Koetetaan ratkaista erästä tehtävää SolidWorks-nimisellä CAD-ohjelmalla 3D-piirroksena.
SolidWorks -ohjelmalla yleensä mallinnetaan "solideja" eli kiinteitä kappaleita. Tässä ei kuitenkaan ole tarkoitus luoda mitään varsinaisia kappaleita, vaan ainoastaan ratkotaan geometrista probleemaa "apugrafiikan" avulla.
Tällainen piirtäminen on tarkempaa kuin paperille piirtäminen kynän avulla koska piirroksen elementit voidaan kytkeä toisiinsa relaatioilla. Tällöin esim. kaksi pistettä todella saadaan oikeasti yhtymään eikä vain "näennäisesti yhtymään". Ohjelma huolehtii laskemisesta, me vain piirrämme.
Pystysuoran lipputangon korkeus on 9 metriä eli 9000 mm. Etelä olkoon piirroksessa vasemmalla takaviistossa. Paikkakunnan maantieteellinen leveys on 61,0°N. Origo on lipputangon juuressa.
Lipputangon ympärillä on kalteva taso joka kallistuu 10° suuntaan joka on 20° pohjoisesta itään eli myötäpäivään. Tarkoitus on kuvata lipputangon pään (keskipisteen) Auringon varjon (keskipisteen) paikkoja tällä kaltevalla tasolla.
Auringon deklinaatio ko. hetkellä on lähtökohtaisesti +1,0°, siis lähellä taivaan ekvaattoria. Jos deklinaatio olisi tasan nolla ja taso olisi vaakataso niin lipputangon nupin varjon ura päivän aikana olisi periaatteessa suora viiva idästä länteen (kun ajatellaan että Auringon deklinaatio ei muutu). Kalteva taso aiheuttaa sen että varjon urasta ei tule symmetrinen meridiaanitason suhteen. Nollasta poikkeava deklinaatio yhdessä tason kaltevuuden kanssa aiheuttaa sen että varjon ura ei ole aivan suora.
Luodaan horisonttitason sketsin avulla aputaso joka tekee etelä-pohjoinen -suunnan (eli meridiaanitason) kanssa 20° suuruisen kulman.
Tähän aputasoon sketsataan 10° kallistuma ja luodaan sille oma taso. Luotu uusi kalteva taso kulkee origon kautta eli lipputangon juuri siis sijaitsee myös ko. kaltevalla tasolla.
Seuraavaksi ryhdytään miettimään miten mallinnetaan Auringon varjo jonka lipputangon yläpää heittää.
Piirretään apugrafikkaa lipputangon yläpäähän meridiaanitasolle. Deklinaation kuvaamiseen käytettävän apuympyrän keskipiste tulee lipputangon päähän. Ympyrän halkaisijan koko ei ole kriittinen, mutta tässä se on 2000 mm.
Apuympyrälle piirretään etelän suunnalle ekvaattori 29° korkeuteen koska maantieteellinen leveys on 61°. Sitten piirretään +1° deklinaation apuviiva samansuuntaisena ekvaattorin kanssa.
Havainnollisuuden vuoksi voisimme luoda ekvaattoritason joka kulkee apuympyrän apuviivojen kautta, mutta sitä tässä ei varsinaisesti tarvita.
Haluamme ennenkaikkea luoda sellaisen tason josta voi projisoida varjopisteitä kaltevalle tasolle lipputangon yläpään kautta +1° deklinaatiosta. Tätä varten luodaan +1° apuviivan ja lipputangon huipun kautta kulkeva taso ja sille apuympyrä joka sivuaa meridiaanitason vain hiukan pienempää apuympyrää.
Oleellista on että varjoa projisoivat viivat alkavat +1,0° deklinaation tason apuympyrän kehältä ja kulkevat lipputangon yläpään (joka ei ole samassa tasossa) kautta sekä päätyvät kaltevalle tasolle. Tähän on parasta käyttää 3D-sketsiä mm. siksi että tuskin haluamme luoda omaa aputasoa jokaiselle varjon projektiopisteelle. Voi myös tulla ongelmia suoran ja tason leikkauspisteen löytämisessä.
