaalille, ainakin huopakatteelle ja ehkä peltilevyllekin, vaikka mahtipontisesti puhutaankin "pistevoimasta", jonka kai periaatteessa pitäisi voida kohdistua pinta-alalle joka on tasan NOLLA! Siis paine on nollaa suurempi voima jaettuna pinta-alalla joka on tasan nolla, eli ÄÄRETTÖMÄN suuri paine! Mutta se on vain näitä lujuusopin kukkasia.

Eihän "pistevoima" voi mitenkään todellisuudessa kohdistua sananmukaisesti yhteen pisteeseen. Käytännössä pistevoimalla tarkoitetaan suhteellisen pienelle pinta-alalle kohdistuvaa merkittävää kuormaa.

Numeerisen tulostuksen tiedot

Numeerisista tiedoista lie helpointa tarkistaa katon harjan painuma, joka on siis sen solmun Y-suuntainen siirtymä (toinen lokaali vapausaste) joka on katon harjalla, tässä esimerkissä se on solmu numero 3. Solmusiirtymän arvo on metreinä eli esimerkiksi Y-koordinaatin muutos -0.001 merkitsee yhden millimetrin suuruista liikettä alaspäin. Se ei vielä kuulosta kovin pahalta, mutta olisi hauska tietää millainen taivutus kohdistuu yläpaarteen keskiosaan.

Toinen helposti tarkistettava arvo on sauvaan kohdistuva vetojännitys. Sen laatu on Pascaleita eli Newtoneita sauvan poikkileikkauksen neliömillimetrin suuruiselle pinta-alalle. Esimerkiksi 1.23E+6 tarkoittaa vetojännitystä 1,23·106 Pa eli 1,23 MPa eli megapascalia. Kun hyvän puumateriaalin pitäisi vedossa kestää hyvinkin 80 MPa niin eipä tuo vaikuta mitenkään hälyttävältä. Vanhanaikaisesti ilmaisten siinä on venyttävää voimaa vain runsas kilopondin kymmenesosa sauvan poikkileikkauksen neliömillille.

Yritäpä vetää tavallinen tulitikku suoraan poikki, sitä yhtään taivuttamatta. Paljonko luulisit siihen tarvittavan voimaa? Sellainen 100 Newtonia tulitikun poikkileikkauksen pinta-alan neliömilliä kohti voisi jo riittää. Eihän se ole kuin 10 kilopondia neliömillille!

Tosin tulitikun poikkipinta-ala saattaa olla muutaman neliömillimetrin suuruinen. En ole mitannut sen tarkemmin. Tulitikkua ei kuitenkaan vedä poikki ilman apuvälineitä ihan niin helposti kuin ehkä luulisi.

Vaikka helppoahan se yksittäinen tulitikku on taivuttaa poikki. Silloin se ei kuitenkaan toimi vetosauvana, vaan se on taivutuspalkki. Palkit ovat selvästikin herkempiä taivutukselle kuin mitä sauvat ovat vedolle.

Palkkien (lokaalit) normaalivoimat, leikkausvoimat ja taivutusmomentit

Varsinainen kivinen sarka kynnettäväksi tässä on se, miten esittäisi oikein ja havainnollisesti palkkien normaalivoimat, leikkausvoimat ja taivutusmomentit.

Normaalivoiman nimi tulee siitä että se on kohtisuorassa palkin poikkileikkausta vasten, eli poikkileikkauksen normaalin suuntainen. Se on siis samansuuntainen kuin palkin pituusakseli. Se on joko palkkia venyttävä positiivinen voima tai palkkia lyhyemmäksi puristava negatiivinen voima. Leikkausvoima on kohtisuorassa palkin pituutta vasten. Tasossa leikkausvoima voi kohdistua ylös tai alas kun palkki on vaakasuorassa. Taivutusmomentti on vääntävä voima joka pyrkii taivuttamaan palkkia. Tasossa taivutusmomentti voi vääntää palkkia joko myötäpäivään tai vastapäivään. Kolmessa ulottuvuudessa tilanne on mutkikkaampi, mutta tässähän tarkastellaan vain tasokehää eli avaruudellisia ulottuvuuksia on vain kaksi.

Kuorminahan tässä on ainoastaan elementtikuormat, ei ollenkaan suoraan solmuihin kohdistuvia kuormia. Elementtimenetelmän vuoksi elementin alueella oleva kuorma täytyy laskea solmuihin, koska elementtimenetelmässä kuormien on nimenomaan oltava solmuissa silloin kun yhtälöryhmät ratkaistaan. Solmuvoimat voisi puhdistaa FEM-ratkaisun jälkeen voimavektorista, mutta enpä tiedä kannattaako, sillä globaaleissa solmuvoimissa on pelkkiä nollia koska suoraan solmuihin kohdistuvia kuormia ei ole.

Laskennallisista syistä palkit täytyy jakaa osiin, mutta onhan selvää että kattotuolin kuormaa kantava yläpaarre halutaan todellisuudessa pitää mahdollisimman yhtenäisenä. Niinpä on minusta luonnollista esittää yläpaarre vain kahdessa osassa. Kahdessa osassa siksi koska eri lappeet eivät ole samansuuntaisia. Yläpaarteen eri lappeiden esitys erikseen korostaa sitä että esimerkiksi eri lappeiden leikkausvoimat eivät ole samansuuntaisia globaalisti, vaikka ne kumpikin ovat kohtisuorassa omaa palkkiaan vasten. Palkit näes ovat ainakin hiukan erisuuntaisia. Noh, katon harjan momentithan kyllä ovat suoraan vertailukelpoisia, koska momentti ("vääntö") ei muutu koordinaatiston kierrossa.

En tiedä kuuluisiko katon harjalle välttämättä momentti yläpaarteen osien välille, mutta ei kai se haitaksikaan ole. Voisi ehkä kokeilla myös ilman momenttitukea, jolloin katon harjalla olisi "kitkaton nivel"?

Tässä olen seikkailemassa hiukan pettävällä pohjalla, kuin urheillen heikoilla jäillä. En koe saaneeni kovinkaan vankkaa opillista pohjaa näissä kysymyksissä, mutta eteenpäin rohkeasti on mentävä jos tahtoo päästä johonkin. Ja minähän haluan.

Peruslaskenta tuottaa palkeille lokaaleja tietoja kunkin alku- ja loppusolmulle. Näiden perusteella ei tunnu aivan itsestään selvältä miten kootaan koko rakenteen kuormituskuviot elementtien koko matkalle. Täytyy hiukan kokeilla ja fundeerata matkan varrella, mutta jos hyvin käy, niin perille päästään.

