Astrolabin stereograafinen projektio

Tässä on tarkoitus esittää lähinnä pohjoinen tähtitaivas maapallon pohjoisella pallonpuoliskolla, Suomen leveydellä.

Stereograafisen projektion etuna on se että projisoitavan pallon pinnalla olevat ympyrät kuvautuvat aina tasolle projisoituina ympyröiksi. Tämä tekee piirtämisestä helppoa. Tarvitsee tietää vain ympyrän keskipiste ja yksi kehän piste, tai vaihtoehtoisesti kaksi kehän pistettä ja suora jolla ympyrän keskipiste sijaitsee ja näillä tiedoin ympyrä pystytään piirtämään projektiotasolle.


HUOMIO: Stereograafinen projektio esitetään tässä demossa tahallaan hiukan VÄÄRIN!
Oikeasti projektiotaso pitäisi olla kiinni projisoitavassa pallossa!
Tässä niiden väliin jätetään hiukan rakoa, havainnollisuuden vuoksi!


Seuraavassa harjoitellaan astrolabin stereograafisen projektion piirtämistä SolidWorks -ohjelmalla.

Aluksi luodaan vaakasuoraan Top -tasoon ympyrä jonka halkaisija on 300 mm. Tämä kuvaa levyn pintaa. Origo on ympyrän keskipisteessä ja samaan kohtaan tulee myös ekvaattorin napa jossa deklinaatio on +90°.

Ympyrän sisään piirretään keskipisteen kautta kulkeva apuviiva niin että se on Top -tasossa horisontaalinen, jolloin tuo apuviiva sijaitsee myös Front -tasossa. Jollakin kohdalla tällä apuviivalla tulee sijaitsemaan myös ekliptikan napa.

Top -tason alapuolelle Front-tasoon luodaan apupiirros jonka avulla mitoitetaan astrolabin rakenteet. Voimme ajatella että Top -tason alla on pallo, taivaanpallo jonka yläosan projisoimme Top -tasolle.

Front -tason apuympyrän alinta pistettä nimitetään tässä etelänavaksi ja ylintä pistettä nimitetään pohjoisnavaksi. Apuympyrä on ikäänkuin taivaanpallon poikkileikkaus siinä suunnassa joka kulkee ekvaattorin ja ekliptikan napojen kautta.

Apupiirroksen mitat riippuvat levyn mitoista. Haluamme että ekliptika mahtuu kokonaisuudessaan Top-tason ympyrän sisään, joten piirrämme Front -tason apupiirrokseen halkaisijaltaan 80 mm ympyrän niin että sen etelänapa on 90 mm etäisyydellä Top -tasosta.

Väliin jää hiukan rakoa jonka avulla varmistetaan että piirros tulee oikein navan lähellä. (Vaikka ihan aikuisten oikeasti rakoa ei kylläkään saisi olla yhtikäs yhtään)

Front -tason apupiirroksessa ekvaattori on vaakasuorassa. Ekliptika on 23,44° kallellaan ekvaattoria vasten. Tässä ekliptika on kallellaan "oikealle". Kallistuksen suunnasta riippuu mihin valmiilla astrolabin tasolla tulee esim. kevättasauspisteen suunta.

Apuympyrän kehällä olevat ekvaattorin ja ekliptikan pisteet kuvataan Top -tasoa edustavalle Top- ja Front -tasojen leikkaussuoralle siten että apuympyrän etelänavasta vedetään Top -tasolle suora viiva joka kulkee apuympyrän pisteen kautta.

Tosin sanoen Front -tason apuympyrän etelänavasta vedetään viivoja Top -tasoon saakka siten että ne kulkevat saman apuympyrän kehällä olevien tärkeiden pisteiden kautta. Nuo tärkeät pisteet voidaan piirtää apuympyrän kehälle ympyrän keskipisteen suhteen. Apuympyrän vaakatasossa deklinaatio on nolla eli siinä on ekvaattori. Apuympyrän pohjoisnavalla deklinaatio on +90° ja sehän kuvautuu astrolabin keskelle.

Jos yrittäisimme kuvata taivaanpallon etelänavan lähistöä tällä stereograafisella projektiolla niin tarvitsisimme "äärettömän" laajan projektiotason, mutta sitähän me emme yritä. Meille riittää että saamme kuvattua tasolle ekliptikan kokonaan ja deklinaatiota sen verran kuin Suomessa tarvitaan, ehkä suunnilleen jonnekkin arvoon δ = -25° saakka koska aivan horisonttiin asti ei ole tarpeen mennä ; eihän horisontti juuri koskaan ole kovin hyvä. Arabitkaan eivät astrolabeissaan pyrkineet paljon ekliptikaa etelämmäksi vaikka siellä arabimaissa sentään deklinaatiota näkyy huomattavasti etelämmäksi kuin täällä Pohjan Perillä.

Stereograafinen projektio on yksinkertainen ja periaate näkyy hyvin näistä kuvista. Emme kuitenkaan voi odottaa siltä mahdottomia. Emme voi vaatia että taivaanpalloa tasolle levitettäessä esim. deklinaatioympyrät olisivat tasavälisiä tai että vastaavien horisonttikoordinaattien viivat olisivat suoria ja hyvin yksinkertaisia.