Kuten kuvasta näkyy niin deklinaation +1,0° apuympyrä on hiukan pienempi koska se sivuaa meridiaanitason ympyrää ekvaattorin yläpuolella.
Harjoituksen vuoksi luomme deklinaation +1° tason apuympyrän kehälle 15° ja 30° tuntikulman pisteet. Aurinko liikkuu tunnissa sen 15° joten asemat ovat tunnin välein.
Emme voi tämän tason sketsissä projisoida varjoa lipputangon pään kautta koska se on eri tasossa, joten siirrymme oikeaan 3D-sketsiin ja suoritamme projisoinnin kaltevalle tasolle vasta siellä. Täytyy olla tarkkana pisteiden yhdistelyssä koska tasot eroavat niin vähän toisistaan.
Ammutaan siis suoria apuympyrän kehältä lipputangon nupin keskipisteen kautta kaltevalle tasolle. Suoran viivan toinen päätepiste saadaan yhtymään tarkasti kaltevaan tasoon kytkemällä se siihen relaatiolla.
Varjopisteet tulevat aika kauas koska Aurinko on vain noin 30° korkeuskulmassa, lipputanko on niinkin korkea ja edessä on vielä noin 10° alamäki.
Kaltevalla tasolla voidaan sitten selvittää varjopisteiden koordinaatit valitsemalla ko. piste ko. tason sketsissä ja lukemalla koordinaatit käyttöliittymästä.
Alamäkeen varjopisteet tulevat olemaan kauempana kuin ne olisivat jos maa olisi vaakatasossa. Horisonttitaso on paikallinen vaakataso. Havainnollisuuden vuoksi horisontti ja ekvaattori on kuvattu joihinkin näistä piirroksista varjopisteiden etäisyydelle saakka.
Tässä tapauksessa varjopisteiden ura on vain lievästi kaareva koska deklinaatio on niinkin pieni kuin 1°. Jos deklinaatio olisi nolla, olisi varjopisteiden ura suora viiva.
Varjopisteiden koordinaatteja kaltevalla tasolla ei ihan suoraan voi lukea käyttöliittymästä koska ohjelma näyttää pisteen valittua sen pystysuuntaisen koordinaatin joka ei ole kiinnostava. Niinpä ratkaisu kaivetaan esiin "mitoittamalla" piirrosta kaltevalla tasolla. Mitta tulee tässä automaattisesti vakioarvona koska se on geometrian ja relaatioiden määrämä.
Tässä ratkaisuna eräitä likimääräisiä varjopisteiden koordinaatteja deklinaatiolle +1° tunnin tuntikulman välein paikallisen (todellisen) keskipäivän molemmin puolin.
Tuntikulma X mm Y mm 21h -45° 18570 21312 22h -30° 20026 13235 23h -15° 21158 6482 0h 0 22160 -498 (Aurinko suoraan etelässä?) 1h 15° 23164 -7095 2h 30° 24326 -16072 3h 45° 25958 -29779
( Täytyy tunnustaa että näissä luvuissa on jotakin mitä en ymmärrä ; miksi Y-koordinaatti on tuollainen? Asiaa täytyy vielä selvitellä. )
Kaltevan tason positiivinen X-koordinaatti on tässä origosta pohjoiseen (piirroksessa lähes oikealle) ja positiivinen Y-akseli siitä vasemmalle eli länteen (piirroksessa suunnilleen poispäin meistä).
Tällaisilla etäisyyksillä lipputangon nupin halkaisija olisi syytä olla yli 100 mm että siitä riittäisi jonkinlainen varjo kaltevalle tasolle tällä suhteellisen pienellä deklinaation arvolla.
Auringon deklinaatio on tässä oletettu vakioksi mutta sitähän se ei ole. Kuvattu tilanne toteutuu likimain hiukan kevätpäiväntasauksen jälkeen (maaliskuun lopulla) ja hiukan ennen syyspäiväntasausta (syyskuun lopulla), mutta oikeasti Auringon deklinaatio muuttuu tuolloin melko nopeasti. Kovin hyviin tarkkuuksiin ei kuitenkaan käytännössä pääsisi, joten tällainen likimääräinen ratkaisu lie aivan tyydyttävä. Kolme tai neljä numeroa todellisuudessa riittää.