Toistaiseksi tässä ei ole pistevoimaa mukana, ainoastaan tasainen pintakuorma kaltevalla katolla. Ylimääräiselle momenttikuormalle en näe edes tarvetta koska katolla tuskin on sellaista itsenäistä momenttia.

Otetaanpa nöyrästi käteen surullisenkuuluisa jokaisen pikku-insinöörin (ja sellaiseksi haluavan) perusteos TEKNIIKAN KAAVASTO ja plarataan sieltä esiin LUJUUSOPPI. Kaavasto todistaa graafisen esityksen avustuksella että tasaisella kuormituksella ulokekannattimen vapaassa päässä sekä leikkausvoima että taivutusmomentti ovat nollia. Tämä on vastaava tapaus kuin katon yläpaarteen räystään pää joka on vapaasti ilmassa ilman tukea.

Palkin peruslaskenta tuottaa palkin lokaaleihin tietoihin esim. vasemman räystään päähän negatiivisen leikkausvoiman ja myös nollasta poikkeavan momentin. Ajatukseni kuitenkin on että koko palkkia ajatellen näiden täytyy räystään päässä olla nollia. Eihän juuri siellä räystään vapaassa päädyssä enää ole mitään voimaa joka yrittäisi vääntää sitä eri asentoon tai siirtää sitä jossakin suunnassa. Palkissa on kyllä ylempänä sellaisia voimia, mutta ei enää palkin vapaassa päässä.

Leikkausvoima ( Q ) on oikeastaan helpoimman tuntuinen. Tasaisella pintakuormalla palkin transversaali eli pituussuuntaa vasten kohtisuora kuorma on sama koko matkalla. Niinpä leikkausvoima muuttuu lineaarisesti. Leikkausvoiman suuruus voidaan esittää suorin viivoin. Kun pistekuormaa ei ole, muuttuu leikkausvoiman kulku ainoastaan solmuissa. Solmujen välillä leikkausvoimaa kuvaa suora viiva, koska kuormitus on tasainen koko matkalla eikä välissä ole pistekuormaa. Pistevoiman kohdalla leikkausvoimassa tapahtuisi äkillinen muutos.

Jos kuorma olisi oikeasti solmuissa, olisi palkin pituussuuntainen normaalivoima simppeli. Normaalivoima olisi silloin sama koko solmujen välisellä matkalla. Kun kuitenkin kuorma on elementtikuormaa, eli sijaitsee solmujen välissä, ei normaalivoimakaan ole sama palkin koko matkalla.

Ajatellaanpa yläpaarteen ylintä osaa, katon harjaa. Sen yläpuolella ei ole periaatteessa lainkaan lumikuormaa, mutta katon toinen lape saattaa kuormansa kanssa aiheuttaa jonkinlaisen puristavan voiman, koska katon lappeet tukeutuvat toisiinsa. Normaalivoima on oikeastaan tässä vaiheessa negatiivinen koska se pyrkii lyhentämään palkin pituutta. Normaalivoima yläpaarteessa ei siis harjalla ole nolla, mutta kuitenkin suhteellisen pieni itseisarvoltaan. Kun siirrytään alaspäin palkkia pitkin, normaalivoima muuttuu negatiivisemmaksi koska palkin matkalla on uutta lumikuormaa joka painaa palkkia hiukan kasaan pituussuunnassa. Enimmäkseen se katon pystysuora kuorma varmaankin pyrkii taivuttamaan vinoa palkkia, mutta ei nyt välitetä siitä. Palkkia vasten vaikuttava kuorman komponentti käsitellään erikseen, leikkausvoiman ja taivutusmomentin muodossa.

Palkin normaalivoima kasvaa lumikuorman johdosta negatiivisemmaksi aina tukeen saakka, jossa se saavuttaa suurimman negatiivisen arvonsa, suurimman puristusvoiman. Tuen toisella puolella on räystäs joka tavallaan roikkuu tuessa kiinni. Räystäälle mentäessä normaalivoima on aluksi jonkin verran positiivinen koska räystäällä oleva lumikuorma vetää palkkia pitemmäksi. Tuo veto kuitenkin vähenee räystään päätä lähestyttäessä koska kohdan alapuolella on vähemmän lunta. Räystään päässä palkin suuntainen veto menee nollaan koska räystään pään alapuolella ei enää ole mitään kuormaa joka venyttäisi palkkia.

Tästä on todettava että palkin normaalivoima on nolla räystään päädyssä ja suunta vaihtuu tuen kohdalla. Normaalivoiman suuruus on integroitava. Normaalivoiman käyrä solmujen välillä lienee suora viiva silloin kun kuorma on tasainen kuorma kaltevalla palkilla. Kuorman palkin suuntainen komponentti on vakio tietyllä katon kaltevuudella ja normaalivoiman suuruus muuttuu lineaarisesti palkin matkalla.

Toisen asteen käyrä (eräänlainen paraabelin osa) on tuttu taivutusmomentista. Tasaisella pintakuormalla taivutusmomentin ( Mt ) käyrä on toisen asteen käyrä. Tukien ja pistevoimien kohdalla taivutusmomentissa alkaa tapahtua muutos, mutta se ei näy aivan välittömästi. Ilmeisesti on kokeiltava yksinkertaista numeerista integrointimenetelmää lyhyellä matka-askeleella. Siitä ei tule mahdollisimman tehokasta, mutta kuitenkin tämä työ on melko kevyttä kun ei tarvitse laskea käsin, vaan kone hoitaa homman.

Periaatteessahan on suurinpiirtein niin että palkin leikkausvoima on tasaisen pintakuorman integraali ja taivutusmomentti puolestaan on leikkausvoiman integraali. Toisin päin voisi saman tiivistää niin että tasainen pintakuorma on leikkausvoiman derivaatta (matkan x suhteen) ja leikkausvoima on taivutusmomentin derivaatta. Taivutusmomentin toinen derivaatta on siis se tasainen pintakuorma josta tässä lähdetään laskeskelemaan, tai oikeastaan sen palkkia vasten kohtisuora komponentti kun kyse on leikkausvoimasta ja taivutusmomentista.

Taivutusmomentissa on laskettava eri suuntiin vaikuttavien tukireaktion ja kuorman yhteistä vääntövaikutusta. Tuen voima vaikuttaa ylös ja kuorma painaa alas. Jostakin syystä vasemmalta oikealle edeten (positiiviseen X-suuntaan) taivutusmomenttia laskettaessa kohdan vasemmalle puolelle jäävän tuen (voima eli tukireaktio suuntautuu ylös) myötäpäivään vääntävä momentti tulkitaan taivutusmomenttipiirroksessa positiiviseksi ja vasemmalla olevan kuorman (voima suuntautuu alas) vastapäivään vääntävä momentti negatiiviseksi, vaikka yleensä vastapäivään kiertyvä suunta on positiivinen ja myötäpäivään pyörivä on katsottava etumerkiltään negatiiviseksi. Tämä omituinen seikka tuli esille jo statiikan ikimuistoisessa palkkitehtävässä, eikä opettajamme K.Kivi tarjonnut siihen sen parempaa selitystä kuin ylimalkaisen dogmaattisen ex cathedra tokaisun että "Se nyt vaan on niin!"

