Matriisit

Matriisia jossa on n riviä ja m saraketta kutsutaan n x m -matriisiksi. Matriisin i:nnen rivin ja j:nnen sarakkeen alkiota merkitään aij

[ a11 a12 a13 ]
[ a21 a22 a23 ]

n x m -matriisilla voidaa kertoa m-ulotteinen vektori ja tuloksena on n-ulotteinen vektori.

[ a11 a12 a13 ]  [ b1 ]     [ c1 ]
[ a21 a22 a23 ]  [ b2 ]  =  [ c2 ]
                [ b3 ]

c1 = a11 b1 + a12 b2 + a13 b3
c2 = a21 b1 + a22 b2 + a23 b3

Olkoot lähtövektorin komponentit bj jossa 1 ≤ j ≤ m. Tulosvektorin alkiot ovat ci jossa 1 ≤ i ≤ n

ci = mj=1 aij bj

Tulosvektorin alkio saadaan siis kertomalla matriisin saman rivin alkiot kerrottavan vektorin alkioilla ja laskemalla tulot yhteen. Tulosvektorin alkiota voi pitää matriisin vaakarivin ja vektorin pistetulona.

Yleensä kuitenkin käytämme neliövektoreita joissa rivejä ja sarakkeita on sama määrä.

Matriisin determinantti

Neliömatriisille on olemassa determinantti, esim. 2 x 2 -matriisin A determinantti

det A = |A| = | a11 a12 | = a11 a22 - a12 a21
| a21 a22 |

Suurempien determinanttien määrittelemiseksi tarvitaan eräitä lisätietoja:

Aij on (n-1) x (n-1) -matriisi joka saadaan poistamalla matriisista A i:s rivi ja j:s sarake. Tästä lasketaan alkion aij kofaktori eli komplementti cij ottamalla Aij:stä determinantti ja laittamalla sille etumerkki alkion aij sijainnin mukaan.

cij = (-1)i+j det Aij

Matriisin determinantti saadaan valitsemalla jokin sen rivi i ja laskemalla yhteen rivin alkiot kerrottuna kofaktorillaan

det A = nj=1 aij cij = nj=1 aij (-1)i+j det Aij

Kaksiulotteisen avaruuden muunnoksia

Siirto ; pisteitä siirretään x-suunnassa matka tx ja y-suuunnassa matka ty lisäämällä vakiovektori.

[ x' ] = [ x ] + [ tx ] = [ x + tx ]
[ y' ] [ y ] [ ty ] [ y + ty ]

Skaalaus ; avaruutta skaalataan x-suunnassa kertoimella sx ja y-suunnassa kertoimella sy (origon pysyessä paikallaan) kertomalla muunnosmatriisilla

S (sx, sy) = [ sx   0 ]
[ 0   sy ]

Kun piste x kerrotaan muunnosmatriisilla, saadaan

S (sx, sy) x = [ sx   0 ] [ x ] = [ sx   x ]
[ 0   sy ] [ y ] [ sy   y ]

Kierto ; kulma θ vastapäivään origon ympäri, muunnosmatriisi:

R(θ) = [ cos θ   -sin θ ]
[ sin θ   cos θ ]

Kun piste x kerrotaan, saadaan

R(θ) x = [ cos θ   -sin θ ] [ x ] = [ x cos θ - y sin θ ]
[ sin θ   cos θ ] [ y ] [ x sin θ + y cos θ ]

Vääntö ; x-akselin suuntaan:

Hxy(a) = [ 1   a ]
[ 0   1 ]
Hxy(a) x = [ 1   a ] [ x ] = [ x + a y ]
[ 0   1 ] [ y ] [   y     ]

ja vääntö y-akselin suuntaan:

Hyx(b) = [ 1   0 ]
[ b   1 ]
Hyx(b) x = [ 1   0 ] [ x ] = [   x     ]
[ b   1 ] [ y ] [ y + b x ]




Matte3D
PÄÄSIVU