Ekvaattorin napa tulee Top -tason ympyrän keskipisteeseen. Ekliptikan napa täytyy piirtää erikseen. Piirretään Front -tason apuympyrän sisään kohtisuora viiva ekliptikatasoa vasten. Vedetään apuviiva ympyrän etelänavalta Top-tasolle siten että se kulkee sen pisteen kautta jossa ekliptikatasoa vasten kohtisuora viiva kohtaa ympyrän. Tämä on ekliptikan navan paikka Top -tasolla.

Seuraavaksi piirretään Top -tasolle Front -tason apupiiroksesta kuvautuva ekvaattori ja ekliptika. Ekvaattori on helppo koska sen keskipiste on origossa ja sen lisäksi tarvitaan vain yksi kehän piste. Kehän pisteitä olisi tarkoitukseen käytettävissä kaksikin ja kumpikin kelpaa yhtä hyvin.

Saman deklinaation ympyrät Top -tasolla olisivat myös origokeskisiä ympyröitä, joskaan eivät tasavälisiä.

Ekliptika on vain hiukan vaativampi piirrettävä. Tiedämme ekliptikan navan paikan Top-tasolla ja tiedämme että ekliptikan projektio on ympyrä. Tuon ympyrän keskipiste ei kuitenkaan ole aivan ekliptikan navan kohdalla. Sensijaan käytämme kahta Top -tasolle projisoitua ekliptikan pistettä ja varmuutta siitä että ympyrän keskipisteen täytyy olla sillä suoralla joka yhdistää ekvaattorin ja ekliptikan navat.

Niinpä käytämme SolidWorks-ohjelman piirtämistoimintoa Perimeter circle ja osoitamme kaksi ympyrän kehäpistettä. Kolmannen pisteen voimme asettaa aluksi mielivaltaisesti niin että ekliptika sijoittuu suunnilleen oikein. Sitten sidomme ympyrän keskipisteen mainittuun suoraan relaatiolla. Ekliptikan napa ei siis ole Top -tasolle projisoidun ekliptika-ympyrän keskipisteessä.

Astrolabi kuvaa taivaanpallon ylhäältä päin katsottuna. Tämä ei ehkä käytännössä ole kovin havainnollista. Meidän on siis Top -tasoa ylhäältä päin katsoessamme ajateltava katsovamme kuvitteellista taivaanpalloa ikäänkuin Isä Jumalan (vai olisiko Allahin?) perpektiivistä. Tähtiä katsomme ylöspäin, mutta astrolabia katsomme päinvastaiseen suuntaan, alaspäin. Niinpä suunnat astrolabissa menevät aluksi hiukan hassun tuntuisesti.

Tasolla tasauspisteet ovat siinä missä ekliptika ja ekvaattori leikkaavat toisensa. Kesäpäivänseisauksessa Aurinko on ekliptikalla pohjoisimmillaan eli lähimpänä taivaan pohjoisnapaa. Talvipäivänseisauksessa Aurinko on ekliptikalla kauimpana etelässä eli lähimpänä astrolabin reunaa.

Kevät- ja syystasauspisteet ovat stereograafisessa projektiossa taivaannavan (eli pyöreän levyn keskipisteen) vastakkaisilla puolilla. Kevättasauspisteen suunta on merkitty Top -tason sketsiin katkoviivalla.

Rektaskensio kasvaa vastapäivään ja sen nollakohta on kevättasauspisteessa. Myös longitudin nollakohta on kevättasauspisteessä ja longitudikin kasvaa vastapäivään.

Auringon voi ajatella kulkevan (alemmassa kuvassa) sinisenä näkyvää ekliptikaa pitkin niin että se on ylempänä näkyvässä apuviivalla osoitetussa ekvaattorin ja ekliptikan leikkauspisteessä kevätpäiväntasauksessa. Tällöin Aurinko nousee ekvaattorin pohjoispuolelle, eli lähemmäs taivaannapaa liikkuen vastapäivään tähtien suhteen.

Kesäpäivän seisauksessa Aurinko saavuttaa ekliptikalla pohjoisimman deklinaationsa kuvassa suoraan vasemmalla jossa Top -tasolle piirretty ekliptika leikkaa Front -tason.

Aurinko etenee edelleen ekliptikaa pitkin vastapäivään. Syyspäiväntasauksessa se saavuttaa ekvaattorin ja ekliptikan toisen leikkauspisteen joka on kuvassa alaspäin taivaannavasta.

Tämän jälkeen Aurinko liikkuu vastapäivään ekvaattorin eteläpuolella kohti talvipäivän seisausta joka on kuvassa oikealla kesäpäivänseisausta vastapäätä. Siinä kohdataan jälleen Front -taso.

Stereograafinen projektio venyttää etelän puoleisia deklinaatioita ja lyhentää pohjoisen puoleisia, joten tässä Aurinko näennäisesti kulkee pitemmän matkan ekvaattorin eteläpuolella. Todellisuudessa vuoden puoliskojen välinen ero on aika pieni.

Tämän piirroksen pohjalta voi kehitellä erilaisia astrolabiin liittyviä piirroksia. Kaikkea ei kannata esittää samassa piirroksessa koska siitä tulisi kovin sekava.


Projektit

PÄÄSIVU