Ja tietysti leikkausvoimien ja taivutusmomenttien kuvioissa negatiivinen suuunta on ylös ja positiivinen suunta alas, eli päinvastoin kuin yleensä. Onhan tästä kyllä se myönteinen lopputulos että taivutusmomenttipiirros likimäärin kuvaa palkin taipumista, ainakin sen suuntaa, vaikkakaan ei tarkasti kaikkia yksityiskohtia. Kuitenkin palkin taipuma ja siihen kohdistuva taivutusmomentti ovat periaatteessa eri asioita. Luulenpa etten tässä vaiheessa pyri ratkaisemaan taivutusmomentin palkkiin aiheuttaman taipuman suuruutta. Se voisi jo olla hiukan henkimaailman hommia?

Tjaah, itse asiassa selitys tuolle suuntien anomalialle löytyy helpostikin. Lähde Lujuusoppi, Karhunen-Lassila-Pyy-jne. toteaa sivulla 78 taivutuksen yhteydessä seuraavaa:

"Positiivisen kuormamomenttivektorin täytyy olla positiivisen z-akselin suuntainen eli sen kiertosuunnan on oltava xy-tasossa myötäpäivään (kuva 4.3)."

Yleisesti kiertosuunta vastapäivään halutaan ajatella positiiviseksi, mutta momentti on oikeasti eräänlainen vektoritulo ja sitä koskevat vektoritulon säännöt. Kaksi-ulotteisessa tasoesityksessä katselemme z-akselin suuntaista momenttivektoria origon suunnasta, jolloin kaksiulotteisessa esityksessä momenttivektorin positiivinen suunta tulee meille näkymään myötäpäivään positiivisena. Tämä koskee siis taivutusmomenttia ja kyse on nimenomaan momentista Z-akselin suhteen. Z-akseli ikäänkuin sojottaa näytön sisään meistä poispäin.

Olen tottunut sähköopissa siihen että kohti tulevaan vektoriin piirretään keskelle nuolen terävä kärki pisteenä ja poispäin menevään vektoriin ikäänkuin nuolen päässä olevat sulat ristinä. Ja kyllä se sääntö pätee tässäkin. Tuo Z-vektori on siis meistä poispäin suuntautuva vektori kuten ruksista ilmenee. Kyseessä on oikeakätinen koordinaatisto ja tässä tasokuvauksessa Z-akseli osoittaa origosta suoraan meistä poispäin. Momentti on vektoritulo ja sen kuuluu suuntautua näin.

Jos siitä on apua, voi ajatella että momentin positiiviset suunnat ovat samat kuin normaalin oikeakätisen kierreruuvin etenemissuunnat. Voimme tässä ajatella momentin dziisus-kantaiseksi ruuviksi jota ruuvaamme syvemmmälle dziisus-kantaisille ruuveille soveltuvalla ruuvimeisselillä myötäpäivään kiertäen. Ruuvi siis silloin uppoaa materiaaliin myötäpäivään pyörien, eli liikkuu meistä poispäin upoten näytön sisään.

Juu, onhan se hyvä pitää mielessä että momentti on oikeasti vektorisuure jolla on suuruuden lisäksi myös suunta. Tasolle kuvattaessa se vaan ei näy oikein hyvin koska monasti vektorit sojottavat pystyssä kolmannessa ulottuvuudessa.

Ylläoleva kuva samalla selittänee miksi Y-koordinaatti on tässä yhteydessä positiivinen juuri alaspäin eikä ylös, kuten tavallista. Kun X-akseli halutaan positiiviseksi oikealle niin oikeakätisessä koordinaatistossa Y täytyy kasvaa origosta alaspäin. Muuten joutuisimme katselemaan Z-akselia ja kuormamomenttivektorin luonnollista positiivista suuntaa nuolen väärästä päästä.

Haluamme esittää kattotuolin kaikkien palkkien tiedot samassa mittakaavassa niin että ne ovat suoraan vertailukelpoisia. Tämän vuoksi tiedot on laskettava ensin taulukkoihin joista voidaan etsiä suurin ja pienin arvo. Kuormituskuvion pystysuunnan asteikot skaalataan itseisarvoltaan kaikkein suurimpien kuormitusten mukaan, joten kaikki tiedot on oltava jo laskettuina ennenkuin tuloksia aletaan piirtää. Pystymittakaava on oltava selvillä ennen tietojen piirtoa.

Aivan kristallinkirkasta tämä ei vielä ole, mutta toivottavasti asia kirkastuu matkan varrella. Jos ei niin sitten jäänee tutkinto insinööri AMK tällä erää pelkäksi haaveeksi.

Voisihan esimerkiksi palkin normaalivoiman suoraan laskea myös normaalijännitykseksi, koska palkin ominaisuudet tunnetaan, mutta tässä vaiheessa olen pitänyt kaikki suureet voimina. Leikkausjännityksen laskenta vaatisi tiedon kantavasta pinta-alasta joka ei voine olla pelkkä palkin poikkipinta-ala. Suurimman taivutusjännityksen laskenta olisi vielä oma kartoittamaton alueensa. Joten jännityksiä on ehkä selvempää käsitellä erikseen.

Sauvoille en huoli tässä piirtää grafiikkaa kuormituksille, ainoastaan palkeille. Sauvassahan voi olla vain veto- tai puristusvoima ja se on tässä tapauksessa sama koko matkalla koska sauvoilla ei tässä ole elementtikuormaa.

Kuormituskuvioiden piirron ratkaisu

Kompuroin vielä hämärässä oikeaa ratkaisun loistavaa polkua etsien, mutta eiköhän se sieltä vähitellen löytyne.

Olen pitkään kuvitellut että yläpaarteen normaalivoima tasaisella elementtikuormalla olisi toisen asteen käyrä. Mutta ei kai se niin voi olla. Tasainen pintakuorma kaltevassa yläpaarteessa aiheuttaa siihen lineaarisen leikkausvoiman kohtisuorassa palkkia vasten ja myös lineaarisen normaalivoiman palkin pituussuunnassa. Ei tässä mitään ylimääräistä mystiikkaa tarvita.

Tai sikäli kyllä tarvitaan että katon harjalla yläpaarteen puoliskot tukeutuvat toisiinsa, joten vastakkainen yläpaarteen puolisko kuormineen aiheuttaa kumpaankin yläpaarteen puoliskoon jo katon harjalla nollaa suuremman puristusvoiman. Mutta normaalivoimasta myöhemmin.

Leikkausvoiman ja taivutusmomentin suhteen tässä voi mielestäni yksinkertaisesti lähteä siitä oletuksesta että katon harja on yläpaarteen palkin toinen tuki. Yläpaarteen puoliskot eivät vaikuta toisiinsa? (Vai pitäisikö miettiä myös taivutusmomenttia katon harjalla?) Tukireaktiot voi ehkä ratkaista tällä perusteella statiikasta tutulla tavalla, mutta käyttäen kuormana vain sitä rasittavan kuorman komponenttia joka on kohtisuorassa palkkia vasten. Ei siis mielestäni tarvitse vilkuilla FEM-ratkaisun elementtien solmujen lokaaleja voimia, vaan ynnätä simppelisti kuormia ja momentteja kuten statiikan palkkitehtävässä on opittu. Yläpaarteen puolisko on isostaattinen kun tukia on vain kaksi, eli tukireaktiot löytyvät tasapainoehtojen avulla suoraan. Katon harjalla ja räystään päässä yläpaarteen leikkausvoima ja taivutusmomentti ovat nollia.

Eeehhh ... hmmm, ettei vaan olisi niin että jos katon harjalla on momenttituki, niin tuo momentti pitäisi näkyä myös taivutusmomenttipiirroksessa katon harjan solmussa ... ja välillisesti myös muissa piirroksen osissa? Tässä on vielä askarreltavaa, mutta haluan oppia oikein, vähitellen. Saattaapa olla että FEM -ratkaisun lokaalit solmuvoimat on huomioitava rasituskuvioissa kautta linjan?

Jos yläpaarteen puolikasta tukisi tähän nähden uusi sauva, niin sitten se ei enää olisi isostaattinen, vaan täytyisi kehittää hyperstattisen tuennan ratkaisu koska 3-tukista tapausta ei voisi ratkaista suoraan tasapainoehtojen mukaan. Luulenpa kyllä että sellaiseen löytyy valmiita kaavoja.

Normaalivoima, juu, se on hiukkasen kinkkisempi tapaus. Yläpaarteen puolikkaat selvästikin vaikuttavat toisiinsa. Normaalivoima on nolla räystään vapaassa päässä, mutta se ei ole nolla katon harjalla, koska yläpaarteen puolikkaat kuormineen nojautuvat toisiaan vasten. Katon harjalla yläpaarteen pää joutuu kannattelemaan toisen yläpaarteen yläpäätä. Niinpä yläpaarteen normaalivoima periaatteessa alkaa katon harjalla siitä tukireaktiosta jonka se joutuu tarjoamaan katon toiselle puolikkaalle. Normaalivoima on negatiivinen jo katon harjalla ja kasvaa siitä entistäkin negatiivisemmaksi tukea kohti.

Niinpä yläpaarteen normaalivoiman suhteen tuskin voi välttyä käyttämästä apuna FEM-ratkaisun lokaaleja solmuvoimia. Räystäs tosin on helppo koska räystään vapaassa päässä normaalivoima täytyy olla nolla.

Ajattelin piirtää normalivoiman suuruuden samoin kuin muutkin, eli negatiivisena ylös ja positiivisena alas, vaikka sehän on kylläkin eriluontoinen kuin nuo muut koska voima vaikuttaa palkin pituussuunnassa.

Pieni laskelma

Kokeilenpa alustavasti laskea mittaisen jännityksen niinkin vaatimaton kuin 100 Newtonmetrin taivutusmomentti ("10 kiloa vääntämässä metrin varren päässä") aiheuttaisi kakkosnelosen laidoilla, ala- ja yläreunassa. Lankun laidat ovat keskitasosta 0,05 metrin etäisyydellä koska lankun pitkä sivu on 10 cm pitkä.

Lankun laidalla vaikuttaa väännössä voima ; kaavan mukaan momentti = 100 Nm = varsi * voima = 0,05 m * voima , joten voima = 100 Nm / 0,05 m = 2000 N lankun laidalla, dementsprechend noin 200 kp eli "200 kiloa".

Ajatellaan lankun 50 mm pitkän laidan millin paksuista kerrosta. Sen poikkipinta-ala on 50 mm2. Kun sillä pinnalla vaikuttaa 2 kN voima, niin jännityksen itseisarvo olisi peräti 2000 N / (50 mm2) = 40 N / mm2 = 40 MPa

Jos tämä laskelma meni aivan oikein, niin jo ±100 Nm taivutusmomentti kakkosnelosessa alkaisi olla vaarallisen suuri koska se synnyttää lähes puumateriaalin puristuslujuutta vastaavan jännityksen lankun laidalla. Eli pelivara olisi sillä väännöllä jo aika tarkkaan ulosmitattu.

Tämä tietää huonoja uutisia tälle äärimmäisen yksinkertaiselle kattorakenteelle hiukankin suuremmilla jänneväleillä. Materiaali pitäisi olla huomattavan järeää tai yläpaarretta täytyisi tukea koko sen pituudelta ehkä noin metrin välimatkoin, kun ajatellaan lumikuormia jotka voivat olla esimerkiksi 200 kg/m2?

Jos nyt kuitenkin uskoisi tässä yhteydessä tuon 2" x 4" puupalkin suurimman mielekkään taivutusmomentin 100 Nm kun parempaakaan tietoa ei ole.

Tässä joutuu pistämään kattotuolit 150 mm välein että edes 4 metrin jännevälillä saa kakkkosnelosen yläpaarteen taivutusmomentin pysymään jotenkuten kohtuullisella tasolla 150 kg/m2 lumikuormalla. Tjaah, luulin että taivutusmomentti olisi hyvin jyrkässä 1:1 katossa pienin mahdollinen, mutta nyt näyttää että loivemman katon (kuten 1:6) lyhyemmät palkit sittenkin kestäisivät hiukan paremmin, siis ainakin tällä äärimmäisen primitiivisellä rakenteella. Tuo 150 mm kattotuoliväli tarkoittaa 50 mm leveän palkin kanssa sitä että palkkien välissä on vain 10 cm ilmaa. Nyrkki siitä voi juuri mahtua läpi. Aika hurja puutavaran kulutus kattorakenteissa. Kolmen metrin jännevälillä kattotuoliväli voisi olla 300 mm vastaavin tuloksin. Ja kahden metrin jännevälillä katto kantaisi kunnialla hiukan suuremmankin 200 kg/m2 lumikuorman normaalilla 600 mm kattotuolivälillä.

Tosin hyvin jyrkässä katossa yläpaarretta vasten kohdistuu pienempi kohtisuora leikkausvoima kuin loivemmassa katossa samalla elementtikuormalla, mutta jyrkän katon yläpaarteesta tulee pitempi kuin loivan katon yläpaarteesta, jolloin taivutusmomentti kasvaa siinä suuremmaksi kuin loivan katon palkissa ja nimenomaan palkkiin kohdistuva taivutusmomentti on se joka tässä ratkaisee ja pitkän palkin katkaisee.

Joudun siis pyörtämään ennakkoluuloiset puheeni jyrkän katon siunauksellisuudesta ja erikoisen hyvästä lumikuorman kestosta. Ja jänneväli ratkaisee tosi paljon. Jos halutaan pitempiä jännevälejä, niin kattotuolin rakenne on oltava tätä monimutkaisempi ja yläpaarretta paremmin koko matkalta tukeva.

Tai sitten olen taaskin aivan väärässä.

Olen erehtynyt lukemattomia kertoja tässäkin projektissa, joten minulla on siitä lajista viljalti kokemusta. Minä olen suurin erehtyjä! Asterix-sarjakuvassa joku heiveröinen gallialainen (Parisiumista kotoisin oleva musikaalinen Poppix?) taisi rehennellä kauheille normanneille olevansa "suurin pelkuri" (tai niin he ainakin asian ymmärsivät), mutta minäpä olen suurin erehtyjä! On sekin jotakin.

Toisaalta leikkausvoima ei palkkia ihan niin vaan katkaise. Jos on vaikkapa leikkausvoima Q = 10 kN niin kakkosnelosen 0,005 m2 poikkipinta-alalla se aiheuttaa (keskimäärin) vain 2 MPa paineen. Jos palkki tukeutuu suurinpiirtein vastaavalle pinta-alalle niin ei pitäisi olla sen suhteen hätäpäivää.

Mutta täytyy resuneerata, koklata ja säätää lisää ... loputtomiin?

Eih helevatti ... ei voi olla noin ... lasketaanpa paremmin

On tullut järkiintymisen aika. Tarkemmin ajatellen kieltäydyn kategorisesti uskomasta että 100 Nm taivutusmomentti voisi koetella kakkosnelosen kestokykyä. Ylläoleva laskelma oli sikäli puutteellinen että siinä koko voiman ajateltiin kohdistuvan palkin yhteen reunaan pienelle alalle. Vääntö 100 Nm on vain 10 kp voima metrin varren päässä, joten ei sillä väännetä poikkileikkaukseltaan pystyasentoista kakkosnelosta solmuun, ei sitten varmana niin.

Tamperelainen lähde Lujuusopin perusteet, Outinen-Vulli, 1994, antaa palkin puhtaalle taivutukselle seuraavan kaavan, jossa σ (kreikkalainen kirjain sigma) on taivutusjännityksen itseisarvon suurin arvo:

      | Mt |
σ  =  ------
        W

Tässä W on palkin taivutusvastus joka suorakaiteen muotoiselle (leveys b ja korkeus h) palkille voidaan laskea kaavalla:

        b·h2
Wz  =  -----
         6

Tosin tässä kaavassa on kyseessä puhdas taivutus joka ei sisällä lainkaan leikkausvoimaa ko. palkin alueella, mutta voisi kuvitella että kakkosnelonen voisi kestää suuruusluokkana taivutusmomentin Mt = 2000 Nm, sillä tuolla arvolla laskien saadaan kohtuullinen suurin taivutusjännitys σ = 24 N/mm2, karkeasti puolet puumateriaalin puristuslujuudesta joka on se kriittisempi suure.

        b·h2     0,05m · (0,10m)2
Wz  =  -----  =  ---------------  =  0,00008333... m3
         6              6

      | Mt |         2000 Nm
σ  =  ------   =   --------------  =  24·106 N/m2  = 24 MPa
        W          0,000083333 m3

Vääntö 2000 Nm vastaisi tilannetta että kakkosnelosta taivutetaan siinä kestävämmässä suunnassa 200 kp voimalla metrin varren päästä. Onhan siinä aika vääntö, mutta ei se aivan mahdottomalta tunnu. Se on jännityksenä suurimmillaan vain noin 2½ kp voimaa neliömillin pinta-alalle.

Parempi kattotuolin yläpaarteen palkin jännitystilan arviointi vaatisi ainakin myös leikkausvoiman huomioinnin samalla. Uskon kuitenkin vakaasti että palkki kestää leikkausvoimaa suhteellisen hyvin. Taivutusmomentti on se ongelmallisempi.

Jos tämä laskelma on luotettava niin esimerkiksi 6 metriä voisi olla tällä primitiivisellä kattoristikkorakenteella realistinen jänneväli normaalilla kattotuolivälillä 600 mm. Toki olisi parempi jos alapaarre tukisi yläpaarteen puolikkaiden keskiosia. Ideana on lyhentää yläpaarteen tukematonta osaa. Ja ehkä vielä parempi olisi jos yläpaarteessa olisi harjan lähistöllä sauva joka yhdistää yläpaarteiden puolikkaiden ylimmät kolmasosat ja näin tukisi yläpaarretta harjan lähistöllä sekä lisäksi alapaarteessa sauvat jotka tukevat yläpaarteen puolikkaiden alinta kolmasosaa. Alapaarteessa tukisauvat eivät mielellään olisi keskellä, vaan paremminkin hiukan reunoille päin, koska alapaarretta ei kannata kuormittaa ihan keskeltä. Yläpaarteen kuormaa on helpompi kantaa lähempää alapaarteen tukipisteitä.

Yhtäkkiä laskien (todellisia kiinnittämättömiä) vapausasteita olisi vasemmanpuoleisessa rakenteessa 24 ja oikeanpuoleisessa 30 kpl, eli ei hirveästi kun ratkaisussa on käytettävissä pelkällä nauhamatriisin yläpuolella pärjäilevä tehokas matriisioperaatio. Voisi noihin vielä muutaman sauvan lisätäkin solmujen välille ilman että rakenne oleellisesti mutkistuisi. Sauvat ovat hupaa tavaraa.

Laskennallisia palkinpätkiä olisi vasemmalla 9 ja oikealla 11 kpl, vaikka käytännössä kummassakin olisi yläpaarre vain kahdessa osassa sekä lisäksi yhtenäinen alapaarre kolmantena palkkina. Muut ovat sitten sauvoja jotka kantavat ainoastaan veto-/puristusjännitystä, tässä kaiketi nimenomaan puristusta.

Nämä kattotuolirakenteet toki ovat nekin vielä käytännössä aika yksinkertaisia, mutta luulenpa että ne riittävät minulle tavoitteiksi toistaiseksi. Minusta yläpaarre on näissä tuettu hyperstaattisesti, joten miettimistä niissäkin toistaiseksi piisaa vähintään sen mitä lääkäri määrää.

Lumikuormat, niin, niitäpä täytyy miettiä tarkkaan ...

Rakentamismääräykset sanovat kattojen lumikuormista yhtä ja toista. Rakentamismääräyksien näkemykset ovat aikojen kuluessa vaihdelleet sen suhteen millaista lumikuormaa kattorakenteiden täytyisi missäkin maan kolkassa kestää. Rakennuksen tulee täyttää omana rakentamisvuonnaan voimassa olleet määräykset. En puutu näihin virallisiin arvoihin tämän enempää. Varmuuskertoimiin on myös kiinnitettävä huomiota. Tämä ei kuitenkaan ole mikään virallisten rakentamismääräysten kokoelma.

Millaisia lumikuormat voivat oloissamme korkeintaan olla ja millaisiin lumikuormiin kattorakenteet noin tavallisen talonpoikaisjärjen kannalta tulisi mitoittaa? Tjaah, tämä on aika vaikea jury-tehtävä jos etsitään yleispätevää halvinta mahdollista ratkaisua. On toki aika mahdotonta arvata varmuudella paljonko lunta talvella sataa.

Etelä-Suomen rannikkoalueilla pääsee normaalisti lumikuormien kanssa aika helpolla. Luultavasti suurin lumikuorma vaakatasolle on rannikolla ja saaristossa noin 150 kg / m2. Harvalla ehkä on katollaan vaakaa joka suoraan ilmoittaisi lumen painon vaakasuoralle neliömetrille? Noh, lumen paksuus ei sinänsä ole kovin hyvä mittari. Lumen vesiarvo vaihtelee niin että neliömetrin alalle saman paksuisesta lumikerroksesta voi kertyä painoa aika erisuuria määriä.

Vasta sataneen kevyen pakkaslumen tiheys on noin 50 kg / m3 joten sellainen 40 cm paksu lumikerros aiheuttaisi pinta-alaa kohti painetta vain noin 20 kg / m2. Toisaalta vanha sulava lumi voi painaa 400 kg / m3 jolloin 40 cm paksu sellainen lumikerros aiheuttaisi painetta 160 kg / m2. Kevätalvella lumen tiheys voi olla suunnilleen välillä 200 - 300 kg / m3.

Sisä-Suomessa suurin lumikuorma on yleensä alle 300 kg / m2, mutta Ruotsin tunturialueilla on kuulemma jopa huikea 550 kg / m2 lumikuorma mahdollinen. Porin seudulla ja hiukan täältä sisämaahankin päin 200 kg / m2 vaikuttaa mielestäni melko uskottavalta maksimiarvolta.

Niin, mihin lopputulokseen päädymme? Ilman muuta sitä lunta kannattaa katolta poistaa mahdollisuuksien mukaan jos sitä on paljon. Tässä harjoituksen aiheena on vain teoriassa testata kattotuoli-mallin käytöstä erilaisilla kuormilla reippaassa urheiluhengessä.

Jos suomalainen katto ei kunnialla kestä 150 kg / m2 lumikuormaa, niin ei hyvältä näytä, koska sellainen voi joskus ylittyä rannikollakin. Toisaalta 300 kg / m2 lumikuorman ylitys tuntuisi jo aika rankalta täällä maan eteläisessä osassa. Lapin oloja en sen paremmin tunne.

Otetaanpa silmä käteen ja tarkastellaan solmuvoimien yhdistämistä elementtien kuormituspiirroksiin

Lähtökohtana kattotuolin palkkien leikkausvoima- ja taivutusmomentti-piirroksille voi käyttää Tekniikan kaavaston tasaisen kuormituksen tapauksia ulokepalkille ja 2-tukiselle palkin nivelkannattimelle jotka on kuvattu alla.

Kattotuolin yläpaarretta voisi pitää näiden tapausten yhdistelmänä, mutta se ei kuitenkaan välttämättä ole aivan niiden suora summa. Räystäs ei ole ihan ulokepalkki, vaan sen yhtymäkohdassa muuhun rakenteeseen on rotaatiovapausaste jonka kautta ylempänä oleva palkki voi kuormineen vaikuttaa räystääseen.

Voisi ajatella että yläpaarteen kumpikin räystään yläpuolinen osa on tuettu räystään kohdassa y-suunnassa ja katon harja on eräänlainen liukuluki joka tarjoaa toisen tukipisteen. Oikeanpuoleisessa lappeessa on kokonaisuudessa rullatuki alhaalla, mutta yksi sen tuista täytyy laskea tässä yhteydessä kiinteäksi, koska muutenhan se ei olisi staattisesti määrätty. Vaikka kattotuoli hiukan joustaa kuorman alla, niin ei se nyt sentään saa lähteä vapaasti rullailemaan pitkin teitä ja katuja.

Yläpaarteen kuormituspiirroksia piirrettäessä katson olevan pakollista ajatella katon harjaa palkin toisena tukipisteenä. Aivan ongelmatonta tämä ei kuitenkaan ole. Yläpaarteiden yläosat tukevat toinen toistaan. Kun katon harjalle lasketaan rotaatiovapausaste, niin palkit tarjoavat toisilleen harjalla momenttituen.

Voisimme ajatella että yläpaarre muodostaa seuraavan kokonaisuuden jos se yksinkertaisuuden vuoksi piirretään vaakasuoraksi:

Katon harjalla oleva solmu kuuluu kumpaankin yläpaarteen puolikkaaseen, mutta yläpaarteen puoliskoja ei kuitenkaan piirroksessa yhdistetä koska ne eivät ole samansuuntaisia.

Duoda duoda, on kuitenkin arveluttavaa voiko katon harjaa pitää lokaalissa Y-suunnassa kiinnitettynä silloin kun tarkastellaan vain yhtä yläpaarteen puolikasta. Harjahan kyllä joustaa alaspäin globaalisti joten se voinee liikkua myös lokaalissa Y-suunnassa.

Normaalivoiman suhteen tilannetta kuvaa paremmin piirros jossa kuorma on piirretty palkin suuntaiseksi, vasemmassa yläpaarteessa vasemmalle ja oikeassa oikealle suuntautuvaksi. Alapaarteen puolikkaat voisi normaalivoiman kannalta piirtää pystysuoriksi jolloin pintakuorman suunta näkyisi samana alaspäin suuntautuvana voimana kummassakin yläpaarteen osassa, mutta tässä ne kuitenkin on piirretty vaakasuoraan ja elmenttikuorma siten erisuuntaiseksi eri osissa.

Yläpaarteen puolikkaiden toisilleen tarjoama tuki täytyy jotenkin näkyä palkin normaalivoimassa koska ne nojaavat toisiaan vasten.

Mielestäni yläpaarteen kummankin osan leikkausvoimaa voi käsitellä erikseen koska yläpaarteen puolikkaat eivät leikkausvoimillaan vaikuta toisiinsa. Tukireaktiot kohtisuorassa palkkia vasten voinee ratkaista isostaattisen palkin staattisen tasapainon perusteella.

Taivutusmomentti ja normaalivoima ovat ongelmallisempia. Katon harjalla yläpaarteen osat tukevat toisiaan tukimomentilla ja normaalin suuntaisella tukivoimalla. Räystään vapaassa päässä kaikkien kuormitusten on pakko lähteä nollasta.

FEM-laskenta tuottaa globaalit solmusiirtymät, mutta niistä tässä tuskin on apua koska suoraan solmuihin kohdistuvia kuormia ei ole.

Taivutusmomentti palkin harjan puoleisessa päässä täytynee lähteä siitä tukimomentista jonka vastakkainen palkki tarjoaa.

Normaalivoima palkin harjan puoleisessa päässä alkaa siitä kuormasta jonka vastakkainen palkki kuormineen aiheuttaa palkin suunnassa. Sitä ei ilmeisesti saa suoraan lokaaleista tiedoista.

Hmmm, heetkinen, tämä on hiukan hämmentävää. Enpä enää ole niinkään varma ...

Olenpa taaskin sekoillut oikein lahjakkaasti. Täytyy pistää asiat uuteen harkintaan. Lokaalit solmuvoimat ja -momentit täytyy puhdistaa ekvivalenttivoimista.

Tulevaisuus, ah tuo suuri tuntematon

Tavoite on toki huomattavasti monimutkaisemmat kattorakenteet kuin tämä äärimmäisen yksinkertainen viritys. Pienin askelin kuitenkin yritän edetä ja yhteiset perustoiminnot ensin kuntoon. Kunhan perustoiminnot ovat vimpan päälle kondiksessa, niin helppohan kattoristikon rakennetta on sitten kehitellä monimutkaisemmaksi. Tai näin siitä voisi ainakin unelmoida.

Seuraavaksi kattotuoliin on varmaankin saatava kunnon alapaarre, eli nykyinen vetosauva muuttuu palkiksi joka tukee solmujaan momentilla. Veto-/puristus-sauvoja voi sitten vähitellen lisäillä ylä- ja alapaarteen väliin, jolloin alapaarre joutuu taipumaan tukeakseen yläpaarretta. Vapausasteita tulee vielä rutkasti lisää. Yläpaarre pärjää paremmin lumikuorman alla kun alapaarre sitä tukee.

Ihan oikeitten kattotuolien tietoja minulla ei ole, joten tämä jäänee kuitenkin vain opettavaiseksi teoreettiseksi analyysiksi. Noh, onhan sekin jotakin. On hyvä ymmärtää miksi loiva katto tarvitsee mutkikkaat kattotuolit ja saada siihen myös hiukan täsmällistä kvantitatiivista dataa pohjaksi.

Hyperstaattisesti tuettuun palkkiin ja sen tukireaktioiden laskentaan on perehdyttävä ennenkuin voin sallia kolme tai useampia tukireaktioita yläpaarteen puolikkaassa.

KESKEN, KESKEN, KESKEN ... AINA JA IKUISESTI!

Hiljaa virtaa Don ...

Arpa on itse asiassa jo heitetty 23.5. mitä tulee koulun opinnäytetyöhön. Joten tämä toiminta ei enää ole niiden kissanristiäisten piirissä. Menkööt "valmistuminen" suteen tai saveen, soromnoo. En oikein muutenkaan osaa arvostaa AMK-insinöörin tutkintoa, joten en sen saamatta jäämistä kauan jaksa surra. Lopetan oikein mielelläni ammattikorkeakoulun, mutta en koskaan hylkää tekniikkaa. Paremminkin voisi sanoa että todellisen tekniikan opiskelu vasta alkaa siitä mihin SAMK loppuu.

Kattotuolit ja FEA ovat aiheina kovin tärkeitä, joten kehittely jatkuu, ehkä hamaan maailman tappiin saakka. Olen saanut hiukan väkivaltaa käyttäen taivutusmomenttipiirroksen haluaamani muotoon. Katon harjalle mielestäni kuuluu tukimomentti joka vääntää vastaan yläpaarteen taipumista. Ajattelen että yläpaarteen puolikas on vipu jota harjan momentti vääntää toisessa päässä ja jyvitän siitä taivutusmomenttia tasaisesti koko matkalle.

Normaalijännitys on ainakin sinne päin mitä kuuluu. Valitsin tosiaankin kuormituspiirrokseen normaalijännityksen normaalivoiman asemesta, koska onhan se paljon havainnollisempi. Nyt siitä näkee että räystään normaalivoima on positiivinen eli se on pienessä vedossa ja ylemmän palkin normaalivoima on negatiivinen eli se on puristuksessa.

Problematiikkaa täytyy kuitenkin käsitellä lisää, sillä puhdistettujen solmuvoimien yhdistämisessä koulun statiikan palkkitehtävän tyyliseen piirtoon on eräitä hankaluuksia. Ennen kaikkea leikkausvoima arveluttaa. Siinä ei lainkaan näy se miten palkit harjalla nojaavat toisiinsa. On niin monta erilaista etumerkkivaihtoehtoa, eri systeemit ja eri koordinaatistoja. Hakalan ELMO-esimerkissähän ei ollut elementtikuormaa lainkaan, vain pistekuormat kahdessa solmussa. Yläpaarteen puolikkaan muodostavien samansuuntaisten palkkien lokaalien kuormituspiirrosten yhdistäminen ei ole aivan ongelmatonta. Asiaa täytyy miettiä.

Ja tietysti pitäisi vihdoin päästä käsiksi parempiin kattotuolirakenteisiin. Ja epäsymmetrisiin kuormiin. Ja parempaan dokumentaatioon.

Jatkossa harjoitettaneen kiinalaista pienten askelten politiikkaa

Kun Bulwanian Teknillinen Yliopisto nyt hallinnoi tätä sivustoa, on tullut aika järkiperäistämiselle ja saneeraukselle. Ohjelma on saatava käyttökelpoiselle tasolle. Epäselvyydet on selvitettävä perusteellisesti. Kiirettä en kuitenkaan pidä. Haluan saada tämän oikein.

Luulenpa että on syytä piirrellä elementtien jännityksiä ja muita kuormituksia aiempaa tarkemmin ja havainnollisemmin. Monissa etumerkeissä on epävarmuutta. Kattotuolissa kuuluu olla kunnon alapaarre, palkki jonka kuormitus tutkitaan. On vähitellen päästävä käsiksi huomattavasti monimutkaisempiin kattotuolirakenteisiin. On tutkittava epäsymmetristä kuormitusta.

Hyperstaattisen yläpaarteen ratkaisu saattaisi toimia vanhanaikaisellakin menetelmällä, mutta kun on olemassa FEM-ratkaisu, tunnetaan elementtien ekvivalenttivoimista puhdistetut kuormitukset ja momentit, niin - taivaan tähden - kyllähän yläpaarteen tukireaktioiden täytyy silläkin tavalla löytyä. On vaan huomioitava yläpaarteen puolikkaiden välinen kulma katon harjalla.

Katon harjaa joudun edelleen kohtelemaan eräänlaisena vivun päänä. Katon harja ei voi olla todellinen tukipiste koska sehän liikkuu kaikissa kolmessa vapausasteessa kuormituksen mukaan. Mielestäni kyseessä on eräänlainen mekanismi. En näe parempaa ratkaisua kuin se että momentti katon harjalla vääntää yläpaarretta ja tämä momentti jakautuu yläpaarteen matkalle tasaisesti säännön "voima kertaa varsi" mukaisesti.

Normaalijännitys yläpaarteessa on aiemmin mennyt väärin. Ei ole mahdollista että juuri tuen yläpuolella ja katon harjalla olisi palkissa sama puristusjännitys. Kaiken järjen mukaan yläpaarteen lumikuorman täytyy kasvattaa palkin puristusjännitystä palkkia alas tultaessa koska palkin kannettavaksi kertyy koko ajan lisää lumikuormaa palkkia pitkin alas tultaessa. Ekvivalenttivoimista puhdistetut solmuvoimat eivät kerro koko totuutta. En vaan ole tiennyt miten sen asian kanssa menettelisi.

Uskon lujasti että projekti tästä etenee kohti hyödyllisiä tuloksia, vaikka paljon onkin vielä tehtävää.

Lähteitä

... alustavasti. Lähteet ovat ehkä osittain hiukan iäkkäitä, mutta eipä haittaa tässä yhteydessä. Statiikan ja lujuusopin perusteet eivät lie kokeneet mitään vallankumousta ainakaan viimeisen öbaut 40 vuoden aikana

Hakala Matti K., 1981, Lujuusopin elementtimenetelmä, 5.painos 1994, Otatieto, Espoo

Karhunen - Lassila - Pyy - Ranta - Räsänen ym, Lujuusoppi, 1992, 6.painos, Otatieto, Helsinki

Kivi Karri, 2015, Elementtimenetelmän perusteiden luennot (ja monisteet), Kone- ja tuotantotekniikka SAMK (ei kirjaa)

Kärkkäinen Matti, 2007, Puun rakenne ja ominaisuudet, Metsäkustannus Oy, (Painettu Karisto Oy, Hämeenlinna)

Salmi Tapio, 2014, Statiikka, 4.painos, Pressus Oy, Tampere


Valaisevia kuvia yllämainitusta Kärkkäisen kirjasta:

Puumateriaalin lujuusominaisuudet eivät taida olla aivan helppo asia, mutta ym. Kärkkäisen kirja esittää mm. ylle kuvatut tiedot.

Taivutuslujuus on minulle uusi käsite, kyse ei siis ole vetolujuudesta, ja sen soveltaminen saattaa olla hiukan mutkikastakin, mutta näistä tiedoista kuitenkin vedän rohkeasti sellaisen johtopäätöksen että tavalliselta suomalaiselta rakennuspuutavaralta (mänty tai kuusi) voisi odottaa korkeintaan noin 85 MPa taivutuslujuutta ja noin 45 MPa puristuslujuutta staattisessa kuormituksessa. Parasta lie rakenteissa tyytyä korkeintaan puoleen näistä arvoista. Ja sopii myös miettiä kestävätkö liitokset.

Kattotuolin yläpaarteeseen kohdistuva taivutusmomentti vaatii joka tapauksessa minulle aivan uutta tulkintaa. Momenttihan on tunnetun säännön mukaan "voima kertaa varsi". Taivutusmomentti tunnetaan elementin kuormien ratkaisun kautta, "varsi" on puolet palkin korkeudesta (koska ajatellaan että palkin neutraalitaso on korkeussuunnassa keskellä, ainakin aluksi) ja siitä yhtälöstä voitaneen sitten ratkaista suurin "voima" palkin laidalla ja laskea jännitys eli voima jotakin suuntaa-antavaa pinta-alaa kohti ... hmmm ... paitsi että puristuslujuus ylittyy ensin, joten kaiketi puristuslujuuden täytyy olla se ratkaiseva. Niinpä 20 MPa on jo kova rasite taivutetussa elementissä. Normaalijännityksen, leikkausvoiman ja taivutusmomentin yhteisvaikutus voi myös vaatia pientä silmälläpitoa?


Myös yllämainittu Salmen statiikan kirja ansaitsee osakseen huomiota ja siitä kärsinee siteerata pari valaisevaa kappaletta ristikoista, s.246:

"Ristikon sauvojen liitokset tehtiin aikaisemmin pultti- ja niittiliitoksina. Nykyään liitokset tehdään teräsristikoilla pääasiassa hitsaamalla ja puuristikoilla käyttämällä naulalevyjä. Tällöin liitokset eivät toimi tarkalleen kitkattomien nivelten tavoin vaan ne ottavat vastaan jonkin verran momentteja.

Kuitenkin, jos ristikon sauvojen akselit leikkaavat liitoksessa samassa pisteessä, voidaan liitoksia hyvällä tarkkuudella pitää kitkattomina nivelinä."

Tämäpä seikka juuri on minua askarruttanut. Sauvojen liitokset eivät käytännössä tarkalleen ole niitä tarunhohtoisia teoreettisia "kitkatomia niveliä", miten voisivatkaan olla. Todellisuudessa ristikon sauvat käyttäytyvät kuin jonkinlainen sauvan ja palkin välimuoto? On toki ymmärrettävää ettei sauvojen nivelistä yritetä tehdä sellaisia etteikö niissä mitään momenttia sauvan asennon muuttuessa ilmenisi, sillä eihän se tuottaisi mitään lisäarvoa. Käytännön sauva kestää jonkin verran taivuttavaa voimaa, joten se ominaisuus kannattanee hyödyntää rakenteessa. Oletettavasti sauvan "palkinomaiset" rasitukset (leikkausvoima ja taivutusmomentti) jäävät kuitenkin itseisarvoltaan hyvin pieniksi normaaleissa käyttötilanteissa esim. kattotuoleissa?


Takaisin
Kattoasiat